Examples of the Cauchy Problem for a System with Right Value of a Special Form

Research article
DOI:
https://doi.org/10.23670/IRJ.2022.126.14
Issue: № 12 (126), 2022
Suggested:
02.10.2022
Accepted:
21.11.2022
Published:
16.12.2022
412
0
XML PDF

Abstract

In the previous works of M. V. Dontsova, the sufficient conditions for a system with right values of a special form have been identified in which there exists a single local solution of the Cauchy problem, which smoothness is not lower than the smoothness of the initial conditions. The previous works of M. V. Dontsova defines the sufficient conditions for the system with special right value form sections under which there exists a singular non-local solution of the Cauchy problem. In the present work, examples of Cauchy problem for the system with special right value form, which has the only local solution, are given. Examples of the Cauchy problem for a system with special right value form, which has the only non-local solution, are given.

1. Введение

Различные исследования проводятся по дифференциальным уравнениям в [1], [4], [7], [10].

Рассмотрим

img
(1)

где imgнеизвестные функции, imgизвестные функции, imgизвестные константы, с начальными условиями

img
(2)

где imgизвестные функции,

на img

Обозначим

img

img

img пространство функций, определенных, непрерывных и ограниченных вместе со своими производными первого и второго порядка на img

imgпространство функций, определенных и непрерывных на img

В [1] при

img

img

img

установлено, что для любого img задача Коши (1), (2) имеет единственное решение.

В [1] при

img

img

img

установлено, что для любого img задача Коши (1), (2) имеет единственное решение.

Пример 1. Рассмотрим систему вида

img
(3)

где imgнеизвестные функции.

Для системы уравнений (3) определим начальные условия:

img
(4)

Задача (3), (4) определена на

img

Так как

img

img

img

img

img

img

img

img

img

то получаем, что для любого img где img задача Коши (3), (4) имеет единственное решение.

Пример 2. Рассмотрим систему вида (3). Для системы уравнений (3) определим начальные условия (4).

Задача (3), (4) определена на

img

Так как

img

img

img

img

то получаем, что для любого img задача Коши (3), (4) имеет единственное решение.

В [2] при

img

img

img

установлено, что для любого img задача Коши (1), (2) имеет единственное решение.

В [2] при

img

img

img

установлено, что для любого img задача Коши (1), (2) имеет единственное решение.

Пример 3. Рассмотрим систему вида

img
(5)

где img неизвестные функции.

Для системы уравнений (5) определим начальные условия:

img
(6)

Задача (5), (6) определена на

img

Так как

img

img

img

img

img

img

img

img

img

то получаем, что для любого img где img задача Коши (5), (6) имеет единственное решение.

Пример 4. Рассмотрим систему вида (5). Для системы уравнений (5) определим начальные условия (6).

Задача (5), (6) определена на

img

Так как

img

img

img

img

то получаем, что для любого img задача Коши (5), (6) имеет единственное решение.

В [3] при

img

img

img

установлено, что для любого img задача Коши (1), (2) имеет единственное решение.

В [3] при

img

img

img

установлено, что для любого img задача Коши (1), (2) имеет единственное решение.

Пример 5. Рассмотрим систему вида

img
(7)

Для системы уравнений (7) определим начальные условия:

img
(8)

Задача (7), (8) определена на

img

Так как

img

img

img

img

img

img

img

imgimg

то получаем, что для любого img где img задача Коши (7), (8) имеет единственное решение.

Пример 6. Рассмотрим систему вида (7). Для системы уравнений (7) определим начальные условия (8).

Задача (7), (8) определена на

img

Так как

img

img

img

img

то получаем, что для любого img задача Коши (7), (8) имеет единственное решение.

Пример 7. Рассмотрим систему вида (7). Для системы уравнений (7) определим начальные условия:

img
(9)

Задача (7), (9) определена на

img

Так как

img

img

img

img

img

img

img

img

img

то получаем, что для любого img где img задача Коши (7), (9) имеет единственное решение.

Пример 8. Рассмотрим систему вида (7). Для системы уравнений (7) определим начальные условия (9).

Задача (7), (9) определена на

img

Так как

img

img

img

img

то получаем, что для любого img задача Коши (7), (9) имеет единственное решение.

Пример 9. Рассмотрим систему вида (7). Для системы уравнений (7) определим начальные условия:

img
(10)

Задача (7), (10) определена на

img

Так как

img

img

img

img

img

img

img

img

img

то получаем, что для любого img где img задача Коши (7), (10) имеет единственное решение.

Пример 10. Рассмотрим систему вида (7). Для системы уравнений (7) определим начальные условия (10).

Задача (7), (10) определена на

img

Так как

img

img

img

img

то получаем, что для любого img задача Коши (7), (10) имеет единственное решение.

Пример 11. Рассмотрим систему вида

img
(11)

Для системы уравнений (11) определим начальные условия:

img
(12)

Задача (11), (12) определена на

img

Так как

img

img

img

img

img

img

img

img

img

то получаем, что для любого img где img задача Коши (11), (12) имеет единственное решение.

Пример 12. Рассмотрим систему вида (11). Для системы уравнений (11) определим начальные условия (12).

Задача (11), (12) определена на

img

Так как

img

img

img

img

то получаем, что для любого img задача Коши (11), (12) имеет единственное решение.

Пример 13. Рассмотрим систему вида

img
(13)

Для системы уравнений (13) определим начальные условия:

img
(14)

Задача (13), (14) определена на

img

Так как

img

img

img

img

img

img

img

img

img

то получаем, что для любого img где img задача Коши (13), (14) имеет единственное решение.

Пример 14. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия (14).

Задача (13), (14) определена на

img

Так как

img

img

img

img

то получаем, что для любого img задача Коши (13), (14) имеет единственное решение.

Пример 15. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия:

img
(15)

Задача (13), (15) определена на

img

Так как

img

img

img

img

img

img

img

img

img

то получаем, что для любого img где img задача Коши (13), (15) имеет единственное решение.

Пример 16. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия (15).

Задача (13), (15) определена на

img

Так как

img

img

img

img

то получаем, что для любого img задача Коши (13), (15) имеет единственное решение.

Пример 17. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия:

img
(16)

Задача (13), (16) определена на

img

Так как

img

img

img

img

img

img

img

img

img

то получаем, что для любого img где img задача Коши (13), (16) имеет единственное решение.

Пример 18. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия (16).

Задача (13), (16) определена на

img

Так как

img

img

img

img

то получаем, что для любого img задача Коши (13), (16) имеет единственное решение.

Пример 19. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия:

img
(17)

Задача (13), (17) определена на

img

Так как

img

img

img

img

то получаем, что для любого img задача Коши (13), (17) имеет единственное решение.

Пример 20. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия:

img
(18)

Задача (13), (18) определена на

img

Так как

img

img

img

img

то получаем, что для любого img задача Коши (13), (18) имеет единственное решение.

Пример 21. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия:

img
(19)

Задача (13), (19) определена на

img

Аналогично, как в примере 20, мы получаем, что для любого img задача Коши (13), (19) имеет единственное решение.

Пример 22. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия:

img
(20)

Задача (13), (20) определена на

img

Аналогично, как в примере 20, мы получаем, что для любого img задача Коши (13), (20) имеет единственное решение.

Пример 23. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия:

img
(21)

Задача (13), (21) определена на

img

Аналогично, как в примере 20, мы получаем, что для любого img задача Коши (13), (21) имеет единственное решение.

Пример 24. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия:

img
(22)

Задача (13), (22) определена на

img

Аналогично, как в примере 20, мы получаем, что для любого img задача Коши (13), (22) имеет единственное решение.

Пример 25. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия:

img
(23)

Задача (13), (23) определена на

img

Аналогично, как в примере 20, мы получаем, что для любого img задача Коши (13), (23) имеет единственное решение.

Пример 26. Рассмотрим систему вида (13). Для системы уравнений (13) определим начальные условия:

img
(24)

Задача (13), (24) определена на

img

Аналогично, как в примере 20, мы получаем, что для любого img задача Коши (13), (24) имеет единственное решение.

2. Заключение

В данной работе рассмотрена система с правыми частями специального вида. Приведены примеры, из которых следует, что при определенных условиях существует задача Коши для системы с правыми частями специального вида с единственным локальным решением. Приведены примеры, из которых следует, что при определенных условиях существует задача Коши для системы с правыми частями специального вида с единственным нелокальным решением.

Article metrics

Views:412
Downloads:0
Views
Total:
Views:412