TO THE PROJECTIVE PROPERTIES OF PHYSICAL SPACE-TIME. PART I. ABOUT THE ACCELERATED EXPANSION OF SPACE

Пермикин В.С.

ООО «НПМ «Ньютоника», г. Екатеринбург, Россия.

К ПРОЕКТИВНЫМ СВОЙСТВАМ ФИЗИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ. ЧАСТЬ I. ОБ УСКОРЕННОМ РАСШИРЕНИИ ПРОСТРАНСТВА

Аннотация

Для объяснения феномена ускоренного расширения пространства предлагается считать 4-х мерное физическое пространство-время проективным, а его геометрию целиком (а не только ее часть – пространство скоростей) гиперболической геометрией – классической неевклидовой геометрией Лобачевского – Больяи. С помощью проективной геометрии вводятся два вида неевклидовых мер расстояния: аддитивная классическая неевклидова мера и неаддитивная неевклидова мера, которая является обобщением физического интервала между событиями. Показано, что в проективном пространстве с гиперболической геометрией две инерциальные системы отсчета, покоившиеся относительно друг друга в какой-либо первоначальный момент времени, в любой последующий момент времени удаляются друг от друга ускоренно. Доказывается, что кривизна плоской классической неевклидовой геометрии, в которой геодезическими являются прямые линии, не является внутренней гауссовой кривизной пространства-времени. Кривизна этой геометрии понимается как кривизна меры расстояния на прямой линии – кривизна, которую впервые определил Ф. Клейн. Для клейновой кривизны в гиперболической проективной геометрии нет необходимости привлекать гравитационное поле и его источники. В проективном 4-х мерном гиперболическом пространстве-времени изменяется со временем не расстояние между точками – событиями, а расстояние между мировыми линиями тел, даже если они не взаимодействуют друг с другом. Это объясняется тем обстоятельством, что прямая линия в плоском неевклидовом пространстве не является эквидистантой относительно любой другой прямой линии.

Ключевые слова: геометрия проективная, псевдоевклидова, гиперболическая, неевклидова, Абсолют, ускоренное расширение физического пространства.

Permikin V.S.

LLC "NPM" NEWTONIC", Ekaterinburg, Russia.

TO THE PROJECTIVE PROPERTIES OF PHYSICAL SPACE-TIME. PART I. ABOUT THE ACCELERATED EXPANSION OF SPACE

Abstract

To explain the phenomenon of accelerated expansion of space, it is suggested to consider 4-dimensional physical space-time as projective, and its geometry as a whole (and not only its part –the velocity space) as hyperbolic geometry – the classical non-Euclidean geometry of Lobachevsky-Bolyai. Using projective geometry, two kinds of non-Euclidean distance measures are introduced: an additive classical non-Euclidean measure and a non-additive non-Euclidean measure that is a generalization of the physical interval between events. It is shown that in a projective space with hyperbolic geometry two inertial reference frames that are at rest at each initial moment of time move at an accelerated rate at any subsequent instant of time. It is proved that the curvature of a flat classical non-Euclidean geometry, in which straight lines are geodesies, is not an intrinsic Gaussian curvature of space-time. The curvature of this geometry is understood as the curvature of the measure of distance on a straight line – the curvature, which was first determined by F. Klein. For the Klein curvature in hyperbolic projective geometry, there is no need to involve the gravitational field and its sources. In the projective 4-dimensional hyperbolic space-time, the distance between the points-events, and the distance between the world lines of bodies does not change with time, even if they do not interact with each other. This is explained by the fact that a straight line in a flat non-Euclidean space is not equidistant with respect to any other straight line.

Keywords: projective geometry, pseudo-Euclidean, hyperbolic, non-Euclidean, Absolute, accelerated expansion of physical space.

Введение

Задача объяснения ускоренного расширения пространства в настоящее время достаточно актуальна. Основной теорией, с помощью которой предпринимаются попытки описания этого феномена, является общая теория относительности. Считается, что общая теория относительности – это не только теория тяготения, но и теория физического пространства-времени, пришедшая на смену специальной теории относительности, как, во-первых, более общая и, во-вторых, как теория, которая напрямую связывает свойства пространства и материи, делая их неразрывными. Поэтому как более «физичная» общая теория относительности применяется в космологии. Для объяснения эффекта расширения пространства с помощью общей теории относительности в дополнение к веществу и излучению, удельное количество которых во Вселенной может быть оценено с помощью существующих физических методов, вводится новая форма материи – «темная энергия». Обладает темная энергия достаточно гипотетическими свойствами, такими как отрицательное давление и антигравитация. И это побуждает к поиску других объяснений феномена расширения пространства.

Существует и другая точка зрения, согласно которой общая теория относительности – это лишь теория тяготения, которая действует в псевдоевклидовом (изначально плоском) пространстве-времени. Если встать на эту точку зрения, то можно попытаться объяснить эффекты расширения пространства не прибегая к общей теории относительности. Т.е. можно обобщить геометрию Минковского так, чтобы пришедшая на ее смену геометрия объясняла феномен расширения пространства.

В данной статье для объяснения ускоренного расширения пространства применена проективная геометрия. Эта геометрия выбрана по следующим соображениям.

Проективный метод является метрически инвариантным методом исследования. Свойство метрической инвариантности проективного метода позволяет описать с единых позиций многие метрические геометрии: евклидову, псевдоевклидову и классические (плоские) неевклидовы геометрии (эллиптическую и гиперболическую), а также соотношения между их основными метрическими параметрами ‒ углом и расстоянием. Свойство независимости проективной геометрии от метрических свойств пространства было установлено в работах Г. К. Х. Штаудта [1, С. 49]. Затем Ф. Клейн [2, С. 401, 405] показал, что в геометрии наиболее общими преобразованиями являются проективные преобразования, а преобразования движения метрической геометрии являются подгруппой этой общей группы проективных преобразований. Сама же подгруппа выделяется из группы заданием такой геометрической фигуры, которая не изменяется при преобразовании из данной подгруппы, т.е. является геометрическим инвариантом, и в проективной терминологии называется Абсолютом (далее Abs ) метрической геометрии [3, С. 234].

Но, пожалуй, основным преимуществом проективного метода является то, что метод позволяет рассматривать пространство и его геометрию в целом – как единое целое, само по себе без его вложения в пространство большей размерности. Рассмотрение пространств как единого целого в проективной геометрии возможно благодаря наличию в ней операций одно-однозначного соответствия-преобразования (корреляции и коллинеации). Эти операции могут быть применены и применяются в проективной геометрии ко всему пространству в целом [4, С. 206].

О пространстве скоростей псевдоевклидовой геометрии

Начиная с [5] (см. [6, С. 111] и [7, С. 71]) известно, что пространство скоростей специальной теории относительности может быть интерпретировано как 3-х мерное пространство с гиперболической геометрией Лобачевского – Больяи. В этом пространстве роль точек выполняют прямые псевдоевклидова пространства – касательные к мировым линиям, а проекции скорости на оси координат декартовой системы пространства скоростей являются функциями неевклидовых координат этих «точек»

где с – скорость света.

Функции являются координатами Бельтрами [8, С. 193], [7, С. 71] – такими функциями неевклидовых координат выраженное через которые уравнение прямой (линии) в декартовой системе неевклидовой геометрии является линейным уравнением с постоянными коэффициентами, а уравнение кривой второго порядка – уравнением второй степени, также с постоянными коэффициентами. Далее в данном сообщении греческими буквами обозначаются аддитивные неевклидовы координаты (углы), а латинскими буквами их функции – координаты Бельтрами.

Рассмотрим проективную модель псевдоевклидовой геометрии (о модели на плоскости см. [9, С. 313]). В этой модели пространство скоростей является частью бесконечно удаленной области проективного псевдоевклидова пространства. Изобразим какую-либо декартову систему координат псевдоевклидовой проективной геометрии. К изображению предъявим следующее требования:

1. все узловые точки декартовой системы: начало координат – O ; единичная точка –E ; и бесконечно удаленные точки осей координат – A, B, C, D (точки, в которых оси координат пересекают бесконечно удаленную область пространства) должны изображаться на чертеже какими-либо конкретными точками чертежа (рис.1);
2. отрезки осей координат между узловыми точками – это будут те участки осей, где координаты имеют положительное значение.

Такое коллинеарное проективное соответствие между 4-х мерным псевдоевклидовым проективным пространством и двумерной плоскостью чертежа, дополненной до проективной, возможно. Это соответствие будет однозначным, но не взаимно-однозначным.

Рис. 1 – Декартова система координат проективной 4-х мерной псевдоевклидовой геометрии (основной пентаоктаэдр)

В проективной модели псевдоевклидовой геометрии проекции скорости – это уже координаты точки, той точки, в которой прямая (касательная к мировой линии) пересекает бесконечно удаленную 3-х мерную область пространства, геометрия которой и является геометрией Лобачевского – Больяи.

На рис. 1 точка M  – это та точка мировой линии , которая одновременна началу координат O в системе (t, x, y, z). А точка N – это та точка, в которой мировая линия  пересекает бесконечно удаленную трехмерную область проективного псевдоевклидова пространства. Пространство скоростей является частью этой области, а точнее внутренностью Абсолюта. При таком рассмотрении – это координаты какой-либо точки (в нашем случае точки N) в декартовой системе координат бесконечно удаленной трехмерной области проективного псевдоевклидова пространства.

Меры расстояния между двумя точками в различных областях проективной модели псевдоевклидовой геометрии существенно отличается. В области, где координаты (t, x, y, z) имеют конечное значение, мера псевдоевклидова, аддитивна (если рассматривать меру на одной прямой) и имеет в декартовой системе координат пифагоров вид:

В пространстве скоростей мера расстояния между двумя точками является функцией бельтрамиевых переменных и не обладает свойством аддитивности. Выраженная через координаты проекций скоростей в декартовой системе, мера расстояния имеет следующий вид [8, С. 70]:

В данной области проективного псевдоевклидова пространства свойством аддитивности обладают аргументы – обратные функции бельтрамиевых переменных. Для двух точек, расположенных на любой из координатных осей скорости эта формула переходит в формулу сложения скоростей специальной теории относительности.

С точки зрения проективной геометрии Абсолют 4-х мерной псевдоевклидовой геометрии (годограф вектора скорости, модуль которого равен скорости света) является вырожденной 3-х мерной гиперповерхностью 2-го порядка (рис. 1). Вырождение состоит в том, что размер ее в направлении оси времени равен нулю, т.е. это двумерная сфера.

Предположим, что геометрия 4-х мерного пространства-времени целиком (а не только ее часть – пространство скоростей) является проективной геометрией Лобачевского – Больяи. Абсолют такой геометрии это уже невырожденная 3-х мерная гиперповерхность 2-го порядка, которая пересекает ось времени какой-либо декартовой системы координат в двух точках. Координаты этих точек в единицах времени мы будем обозначать.  Декартову систему координат проективной гиперболической геометрии можно изобразить как показано на рис. 2. Мера расстояния между точками на прямой в такой геометрии едина для всех областей пространства и не обладает свойством аддитивности.

Таким образом, далее предполагается, что геометрия «пустого» физического пространства-времени является, во-первых, проективной, а во-вторых неевклидовой (точнее, непсевдоевклидовой геометрией) в том первоначальном понимании неевклидовой геометрии, когда она строилась аксиоматически с помощью плоскостей, прямых и точек в плоском пространстве ([10, С. 35], [11, С. 71]), а не с помощью геодезических в пространстве с внутренней гауссовой кривизной. Под «пустым» пространством везде далее понимается такое пространство, в котором пробные тела есть, а взаимодействиями между ними можно пренебречь. Т. е. тела «достаточно» малы, а расстояния между ними «достаточно» велики.

Рис. 2  – Декартова система координат проективной гиперболической геометрии (основной пентаоктаэдр)

Основные положения

При дальнейших рассуждениях будем считать, что:

1. 4-х мерное физическое пространство является проективным, и в нем без ограничений справедлив проективный принцип двойственности.
2. 4-х мерное физическое пространство метрически является проективным гиперболическим пространством – пространством Лобачевского – Больяи (дополненным до проективного своими бесконечно удаленными элементами: элементами инцидентными Абсолюту и так называемыми «идеальными» элементами, лежащими за Abs). В нем имеется полярное (проективное коррелятивное инволюционное) соответствие между его двойственными элементами («точка – 3-х мерная гиперплоскость» и «прямая – плоскость») с действительным Abs. Этот Abs является невырожденной действительной (в смысле, что он состоит из действительных точек) 3-х мерной гиперповерхностью 2-го порядка (в нормированных линейных координатах точек это 3-х мерная гиперсфера) и одновременно пучком 2-го класса касательных к этой 3-х мерной гиперсфере 3-х мерных действительных гиперплоскостей. Каждой точке этой гиперповерхности инцидентна та 3-х мерная гиперплоскость, которая полярно ей соответствует. И, кроме того, Abs является двойным пучком 2-го класса инцидентных друг другу полярно соответствующих друг другу действительных прямых и плоскостей. Abs, как невырожденная действительная 3-х поверхность, разбивает 4-х мерное пространство для его действительных точек на две области: внутреннюю, по отношению к самой 3-х мерной гиперповерхности, и внешнюю.
3. Система координат (связанная с телом, имеющим массу покоя), как мгновенное положение физической системы отсчета тела, является автополярной по отношению к Abs. Начало системы отсчета (точка мировой линии, связанная с телом) находится во внешней по отношению к Abs области. Ось времени этой системы координат всегда пересекает Abs в двух его действительных точках и является касательной к мировой линии тела.
4. Инерциальной системой отсчета мы будем считать такую систему, мировая линия которой является прямой линией. Плоскость полярная этой прямой мировой линии относительно Abs испытывает при инерциальном движении тождественное проективное преобразование.
5. Система координат, связанная со светом, является вырожденной (ее ось времени и пространственная 3-х мерная гиперплоскость инцидентны друг другу) и касательной к Abs.

О двух неевклидовых мерах

В данной модели 4-х мерного пространства имеются три типа плоскостей, которые пересекают, касаются или не пересекают Abs. Рассмотрим гиперболическую плоскость, которая пересекает эту действительную гиперповерхность. Абсолют такой плоскости имеет вид невырожденной действительной кривой 2-го порядка. Далее мы не будем добавлять, что это и пучок 2-го класса прямых – поляр, инцидентных своим полюсам в полярном соответствии, имеющимся на данной плоскости, но всегда таковое положение вещей будем подразумевать.

Для упрощения построений мы будем изображать на чертеже Abs в виде окружности (рис. 3). Это возможно, поскольку между рассматриваемой гиперболической плоскостью и расширенной плоскостью нашего чертежа (дополненной Abs – бесконечно удаленной прямой с эллиптической инволюцией точек на ней) можно установить такое проективное коллинеарное соответствие, при котором Abs гиперболической плоскости на нашем чертеже будет соответствовать любая, наперед заданная, кривая 2-го порядка.

Для построения системы координат автополярной относительно Abs мы выберем: 1) начало координат (точка O) во внешней, по отношению к Abs, области; 2) ось времени (прямая b), проходящую через точку O и пересекающую Abs; 3) в качестве основной правую систему координат. Этими условиями автополярная конфигурация в виде четырехугольника  – четырехсторонника  определяется однозначно, и ее изображение может быть построено на чертеже.

Теперь для любой точки проективной плоскости может быть определена система точек как проекций этой точки из базисных точек O, A, B  на базисные прямые o, a, b.

А для любой прямой плоскости может быть определена система точек, в которых прямая пересекает базисные прямые o, a, b.

Рис. 3 – Декартова (автополярная) система координат проективной гиперболической плоскости

После построения автополярной конфигурации выберем положительные направления на основных базисных прямых системы, как показано на рис. 3, и будем считать прямую b осью времени, прямую o пространственной осью и прямую  осью скорости.

Для введения координат в автополярной конфигурации можно использовать простейший проективный инвариант – «вурф» – упорядоченную четверку элементов, принадлежащих линейно упорядоченному замкнутому образу [12, С. 15], [9, С. 289]. Это позволяет методами проективной геометрии ввести меры расстояния между двумя точками на прямой.

Например, можно считать, что на рассматриваемой проективной гиперболической плоскости уже имеется евклидово мероопределение. Данное предположение позволит нам использовать понятие двойного отношения, выраженное в координатах этого мероопределения. С помощью понятий вурфа и его двойного отношения можно определить два, принимаемых далее за основные, вида неевклидовых расстояний между двумя точками прямой.

Одно из этих расстояний – это классическое неевклидово расстояние, в основание которого заложено свойство аддитивности расстояния. Будем его обозначать как .

Другой вид неевклидового расстояния (бельтрамиево расстояние) является обобщением физического расстояния как евклидова расстояния, выраженного в долях отрезка, принимаемого за единичный. Обозначим это физическое неевклидово расстояние через . Вслед за Ф. Клейном [4, С. 262, 273] получим следующее соотношени

Коэффициент при логарифме определен исходя из условия равенства мер в малом.

После того как оба вида неевклидового расстояния и зависимость между ними будут определены, надобность в евклидовой мере на рассматриваемой плоскости отпадает. И далее оба вида неевклидовых расстояний можно считать уже вполне самостоятельными.

Для более наглядного введения мер мы воспользуемся аналогией, которую предоставляет нам псевдоевклидова геометрия. Рассмотрим меру скорости в этой геометрии на плоскости. Скорость – это физически измеряемая (наблюдаемая) величина в этой геометрии, но она не обладает свойством аддитивности, поскольку ось скорости совпадает с Абсолютом псевдоевклидовой плоскости, на котором имеются две двойные (стационарные) точки с координатами . Эти двойные точки при любом движении псевдоевклидовой плоскости переходят сами в себя. Поэтому две сонаправленные в пространстве скорости складываются по известному правилу сложения скоростей специальной теории относительности.

Аддитивной мерой скорости в псевдоевклидовой геометрии является быстрота (угол) – обратная функция скорости. Но эта аддитивная неевклидова мера пространства скоростей с геометрией Лобачевского не является физически измеряемой (наблюдаемой) величиной. При переходе к нерелятивистскому пределу физически наблюдаемая скорость является «наследницей» бельтрамиевой функции (1), а не ее аргумента – быстроты – неевклидовой аддитивной меры.

При переходе от псевдоевклидовой геометрии к гиперболической проективной мы имеем такое же «наследование», но только в обратном направлении: перестают быть аддитивными псевдоевклидовы время и пространственные линейные координаты, поскольку каждая из осей пересекает Абсолют гиперболической плоскости в двух точках. Ось времени пересекает его в двух действительных точках, а пространственная ось в двух абстрактных точках, координаты которых имеют мнимые значения. В гиперболической проективной геометрии время и пространственные линейные координаты (также как и скорость в псевдоевклидовой геометрии) являются функциями Бельтрами аддитивных неевклидовых мер:

Здесь  c – скорость света;  – длина отрезка  в единицах масштабного отрезка оси времени – b (рис. 3). Или:

Далее мы будем использовать нормированные физические координаты: нормированное пространственное расстояние – q и нормированное время – h.

При таком определении координаты узловых точек автополярной системы координат будут иметь значения:

На оси o аналогично определим третью координату – f, которую будем называть нормированной скорости-подобной координатой точки:

Уравнение  в нормированных физических координатах будет иметь канонический вид:

А если на координатных осях выбраны другие единичные отрезки, не связанные с точкой E, то в физических координатах общего вида (x и t) уравнение Abs будет следующим:

Интервал

Имея неевклидовы координаты, найдем неевклидовы расстояния между двумя произвольными точками  и  плоскости.

Пусть у нас есть прямая , проходящая через эти точки (рис. 4), и еще одна точка M этой прямой.

Рассмотрим на прямой  вурф  и два вурфа   на координатных осях. Два последних вурфа перспективны первому, и значит, что они проективны друг другу, а их числовые значения равны. Числовые значения вурфов, определенных на координатных осях, мы можем выразить в явном виде через двойные отношения физических координат. Из равенства двух последних вурфов можно убедиться, что вид уравнения прямой, заданной двумя своими точками в физических неевклидовых координатах, не отличается от вида уравнения прямой на евклидовой плоскости в декартовых координатах.

Аналогичным образом можно убедиться и в инвариантности вида уравнения прямой в отрезках. Для обозначения длин этих отрезков будем употреблять те же буквы, что и для координат точки, но только заглавные: H,  Q,  F = Q/H. В оправдание применения нестандартных обозначений приведем следующие соображения: в дальнейших рассуждениях будет видно, что именно координаты мировой линии являются физически измеряемыми параметрами, а не их обратные величины – тангенциальные координаты, преобразующиеся ковариантно преобразованию системы координат.

Используя свойство инвариантности вида прямой, найдем координаты . Здесь  – это значение координаты «время» точки  гармонически расположенной к точке  относительно пары точек .

Рассмотрим далее на оси времени вурф  перспективный вурфу . Из их перспективности следует равенство числовых значений вурфов. Используя числовое значение первого вурфа в виде двойного отношения

выраженного через координаты, после преобразований будем иметь:

Рис. 4  – Прямая , проходящая через точки 

Если рассмотреть две точки (1 и 2) на прямой в 4-х мерном случае, и их проекции на координатные оси, то это выражение приобретает следующий вид:

где в дополнение к (5)

Если обе точки близки друг к другу, то можно перейти к дифференциальной форме (дифференциальной метрике) расстояния

Элементарный поворот

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета. Пусть на рис. 5 это системы отсчета, оси времени которых обозначены как . Найдем вид преобразования точечных координат между координатными системами (мгновенными положениями инерциальных систем отсчета) в момент, когда начала – точки  и  координатных систем   совпадают, а скорость системы относительно системы O, q, h  равна F .

Рис. 5 – Элементарный поворот вокруг точки 

Поскольку мы предполагаем, что эти преобразования проективны, то будем искать их в наиболее общем – дробно-линейном виде

Для нахождения коэффициентов этих функций воспользуемся значениями координат точек   в системе O, q, h  и в своей собственной системе  (пассивная точка зрения).

В результате будем иметь преобразования, вид которых не отличается от преобразований Лоренца:

Т. е. поворот системы координат вокруг ее начала (можно показать, что и поворот вокруг любой из ее других двух узловых точек A, B ) «не чувствует» присутствие Abs. Будем называть такой поворот элементарным поворотом.

Объяснение ускоренного разбегания двух инерциальных систем

Пользуясь этими результатами, найдем преобразования координат (для точки и прямой) между двумя мгновенными положениями одной и той же инерциальной системы отсчета. На рис. 6 такими мгновенными положениями инерциальной системы отсчета с осью времени  являются две системы координат , у которых совпадают узловые точки  . Вид преобразований координат какой-либо точки между этими координатными системами могут быть найдены из условия, что это преобразование является элементарным гиперболическим поворотом системы координат вокруг точки :

Преобразование координат прямой линии, под которыми мы понимаем координаты точек, в которых прямая пересекает оси координат, при учете инвариантности вида уравнения прямой «в отрезках», будет иметь вид:

где координаты  прямой  (рис. 6) можно рассматривать как координаты начала инерциальной системы с мировой линией  и ее скорость в два различных момента  и   времени инерциальной системы с осью времени b. Интересно отметить, что данное преобразование можно считать элементарным гиперболическим «поворотом» следующей системы координат: начало – прямая b; «оси» – пучки прямых с центрами в точках O и A с физическими координатами Q и F соответственно. Эта система полярна и проективно-двойственна системе координат с началом в точке B c осями o , a и координатами на них 1/f и 1/q.

Видно, что с течением времени – с увеличением (заменим далее его на h, поскольку мы рассматриваем точку прямой  в момент времени ) обе координаты растут нелинейно.

Найдем ускорение, которое имеет инерциальная система с осью времени  в координатной системе  инерциальной системы b.

Заметим, что из (8) с учетом (9) можно получить соотношение между дифференциалами времени (как одной из координат точки) для двух систем координат  инерциальной системы b:

С учетом этого соотношения скорость  (см. (10) инерциальной системы  в координатной системе инерциальной системы b может быть найдена как производная от расстояния  между инерциальными системами:

 

Рис. 6 – Инерциальная система с мировой линией  в два различных момента  времени инерциальной системы с осью времени b

Теперь искомое ускорение может быть найдено аналогичным методом:

 

Предположим, что в начальный момент времени  обе инерциальные системы b и  покоились (F=0), т.е. прямая  проходила через точку A (см. рис. 7). Тогда в любой следующий момент времени они уже будут двигаться друг относительно друга, и расстояние и скорость между ними будут увеличиваться с ускорением. Координата, скорость и ускорение инерциальной системы  в любой следующий момент времени h инерциальной системы отсчета будут равны:

Рис. 7 – Инерциальная система   в любой следующий момент   времени инерциальной системы b после покоя 

Видно, что понятие покоя в проективной гиперболической геометрии может быть применено только к определенному моменту времени. И любые две инерциальные системы после такого состояния начинают ускоренно удаляться друг от друга.

В момент времени , по часам инерциальной системы b инерциальная система  будет покоиться относительно такой инерциальной системы , которая относительно системы  b имеет скорость .

Этот результат не является неожиданным, поскольку в любой плоской неевклидовой геометрии прямая не является линией равного расстояния (эквидистантой) относительно любой другой прямой линии.

О понятии кривизны плоской неевклидовой геометрии

Рассматриваемая в данной статье плоская неевклидова геометрия не обладает гауссовой кривизной. Однако, как показано выше (8), в ней также можно ввести дифференциал расстояния в виде дифференциальной формы второй степени. А значит и инвариант «кривизна», который мы будем называть клейновой кривизной меры.

Кривизна меры впервые введена Ф. Клейном [13, С. 272]. Он связывает кривизну плоской проективной неевклидовой геометрии с характеристиками опережения или отставания физической меры по отношению к аддитивной мере при операции измерения одного и того же отрезка. Клейн называет эти меры соответственно специальной соприкасающейся и общей неевклидовой мерой.

Рассмотрим, как и Ф. Клейн, разложение в ряд аддитивной меры по неаддитивной вблизи начала координат. В случае времениподобного интервала с гиперболическим мероопределением (когда на прямой имеются две двойные точки – у Ф. Клейна фундаментальные) это разложение имеет следующий вид:

Видно, что физическая (специальная соприкасающаяся) мера h отстает от аддитивной (общей) меры  отрезка. Т.е.  в действительной области значений переменных.

В случае пространственно подобного интервала с эллиптическим мероопределением на прямой (когда на прямой имеются две мнимые двойные – фундаментальные точки) вид разложения в ряд следующий:

В данном случае физическая мера  опережает аддитивную меру .

В случае двумерного многообразия кривизна может быть определена также как произведение двух главных кривизн – кривизн двух ортогонально расположенных геодезических линий. С проективной точки зрения прямые неевклидовой геометрии ортогональны, если они пересекают поляру вершины угла в точках сопряженных в инволюции. В той же инволюции, в двойных точках которой эту поляру пересекает и Абсолют. Геодезическими в плоской неевклидовой геометрии являются прямые линии. Если мы определим кривизну Клейна неевклидовой прямой как производную аддитивной меры по неаддитивной, то для кривизны неевклидовой плоскости получим те же результаты, что и при расчете через коэффициенты первой дифференциальной квадратичной формы.

Мы отдаем предпочтение модели плоской проективной неевклидовой геометрии с клейновой кривизной меры по следующим причинам:

1. В этой модели кривизна не является гауссовой (внутренней) кривизной пространства-времени, а значит нет необходимости вводить гравитационное поле и его источник – материю в любой ее форме.
2. Мировые линии инерциальных систем остаются прямыми линиями.
3. Проективный взгляд на геометрию открывает удивительную симметрию проективного принципа двойственности.

Модель неевклидова мира с гауссовой кривизной впервые рассмотрел де Ситтер (гипотеза Б [14, С. 304]). У него в качестве физических координат выбраны аддитивные неевклидовы координаты. В этом можно убедиться, рассматривая метрику гипотезы Б (формула 8Б [14, С. 304]). Соотношения между физическими мерами, принятыми в данной статье, и физическими мерами де Ситтера (обозначим их индексом S ) следующие:

В статье [15, С. 247] Ф. Клейн рассмотрел соответствие между миром де Ситтера и плоским проективно-гиперболическим 4-х мерным миром. Клейн называл такой мир псевдоэллиптическим по аналогии с псевдоевклидовым. Этот мир отличается от эллиптического знаком минус у временной компоненты уравнения Абсолюта (фундаментальной области у Клейна).

Выводы

1. В рассмотренном неевклидовом 4-х мерном пространстве-времени интервал между двумя событиями (расстояние между двумя точками) является инвариантом движения – проективного преобразования.
2. Инвариантом являются и размеры 4-х мерного пространства, как в направлении времени, так и в направлении любой из пространственных координат. Т.е. само пространство-время не расширяется.
3. Мировая линия инерциальной системы в проективно-гиперболической геометрии не является эквидистантой относительно мировой линии любой другой инерциальной системы. Прямая линия в любом неевклидовом пространстве не является эквидистантой относительно любой другой прямой линии.

Расширив с помощью проективного метода представление о геометрии физического 4-х мерного пространства-времени и перейдя от псевдоевклидовой модели к проективно-гиперболической (псевдоэллиптической по Клейну), можно получить достаточно простую и наглядную картину разбегания друг относительно друга инерциальных систем отсчета. Но, несмотря на то что эти системы не взаимодействуют друг с другом, их ускоренное разбегание нельзя интерпретировать как расширение с течением времени самого 3-х мерного физического пространства.

Метрически 3-х мерное пространство имеет геометрию эллиптического типа. Эту геометрию создает мнимый Абсолют – как результат пересечения 3-х мерного пространства с действительным Абсолютом4-х мерного гиперболического пространства-времени, размеры которого с течением времени не изменяются.

В каждый момент времени (для любого наблюдателя) наблюдаемое взаимное расположение (расстояние, скорость и ускорение) пересечений мировых линий с 3-х мерным физическим пространством обновляется. Обновляется даже если все мировые линии есть прямые линии, которые имеют общую точку внутри Абсолюта. Взаимное расположение систем координат инерциальных систем отсчета обновляется даже если существует такой момент времени, когда системы отсчета покоятся друг относительно друга. В проективном гиперболическом мире меняется не расстояние между событиями – точками 4-х мерного пространства, а расстояние между мировыми линиями тел, даже если они не взаимодействуют друг с другом.

При проективном рассмотрении наш мир в любом из направлений (времени и пространства) замкнут. В физических мерах (неаддитивных неевклидовых) проективно-гиперболический мир пространственно бесконечен и ограничен по времени величиной x. Но эта граница не достижима в той же степени, как и не достижима скорость света.

Рассмотренную в данной статье проективную гиперболическую геометрию Лобаческого – Больяи можно вполне называть проективной непсевдоевклидовой или, в след за Феликсом Клейном, наиболее кратко псевдоэллиптической, или мир ЛБ (мир Лобачевского-Больяи).

В заключение приведем еще мнение В. Паули, высказанное им на стр. 82 книги [6]: «Форма линейного элемента не определяет однозначно метрических свойств всего пространства в целом. Дифференциально-геометрическое рассмотрение должно быть дополнено в этом пункте проективным. Последнее позволяет для пространства постоянной кривизны сразу ответить на вопрос о свойствах всего пространства в целом.» (в этой цитате курсив В. Паули).

Список литературы / References

1. Staudte von G. K. Ch. Geometrie der Lage / G. K. Ch. von Staudt. – Nurnberg: Verlag von Bauer und Raspe (Julius Merz), 1847. – 216 s.
2. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангенская программа»): [пер. с нем.] / Ф. Клейн // Сборник: «Об основаниях геометрии». – М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1956. – С. 399-434.
3. Кэли А. Шестой мемуар о формах: [пер. с англ.] / А. Кэли //Сборник: «Об основаниях геометрии». – М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1956. – C. 222-252.
4. Клейн Ф. Неевклидова геометрия: [пер. с нем.] / Ф. Клейн – 2-е изд. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 360 с.
5. Varičak Phys. Ztschr., 1910, Bd. 11, S. 93, 287, 586; /Phys. Ztschr.Varičak – Belgrader Akademieber, 1911. – V. 88.
6. Паули В. Теория относительности: [пер. с англ.] /В. Паули – 2-е изд. – М.: Наука, 1983. – 336 с.
7. Бельтрами Э. Опыт интерпретации неевклидовой геометрии: [пер. с итальян.] / Э. Бельтрами //Сборник: «Об основаниях геометрии». - М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1956. – С. 180-212.
8. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. /         В.А. Фок – 2-е изд. – М.: Изд-во физико-математической литературы, 1961. –  563 с.
9. Глаголев Н.А. Проективная геометрия. / Н.А. Глаголев – 2-е изд. – М.: Высшая школа, 1963. – 344 с.
10. Лобачевский Н.И. О началах геометрии. / Н.И. Лобачевский // Сборник: «Об основаниях геометрии». – М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1956. – С. 27-49.
11. . Больяи Я. Аппендикс: [пер. с латин.] /Я. Больяи // Сборник: «Об основаниях геометрии». – М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1956. – С. 71-100.
12. Staudt von G. K. Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage, Erstes Heftr / G. K. Ch. von Staudt – Nurnberg, Verlag von Bauer und Raspe (Julius Merz), 1856. – 129 s.
13. Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометрии: [пер. с нем.] / Ф. Клейн // Сборник: «Об основаниях геометрии». – М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1956. – С. 253-303.
14. де Ситтер В. О теории тяготения Эйнштейна и ее следствиях для астрономии. Статья III: [пер. с англ.] / В. де Ситтер // Сборник статей: «Альберт Эйнштейн и теория гравитации». – М.: Мир, 1979. – С. 299-319.
15. Клейн Ф. Об интегральной форме законов сохранения и теории пространственно замкнутого мира: [пер. с нем.] / Ф. Клейн //Эйнштейновский сборник, 1980-1981. – М.: Наука, 1985. – С. 226-254.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Staudte von G. K. Ch. Geometrie der Lage [The geometry of the situation] / G. K. Ch. von Staudt. – Nurnberg: Verlag von Bauer und Raspe (Julius Merz), 1847. – 216 p. [in Germany]
2. Klejn F. Sravnitel'noe obozrenie novejshih geometricheskih issledovanij («Jerlangenskaja programma») [A comparative review of the latest geometric studies ("Erlangen program")] / F. Klein // Sbornik: «Ob osnovanijah geometrii» [The collection: "On the foundations of geometry"]. – M.: Izd-vo tehniko-teoreticheskoj literatury, 1956. – P. 399-434. [in Russian]
3. Kjeli A. Shestoj memuar o formah [Sixth memoir upon quantics] / A. Cayly // Sbornik: «Ob osnovanijah geometrii» [The collection: "On the foundations of geometry"]. – M.: Izd-vo tehniko-teoreticheskoj literatury, 1956. – P. 222-252. [in Russian]
4. Klejn F. Neevklidova geometrija [Non-Euclidean geometry] / F. Klein – 2nd ed. – M.: Editorial URSS, 2004. – 360 p. [in Russian]
5. Varičak Phys. Ztschr., 1910, Bd. 11, S. 93, 287, 586; /Phys. Ztschr.Varičak – Belgrader Akademieber, 1911. – 88 v. [ in Serbia]
6. Pauli W. Teorija otnocitel'nocti [Theory of Relativity] /W. Pauli – 2nd ed. – M.: Nauka, 1983. – 336 p.
7. Bel'trami Je. Opyt interpretacii neevklidovoj geometrii [Experience in interpretation of non-Euclidean geometry] / Beltrami E. //Sbornik: «Ob osnovanijah geometrii»[The collection: "On the foundations of geometry"]. – M.: Izd-vo tehniko-teoreticheskoj literatury, 1956. – P. 180-212. [in Russian]
8. Fok V.A. Teorija prostranstva, vremeni i tjagotenija [Theory of space, time and gravity] / V.A. Fok – 2nd ed. – M.: Izd-vo fiziko-matematicheskoj literatury, 1961. – 563 p. [in Russian]
9. Glagolev N.A. Proektivnaja geometrija [Projective geometry] / N.A. Glagolev – 2nd ed. – M.: Vysshaja shkola, 1963. – 344 p. [in Russian]
10. Lobachevskij N.I. O nachalah geometrii [On the basis of geometry] / N.I. Lobachevskij // Sbornik: «Ob osnovanijah geometrii»» [The collection: "On the foundations of geometry"]. – M.: Izd-vo tehniko-teoreticheskoj literatury, 1956. – P. 27-49. [in Russian]
11. Bol'jai Ja. Appendiks [Appendix] / J. Bolyai // Sbornik: «Ob osnovanijah geometrii»» [The collection: "On the foundations of geometry"]. – M.: Izd-vo tehniko-teoreticheskoj literatury, 1956. – P. 71-90. [in Russian]
12. Staudt von G. K. Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage, Erstes Heftr [Contributions to the Geometry of the situation, the First Heftr] / G. K. Ch. von Staudt – Nurnberg, Verlag von Bauer und Raspe (Julius Merz), 1856. – 129 p.[ in Germany]
13. .Klejn F. O tak nazyvaemoj neevklidovoj geometrii [About the so-called non-Euclidean geometry] / F. Klein // Sbornik: «Ob osnovanijah geometrii» [The collection: "On the foundations of geometry"]. – M.: Izd-vo tehniko-teoreticheskoj literatury, 1956. – P. 253-303. [in Russian]
14. de Sitter V. O teorii tjagotenija Jejnshtejna i ee sledstvijah dlja astronomii. Stat'ja III. [On the theory of gravitation of Einstein and its consequences for astronomy. Article III.] / V. de Sitter // Sbornik. statej: «Al'bert Jejnshtejn i teorija gravitacii»[ Collection of articles: "albert Einstein and the theory of gravitation"]. – M.: Mir, 1979. – P. 299-319. [in Russian]
15. Klejn F. Ob integral'noj forme zakonov sohranenija i teorii prostranstvenno zamknutogo mira [About the integral form of the conservation laws and the theory of spatially closed world] / F. Klein //Jejnshtejnovskij sbornik, 1980-1981[Einstein collection, 1980-1981]. – M.: Nauka, 1985. – P. 226-254. [in Russian]