ASYMMETRICAL FORCED DANCES OF THE CYLINDRICAL LID REINFORCED WITH RODS

Research article
DOI:
https://doi.org/10.23670/IRJ.2023.137.9
Issue: № 11 (137), 2023
Suggested:
28.05.2023
Accepted:
19.10.2023
Published:
17.11.2023
329
5
XML
PDF

Abstract

In this work, the problem of asymmetric oscillations of a cylindrical shell filled with fluid and reinforced by a crossed ribbing system and loaded by axial compressive forces is studied. Using logarithmic summation of the Bessel function, the influence of physical and geometrical parameters characterizing the system on these parameters is examined. Using certain frequencies from the front, a cylindrical body reinforced with rods, which was subjected to a solid force, was subjected to asymmetric forced motions under the action of an external force varying harmonically with the fluid. Analytical expressions for the displacement of the points of the cylindrical body were obtained and characteristic curves in the frequency-displacement level were established by calculation using a simple method.

1. Введение

Известно, что одной из наиболее актуальных проблем механики деформируемого твердого тела являются аналитические выражения для расчета искомых в исследуемых вопросах величин. В данной работе одна из характеристик динамической жесткости цилиндрического пласта, на который действует сжимающая сила в направлении оси, армирована стержнями и контактирует с жидкостью — удельные частоты горных пород и это получение аналитических выражений для расчета частот, исследование вынужденных движений, вызванных воздействием внешней силы, гармонически изменяющейся во времени, еще раз подтверждает актуальность темы получения аналитических выражений для расчета смещений точек цилиндрического тела.

Когда мы говорим о цилиндрической юрте, армированной стержнями, имеется в виду сочетание цилиндрической юрты с противоположно деформированными цилиндрическими стержнями. Таким образом, используются два метода исследования состояния смещения-деформирования такой конструкции под действием статических и динамических сил. Первый метод заключается в моделировании конструкции как конструктивно-ортотропной страны. Сущность второго метода состоит в том, что система уравнений, характеризующих процесс деформирования конструкции, рассчитывается с учетом дискретного расположения стержней. В частном случае из этой системы можно получить систему уравнений, характеризующую процесс деформирования конструктивно-ортотропного цилиндрического тела путем перехода к пределу, когда число колец увеличивается бесконечно.

Изучаемая нами система состоит из цилиндрической оболочки, укрепленной стержнями и жидкости, полностью заполняющей ее внутреннюю часть. Поэтому для исследования динамики такой системы воспользуемся системой уравнений движения жидкости и добавленными к ним контактными условиями.

В.З. Власов

заложил основы теории деформирования стержней, армированных стержнями. Когда мы говорим о цилиндрической раме, закрепленной стержнями, то имеют в виду цилиндрическую раму и систему, состоящую из стержней, жестко закрепленных на ней по координатным линиям (рис. 1).

Соприкасающаяся со средой цилиндрическая оболочка, подкрепленная стержнями, нагруженными к действию сжимающей силы

Рисунок 1 - Соприкасающаяся со средой цилиндрическая оболочка, подкрепленная стержнями, нагруженными к действию сжимающей силы

Предполагается, что оси координат совпадают с основными линиями разъема ложа и вдоль этих линий стержни находятся в жестком контакте с ложем. Работа
была посвящена нахождению удельных частот вращения продольных и круговых стержневых армированных катушек. В
с помощью численных методов были найдены удельные частоты качания стержней, армированных стержнями. Система уравнений равновесия со стержнями на поверхности в произвольном положении была получена в работах
. Следует отметить, что характеристические и вынужденные движения гладких цилиндрических подшипников, контактирующих с окружающей средой, изучались в работах
,
,
. В работах
,
исследовались вынужденные трещины гладких цилиндрических подшипников, контактирующих с окружающей средой.

2. Постановка задачи

Предположим, что на цилиндрическое тело действует гармоническая сила

img
(1)

В выражении (1) img – амплитуда силы img – скорость изменения во времени, imgimg – соответственно, являются волновое число в направлении оси круга и цилиндра.

Если он находится под действием градиента давления, его потенциальная энергия определяется следующим образом

:

img

img
(2)

img

Кинетическая энергия армированной балки равна:

img
(3)

Используя решающее условие удара Остроградского-Гамильтона, по выражениям (2) и (3) можно получить выражение поведения стержневого армированного грунта:

img
(4)

img – эффект Гамильтона, img является функцией Лагранжа. В уравнении (4) если провести работу вариатора и imgimgimg, считая вариации произвольными и независимыми, получаем следующую систему уравнений движения:

img
(5)

Получаем систему уравнений движения при перемещениях конструктивного ортотропного цилиндрического тела:

img

img
(6)

img

Здесь img.

Распространение малых возбуждений в идеальной жидкости выражается следующим уравнением:

img
(7)

Здесь img – потенциал жидкости, img – скорость диффузии вещества в жидкости. В гармоническом случае преобразуем уравнение (7) в уравнение Хельмольца:

img
(8)

Когда жидкость несжимаемая, поскольку img, (8) преобразуется в уравнение Лапласа:

img
(9)

Если жидкость представляет собой идеальную жидкость с двухфазными пузырьками, то распространение малых скачков напряжения в такой жидкости определяется следующим уравнением

:

img
(10)

Здесь imgimg  фактическая плотность нефти и газа; img – статическое давление; img – плотность смеси; img – объем пузырьков газа; значения параметров в равновесии соответствуют нулевому показателю; img

В систему уравнений движения (6), уравнений движения жидкости (7) и (10) добавляются контактные условия. Предполагается, что нормальные составляющие скорости и давления на поверхности контакта с жидкостью равны, а тангенциальные перемещения равны нулю:

img
(11)

Здесь img являются составляющими силы давления, оказываемой жидкостью на тело.

3. Решение задачи

Найти img потенциал, входящий в выражение (8), можно следующим образом:

img
(12)

Это выражение можно записать в виде (8) в цилиндрической системе координат:

img
(13)

Здесь img

Общее решение уравнения (13) с помощью двух функций Бесселя можно записать следующим образом:

img
(14)

img зависит от значений параметра img. Параметр img напишем следующим образом:

img

img когда (13) попадает в следующий порядок:

img

Решения последнего уравнения функции Бесселя img и img Поскольку жидкость заполняет внутреннюю часть цилиндрического тела, она будет поступать в область решения задачи с направлением img. В этот момент, поскольку функция неограничена, решение уравнения Бесселя выглядит следующим образом:

img
(15)

зная выражение img потенциала, можно определить давление img жидкости и радиальную скорость img ее узлов [3]:

img
(16)

Используя выражения (15) и (16), получаем:

img
(17)

Решение системы динамики движения (5) ищется следующим образом:

img
(18)

Здесь img – константы, img – число волн в круговом направлении, img – число полуволн вдоль центра цилиндра, img – круговая частота.

Если использовать первое из выражений (11), решения (17) и (18), то константу img можно выразить через img:

img

Мы можем записать это выражение в (17):

img

Если записать в это уравнение img, то получим для значения давления на контакте:

img
(19)

Системы уравнений движения грунта и жидкости, армированные стержнями (7)-(10), совместно с контактными условиями (11) позволяют решить задачу о свободных движениях конструктивно-ортотропной системы грунт-флюид. Другими словами, исследование свободных движений ортотропного цилиндрического основания, контактирующего с твердой средой и жидкостью, сводится к интегрированию системы уравнений конструктивно-ортотропного основания и уравнения движения жидкости в условиях контакта. Если принять в (6) системе уравнений величины с индексом «с» равными нулю, то получим систему уравнений движения для перемещений цилиндрических оболочек, на которую действует сжимающая сила вдоль оси и внутренняя область заполнена жидкостью, укреплена только продольными стержнями:

img

img
(20)

img

Используя систему уравнений движения (20) и их решения (18), выражение (19) давления цилиндра на землю жидкостью и выражение (20), получим систему неоднородных линейные уравнения относительно констант img:

img
(21)

(21) представляет собой систему неоднородных линейных уравнений, обусловленную img константами системы. Мы можем легко определить константы img из этой системы:

img

Здесь img.

img константы следующие:

img

Если записать выражения констант img в (18), то можно найти перемещения точек цилиндрической опоры, на которую действует осевая сила и внутренняя область которой заполнена жидкостью, армированной стержнями:

img
(22)

Когда жидкость не сжата:

img

img
(23)

img

При впитывании жидкости:

img

img
(24)

img

Если записать выражение константы img входящей в (21), в (19), получим для значения давления на контакте:

img
(25)

По тому же правилу, если использовать логарифмическую производную функции Бесселя img:

img

с учетом соотношений

img

можно упростить выражение (25).

Когда жидкость не сжата:

img

При впитывании жидкости:

img

Зависимость отношения img из img – входящего в выражения (22), рассчитывалась численным методом. Для других физических и геометрических параметров, характеризующих систему, были приняты следующие числовые значения:

img

Результаты расчетов приведены на рис. 2.

Зависимость соотношения w(0) / qz(0) из ω1

Рисунок 2 - Зависимость соотношения w(0) / qz(0) из ω1

Примечание: штриховые линии соответствуют несжимаемым случаям, а сплошные линии – сжимаемым случаям

Как видно из графика, перемещение цилиндрического стержня не ограничено на резонансных частотах. Резонансные частоты соответствуют значениям img, отмеченным на графике, а учет сжатия жидкости приводит к уменьшению этих частот по сравнению со случаем, когда жидкость не сжата. Для расчета перемещений на резонансных частотах и ​​вокруг них необходимо учитывать более реалистичное свойство жидкости, такое как ее вязкость. 

4. Заключение

В статье впервые создана физико-математическая модель исследования свободных и вынужденных движений цилиндрического стержня, армированного стержнями и контактирующего с окружающей средой под действием осевой силы. Рассмотрены несимметричные случаи движений. Установлена ​​частотная кривая системы и найдены ее кривые асимптотическим методом. Изучено влияние геометрических, физических и механических параметров, характеризующих систему, на эти частоты. 

При решении данной задачи использовались уравнения теории состояний и уравнения гидродинамики. Полученное частотное уравнение системы исследовано асимптотическим методом. В процессе расчета использовалась логарифмическая сумма функции Бесселя. Трансцендентные уравнения, полученные с помощью логарифмического суммирования функции Бесселя, были объединены с алгебраическими уравнениями и найдены их корни.

Он основан на правильной постановке задачи, использовании точных решений гидродинамического уравнения, проверке точности полученных уравнений и схемы решения системы уравнений. Полученные формы сочетают в себе известные физические и математические закономерности.

Результаты, полученные в статье, могут быть использованы при исследовании характеристик динамической жесткости нефти и газопроводов, армированных стержнями, цилиндрических конструкций, контактирующих с жидкостью, применяемых в промышленности и гражданском строительстве, а также элементов конструкций.

Article metrics

Views:329
Downloads:5
Views
Total:
Views:329