BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MODEL DIFFERENTIAL EQUATION WITH INVOLUTION IN A RECTANGULAR DOMAIN

Research article
DOI:
https://doi.org/10.23670/IRJ.2023.137.53
Issue: № 11 (137), 2023
Suggested:
02.09.2023
Accepted:
08.11.2023
Published:
17.11.2023
341
12
XML
PDF

Abstract

In the present work, the solvability of a classical boundary value problem for a degenerate partial differential equation of the second order with an involutive deviation of the argument of the form (-x) in a rectangular domain is first established and studied. The existence and uniqueness theorems of the regular solution are proved for the studied problem. Some conditions on the coefficients, when fulfilling which the problem has a singular solution, are set. The question of solvability of the problem in the required class of functions by the method of separation of variables is reduced to the solvability of the corresponding ordinary differential equation with involutive deviation of the argument, the solution of which is constructed by the method of differentiation.

1. Введение

В последнее время у специалистов в области дифференциальных уравнений все больший интерес вызывают задачи для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. Такое внимание обусловлено как теоретическими потребностями в обобщении классических результатов, так и прикладной значимостью краевых задач для уравнений с отклоняющимся аргументом.

Наиболее важные вопросы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их приложения изучены в работах

,
. Теории разрешимости уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом и их приложениям посвящена работа
. В работе
исследуется задача о параболическом уравнении с инволюцией и установлены оценки устойчивости для решения этой задачи. Исследованию спектральных свойств классических операторов Дирака и операторов с инволюцией в однородных функциональных пространствах посвящена работа
. В работах
,
,
методом разделения переменных получено решение смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных производных с инволютивным отклонением аргумента в производной и в самой функции. Исследованию разрешимости в пространствах Соболева краевых задач для эллиптических и параболических уравнений с переменными коэффициентами и с инволюцией в старших производных, как в невырожденном, так и в вырожденном случаях посвящена работа
.

Среди дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами особое место занимают уравнения с инволютивным отклонением аргумента.

Определенная на некотором числовом множестве img функция img называется инволюцией на этом множестве, если при img выполняется img. Наиболее распространенными простейшими примерами инволюции, являются следующие виды:

1) imgэто инволюция, известная как отражение;

2) img инволюция инверсии;

3) Пусть img,

img

- дробно-линейная инволюция (при img – линейная инволюция).

Обыкновенные дифференциальные уравнения с инволютивным отклонением аргумента впервые встречаются в работе, опубликованной в 1816 году Ч. Баббеджом

. Отметим, что к дифференциальным уравнениям, содержащим инволютивное отклонение аргумента сводятся некоторые геометрические задачи
, задачи теории фильтрации
, задачи исследования субгармонических колебаний, описываемых уравнениями без диссипации
.

В настоящей работе впервые поставлена и исследована однозначная разрешимость краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка с инволютивным отклонением аргумента в прямоугольной области. Подобное уравнение с общей инволюцией в старших производных изучалось в работе

.

Рассмотрим уравнение

img
(1)

в прямоугольной области img, где img – заданные положительные числа.

Задача img. Найти в области img функцию img, удовлетворяющую условиям

img
(2)
img
(3)
img
(4)
img
(5)

где img – заданные достаточно гладкие функции.

В случае img краевая задача (2)-(5) достаточно хорошо изучена (см., например,

). Если же img не является тождественно нулевой, то в этом случае настоящая задача раннее не изучалась.

2. Исследование однозначной разрешимости задачи

Покажем, что однородная задача img (img) имеет только нулевое решение.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть коэффициент img уравнения (1) удовлетворяет следующему условию:

img

тогда если решение задачи img в области img существует, то оно единственно.

Доказательство. Действительно, умножим уравнение (1) на img и проинтегрируем по области img полученное равенство:

img
(6)

Оценим последнее слагаемое в полученном равенстве (6) применив неравенство Гёльдера и выполнив замену img:

img
(7)

Принимая во внимание неравенства

img

img

а также из (6) и (7) получим

img

Следовательно, с учетом условия теоремы 1 img неравенство будет справедливо лишь в случае img и решение задачи img единственно.

Теорема доказана.

Перейдем теперь к доказательству существования решения.

Решение задачи (2)-(5) будем искать методом Фурье в виде

img
(8)

Подставляя (8) в (1) и разделяя переменные, получим

img
(9)

где img.

Отсюда, с учетом (4), будем иметь

img
(10)
img
(11)

Введем следующие обозначения, обозначим через img и img числа img и img, где img.

Исследуем задачу (10), (11). Дважды дифференцируя (10), а также учитывая равенства

img

img
(12)

приходим к соотношению

:

img
(13)

Кроме того, из (10) и (11) вытекают условия

img
(14)

Для функции img, чисел img и img должны выполняться равенства (13), (11), (14), а также (12).

Рассмотрев различные представления общего решения уравнения (13) при различных значениях img получим, что при img и img однородная краевая задача (10), (11) имеет ненулевые решения img и img соответственно. Системы собственных функций img и img образуют базис в img.

Подставляя img в (9) приходим к соотношению

img
(15)

Общее решение уравнения (15) будет иметь вид

img

где img – произвольные постоянные, img и img – модифицированные функции Бесселя I и III рода соответственно

.

Тогда из (8) получим

img
(16)

где img – постоянные нуждающиеся в определении.

Для нахождения неизвестных постоянных img удовлетворим построенное решение (16) граничным условиям (5). Учитывая поведение модифицированных функций Бесселя при img

, получим

img
(17)

Удовлетворим решение (16) краевому условию (5), используя оценки (17) для функции img и img, будем иметь

img
(18)

где

img
(19)

Подставляя (18) в (16), получим:

img
(20)

Аналогично общее решение уравнения (9) при img определяется формулой:

img

где img – произвольные постоянные, img и img – модифицированные функции Бесселя I и III рода соответственно.

Тогда из (8) будем иметь

img
(21)

где img – постоянные нуждающиеся в определении.

Решение (21), удовлетворив граничным условиям (5) с учетом (17), найдем:

img
(22)

где

img
(23)

Затем, подставим (22) в (21), тогда решение при img представляется в виде:

img
(24)

Лемма 1. Если img и выполнены следующие условия: img, img, img, img, img, то справедливы оценки:

img

где

img

Доказательство. Проинтегрировав по частям три раза в интегралах (19), (23) с учётом условий леммы получим

img

где

img

Функция img непрерывна на img, то из теории рядов Фурье в силу неравенства Бесселя следующий ряд сходится

img

Интегрируя три раза по частям в первом интеграле (23), имеем

img

где

img

В силу неравенства Бесселя и непрерывности функции img на img будет сходиться ряд:

img

Аналогично устанавливается справедливость остальных оценок

img

где

img

Лемма полностью доказана.

Теорема 2. Если выполнены условия леммы 1, то для любого img при больших img и img справедливы оценки:

img

img

img

img

где img.

Доказательство. Пусть img, где img – достаточно малое число, img. Тогда пользуясь асимптотическими формулами (17) для модифицированных функций Бесселя в окрестности точки img, оценим img, заданную по формуле (20):

img

где img – здесь и далее положительные постоянные.

Если положить img, то на основании асимптотических формул модифицированных функций Бесселя в окрестности бесконечно-удалённой точки

:

img
(25)

оценим функцию img:

img

Тогда при любом img для img справедлива оценка

img

Отсюда в силу леммы 1, получим

img

Воспользовавшись формулами дифференцирования модифицированных функций Бесселя

img

найдем производную функции img:

img
(26)

Пусть img. В силу асимптотических формул для модифицированных функций Бесселя в в окрестности точки img

img

имеем:

img
(27)

Тогда с учетом (27) оценим функцию (26):

img
(28)

Поскольку при больших img

img
(29)

то из (28) и (29) следует, что

img
(30)

Когда img, то из (25) и (26) будем иметь

img

Отсюда с учётом (29) имеем

img
(31)

Тогда из (31) и (30) вытекает, что при img и img, справедлива следующие оценка

img

или с учётом леммы 1:

img

Найдем производные img, img и img, получим:

img

img

img

Из оценки для функций img и img вытекают следующие оценки:

img

Из уравнений (1) с учётом оценок из леммы 1 для функций img и img, получим:

img

Аналогичные оценки справедливы и для функции img и ее производных img, img, img, img и img.

Теорема полностью доказана.

Таким образом, если функций img и img удовлетворяют условиям теоремы 1 и теоремы 2, то существует единственное решение задачи (2) - (5) и оно представимо в виде суммы сходящихся рядов

img

где img, img и img, img определяются из равенств (19) и (23) соответственно.

3. Заключение

Основной целью настоящей работы было доказательство существования и единственности регулярных решений первой краевой задачи для модельного уравнения в частных производных с инволютивным отклонением в младших слагаемых, то есть решений имеющих все производные, входящие в соответсвующее уравнение. С использованием метода разделения переменных было доказано существование единственного решения классической первой краевой задачи. Несмотря на то, что результаты работы носят теоретический характер, они могут иметь широкое применение, как и в дальнейших исследованиях уравнений с отклоняющимся аргументом, а именно дифференциальных уравнений с инволютивным отклонением аргумента и краевых задач для них, так и в прикладных задачах.

Article metrics

Views:341
Downloads:12
Views
Total:
Views:341