BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MODEL DIFFERENTIAL EQUATION WITH INVOLUTION IN A RECTANGULAR DOMAIN

В последнее время у специалистов в области дифференциальных уравнений все больший интерес вызывают задачи для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. Такое внимание обусловлено как теоретическими потребностями в обобщении классических результатов, так и прикладной значимостью краевых задач для уравнений с отклоняющимся аргументом.

Наиболее важные вопросы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их приложения изучены в работах

Среди дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами особое место занимают уравнения с инволютивным отклонением аргумента.

Определенная на некотором числовом множестве функция называется инволюцией на этом множестве, если при выполняется . Наиболее распространенными простейшими примерами инволюции, являются следующие виды:

1) – это инволюция, известная как отражение;

2) – инволюция инверсии;

3) Пусть ,

- дробно-линейная инволюция (при  – линейная инволюция).

Обыкновенные дифференциальные уравнения с инволютивным отклонением аргумента впервые встречаются в работе, опубликованной в 1816 году Ч. Баббеджом

В настоящей работе впервые поставлена и исследована однозначная разрешимость краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка с инволютивным отклонением аргумента в прямоугольной области. Подобное уравнение с общей инволюцией в старших производных изучалось в работе

Рассмотрим уравнение

(1)

в прямоугольной области , где – заданные положительные числа.

Задача . Найти в области функцию , удовлетворяющую условиям

(2)

(3)

(4)

(5)

где – заданные достаточно гладкие функции.

В случае краевая задача (2)-(5) достаточно хорошо изучена (см., например,

Покажем, что однородная задача () имеет только нулевое решение.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть коэффициент уравнения (1) удовлетворяет следующему условию:

тогда если решение задачи в области существует, то оно единственно.

Доказательство. Действительно, умножим уравнение (1) на и проинтегрируем по области полученное равенство:

(6)

Оценим последнее слагаемое в полученном равенстве (6) применив неравенство Гёльдера и выполнив замену :

(7)

Принимая во внимание неравенства

а также из (6) и (7) получим

Следовательно, с учетом условия теоремы 1 неравенство будет справедливо лишь в случае и решение задачи единственно.

Теорема доказана.

Перейдем теперь к доказательству существования решения.

Решение задачи (2)-(5) будем искать методом Фурье в виде

(8)

Подставляя (8) в (1) и разделяя переменные, получим

(9)

где .

Отсюда, с учетом (4), будем иметь

(10)

(11)

Введем следующие обозначения, обозначим через и числа и , где .

Исследуем задачу (10), (11). Дважды дифференцируя (10), а также учитывая равенства

(12)

приходим к соотношению

(13)

Кроме того, из (10) и (11) вытекают условия

(14)

Для функции , чисел и должны выполняться равенства (13), (11), (14), а также (12).

Рассмотрев различные представления общего решения уравнения (13) при различных значениях получим, что при и однородная краевая задача (10), (11) имеет ненулевые решения и соответственно. Системы собственных функций и образуют базис в .

Подставляя в (9) приходим к соотношению

(15)

Общее решение уравнения (15) будет иметь вид

где – произвольные постоянные, и – модифицированные функции Бесселя I и III рода соответственно

Тогда из (8) получим

(16)

где – постоянные нуждающиеся в определении.

Для нахождения неизвестных постоянных удовлетворим построенное решение (16) граничным условиям (5). Учитывая поведение модифицированных функций Бесселя при

(17)

Удовлетворим решение (16) краевому условию (5), используя оценки (17) для функции и , будем иметь

(18)

где

(19)

Подставляя (18) в (16), получим:

(20)

Аналогично общее решение уравнения (9) при определяется формулой:

где – произвольные постоянные, и – модифицированные функции Бесселя I и III рода соответственно.

Тогда из (8) будем иметь

(21)

где – постоянные нуждающиеся в определении.

Решение (21), удовлетворив граничным условиям (5) с учетом (17), найдем:

(22)

где

(23)

Затем, подставим (22) в (21), тогда решение при представляется в виде:

(24)

Лемма 1. Если и выполнены следующие условия: , , , , , то справедливы оценки:

где

Доказательство. Проинтегрировав по частям три раза в интегралах (19), (23) с учётом условий леммы получим

где

Функция непрерывна на , то из теории рядов Фурье в силу неравенства Бесселя следующий ряд сходится

Интегрируя три раза по частям в первом интеграле (23), имеем

где

В силу неравенства Бесселя и непрерывности функции на будет сходиться ряд:

Аналогично устанавливается справедливость остальных оценок

где

Лемма полностью доказана.

Теорема 2. Если выполнены условия леммы 1, то для любого при больших и справедливы оценки:

где .

Доказательство. Пусть , где – достаточно малое число, . Тогда пользуясь асимптотическими формулами (17) для модифицированных функций Бесселя в окрестности точки , оценим , заданную по формуле (20):

где – здесь и далее положительные постоянные.

Если положить , то на основании асимптотических формул модифицированных функций Бесселя в окрестности бесконечно-удалённой точки

(25)

оценим функцию :

Тогда при любом для справедлива оценка

Отсюда в силу леммы 1, получим

Воспользовавшись формулами дифференцирования модифицированных функций Бесселя

найдем производную функции :

(26)

Пусть . В силу асимптотических формул для модифицированных функций Бесселя в в окрестности точки

имеем:

(27)

Тогда с учетом (27) оценим функцию (26):

(28)

Поскольку при больших

(29)

то из (28) и (29) следует, что

(30)

Когда , то из (25) и (26) будем иметь

Отсюда с учётом (29) имеем

(31)

Тогда из (31) и (30) вытекает, что при и , справедлива следующие оценка

или с учётом леммы 1:

Найдем производные , и , получим:

Из оценки для функций и вытекают следующие оценки:

Из уравнений (1) с учётом оценок из леммы 1 для функций и , получим:

Аналогичные оценки справедливы и для функции и ее производных , , , и .

Теорема полностью доказана.

Таким образом, если функций и удовлетворяют условиям теоремы 1 и теоремы 2, то существует единственное решение задачи (2) - (5) и оно представимо в виде суммы сходящихся рядов

где , и , определяются из равенств (19) и (23) соответственно.

Основной целью настоящей работы было доказательство существования и единственности регулярных решений первой краевой задачи для модельного уравнения в частных производных с инволютивным отклонением в младших слагаемых, то есть решений имеющих все производные, входящие в соответсвующее уравнение. С использованием метода разделения переменных было доказано существование единственного решения классической первой краевой задачи. Несмотря на то, что результаты работы носят теоретический характер, они могут иметь широкое применение, как и в дальнейших исследованиях уравнений с отклоняющимся аргументом, а именно дифференциальных уравнений с инволютивным отклонением аргумента и краевых задач для них, так и в прикладных задачах.