BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MODEL DIFFERENTIAL EQUATION WITH INVOLUTION IN A RECTANGULAR DOMAIN
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MODEL DIFFERENTIAL EQUATION WITH INVOLUTION IN A RECTANGULAR DOMAIN
Abstract
In the present work, the solvability of a classical boundary value problem for a degenerate partial differential equation of the second order with an involutive deviation of the argument of the form (-x) in a rectangular domain is first established and studied. The existence and uniqueness theorems of the regular solution are proved for the studied problem. Some conditions on the coefficients, when fulfilling which the problem has a singular solution, are set. The question of solvability of the problem in the required class of functions by the method of separation of variables is reduced to the solvability of the corresponding ordinary differential equation with involutive deviation of the argument, the solution of which is constructed by the method of differentiation.
1. Введение
В последнее время у специалистов в области дифференциальных уравнений все больший интерес вызывают задачи для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. Такое внимание обусловлено как теоретическими потребностями в обобщении классических результатов, так и прикладной значимостью краевых задач для уравнений с отклоняющимся аргументом.
Наиболее важные вопросы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их приложения изучены в работах
, . Теории разрешимости уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом и их приложениям посвящена работа . В работе исследуется задача о параболическом уравнении с инволюцией и установлены оценки устойчивости для решения этой задачи. Исследованию спектральных свойств классических операторов Дирака и операторов с инволюцией в однородных функциональных пространствах посвящена работа . В работах , , методом разделения переменных получено решение смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных производных с инволютивным отклонением аргумента в производной и в самой функции. Исследованию разрешимости в пространствах Соболева краевых задач для эллиптических и параболических уравнений с переменными коэффициентами и с инволюцией в старших производных, как в невырожденном, так и в вырожденном случаях посвящена работа .Среди дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами особое место занимают уравнения с инволютивным отклонением аргумента.
Определенная на некотором числовом множестве
1)
2)
3) Пусть
- дробно-линейная инволюция (при
Обыкновенные дифференциальные уравнения с инволютивным отклонением аргумента впервые встречаются в работе, опубликованной в 1816 году Ч. Баббеджом
. Отметим, что к дифференциальным уравнениям, содержащим инволютивное отклонение аргумента сводятся некоторые геометрические задачи , задачи теории фильтрации , задачи исследования субгармонических колебаний, описываемых уравнениями без диссипации .В настоящей работе впервые поставлена и исследована однозначная разрешимость краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка с инволютивным отклонением аргумента в прямоугольной области. Подобное уравнение с общей инволюцией в старших производных изучалось в работе
.Рассмотрим уравнение
в прямоугольной области
Задача
где
В случае
2. Исследование однозначной разрешимости задачи
Покажем, что однородная задача
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть коэффициент
тогда если решение задачи
Доказательство. Действительно, умножим уравнение (1) на
Оценим последнее слагаемое в полученном равенстве (6) применив неравенство Гёльдера и выполнив замену
Принимая во внимание неравенства
а также из (6) и (7) получим
Следовательно, с учетом условия теоремы 1
Теорема доказана.
Перейдем теперь к доказательству существования решения.
Решение задачи (2)-(5) будем искать методом Фурье в виде
Подставляя (8) в (1) и разделяя переменные, получим
где
Отсюда, с учетом (4), будем иметь
Введем следующие обозначения, обозначим через
Исследуем задачу (10), (11). Дважды дифференцируя (10), а также учитывая равенства
приходим к соотношению
:Кроме того, из (10) и (11) вытекают условия
Для функции
Рассмотрев различные представления общего решения уравнения (13) при различных значениях
Подставляя
Общее решение уравнения (15) будет иметь вид
где
Тогда из (8) получим
где
Для нахождения неизвестных постоянных
Удовлетворим решение (16) краевому условию (5), используя оценки (17) для функции
где
Подставляя (18) в (16), получим:
Аналогично общее решение уравнения (9) при
где
Тогда из (8) будем иметь
где
Решение (21), удовлетворив граничным условиям (5) с учетом (17), найдем:
где
Затем, подставим (22) в (21), тогда решение при
Лемма 1. Если
где
Доказательство. Проинтегрировав по частям три раза в интегралах (19), (23) с учётом условий леммы получим
где
Функция
Интегрируя три раза по частям в первом интеграле (23), имеем
где
В силу неравенства Бесселя и непрерывности функции
Аналогично устанавливается справедливость остальных оценок
где
Лемма полностью доказана.
Теорема 2. Если выполнены условия леммы 1, то для любого
где
Доказательство. Пусть
где
Если положить
оценим функцию
Тогда при любом
Отсюда в силу леммы 1, получим
Воспользовавшись формулами дифференцирования модифицированных функций Бесселя
найдем производную функции
Пусть
имеем:
Тогда с учетом (27) оценим функцию (26):
Поскольку при больших
то из (28) и (29) следует, что
Когда
Отсюда с учётом (29) имеем
Тогда из (31) и (30) вытекает, что при
или с учётом леммы 1:
Найдем производные
Из оценки для функций
Из уравнений (1) с учётом оценок из леммы 1 для функций
Аналогичные оценки справедливы и для функции
Теорема полностью доказана.
Таким образом, если функций
где
3. Заключение
Основной целью настоящей работы было доказательство существования и единственности регулярных решений первой краевой задачи для модельного уравнения в частных производных с инволютивным отклонением в младших слагаемых, то есть решений имеющих все производные, входящие в соответсвующее уравнение. С использованием метода разделения переменных было доказано существование единственного решения классической первой краевой задачи. Несмотря на то, что результаты работы носят теоретический характер, они могут иметь широкое применение, как и в дальнейших исследованиях уравнений с отклоняющимся аргументом, а именно дифференциальных уравнений с инволютивным отклонением аргумента и краевых задач для них, так и в прикладных задачах.