Application of the Projection-Grid Method to Solve a Non-Stationary Problem
Application of the Projection-Grid Method to Solve a Non-Stationary Problem
Abstract
The work is dedicated to the construction of an approximate solution of a parabolic differential equation with a Bessel operator. The solution of the problem is sought in the form of a linear combination of piecewise continuous basis functions having a compact carrier. The construction of the solution is carried out in two stages. Initially, approximation on the spatial variable is carried out using the Bubnov-Galerkin projection-grid method. Then, due to the simplicity of the time variable domain, which is the interval [0,T], an approximation on t is conducted using the finite-difference method. For this purpose, an implicit scheme is used. The resulting system of equations has a tridiagonal matrix and is solved by the run method.
1. Введение
Проекционно-сеточные методы в настоящее время являются чрезвычайно действенными инструментами решения задач математической физики: теплообмена, гидродинамики, электродинамики, механики твердого деформируемого тела и топологической оптимизации.
Общая теория разностных методов разработана А.А. Самарским
. Различные приближенные методы решения краевых задач изложены в монографии Г.И. Марчука , также классический вариационный подход описан в книге С.Г. Михлина . Наиболее обширные результаты, полученные при численном решении, относятся к регулярным краевым задачам, порождаемым невырожденными уравнениями с гладкими коэффициентами. Эти исследования опираются на теорию аппроксимаций в функциональных пространствах. Гораздо меньше изучены подобные вопросы для сингулярных уравнений.В этой связи необходимо отметить работу
, в которой рассмотрено уравнениедля
В работе В.В. Катраховым и А.А. Катраховой изучена сходимость метода Галеркина для краевой задачи:
где
Ю.Л. Гусманом и А.А. Оганесяном был развит вариационно-разностный подход для двумерного уравнения
где
Начало изучения вырождающихся уравнений с оператором Бесселя было положено в работах И.А. Киприянова , Я.И. Житомирского , и получило развитие в работах учеников Киприянова: С.М. Ситника
, , И.П. Половинкина , А.Б. Муравника , , Л.Н. Ляхова .Несмотря на то, что проекционно-разностные методы для нестационарных уравнений были разработаны в трудах В.В. Катрахова и А.А. Катраховой, перенесение их на нестационарные случаи не произошло. В теории приближенных методов решения таких задач на протяжении многих лет появлялись лишь разрозненные результаты. Между тем эта задача ждет своего решения, поскольку методы точного решения и методы исследования качественных свойств решений развиваются уже достаточно бурно.
В настоящей статье на основе вариационного подхода устанавливается разрешимость сингулярного параболического уравнения, в котором по одной из переменных действует оператор Бесселя. Приводятся оценки погрешности аппроксимации точного решения методом Бубнова-Галеркина.
2. Постановка задачи
Рассмотрим начально-краевую задачу
где
Оператор
Скалярное произведение и норма в
Функции
Параметр
Энергетическое пространство, соответствующее оператору
Весовые пространства
где
Произвольно выберем функцию
После применения интегрирования по частям получим:
где
Будем называть обобщенным решением задачи (1)-(3) такую функцию
Приближение решения при такой постановке можно производить как по переменной
В этом случае по временной переменной получаются, как правило, неявные схемы, и затруднено использование удобных на практике разностных схем для аппроксимации производной по
Пусть такое решение существует и
Примем
После подстановки
Учтем произвольность
Будем называть обобщенным решением задачи (1)-(3) функцию
Второе определение обобщенного решения требует наличия
3. Построение проекционно-разностной схемы
Наличие временной переменной
Введем на
Приближенное решение задачи будем искать в виде
Тогда коэффициенты, являющиеся функциями от
Уравнения (10)–(11) могут быть записаны в матричном виде
4. Нахождение вида матриц
Для заданных базисных функций (8)–(9) найдем вид матриц, входящих в уравнения (12)–(13).
Поскольку скалярное произведение базисных функций в пространстве
На основе приведенных вычислений запишем вид матрицы
Аналогично для матрицы
Нетрудно убедиться, что полученные матрицы являются положительно определенными и симметричными.
5. Численное решение системы ОДУ
Введем на
Перепишем уравнения (12)–(13), используя для аппроксимации по времени неявную схему, имеющую первый порядок аппроксимации по
где
Сгруппируем в (21) значения по временным слоям:
Матрица
Обозначим через
и применять для решения метод последовательного исключения неизвестных (метод прогонки).
6. Оценки сходимости
Для получения априорной оценки приближения
а затем проинтегрируем по
Применим интегрирование по частям
Тогда
Перепишем равенство (23)
Из начального условия
Рассмотрим норму в энергетическом пространстве
В последней формуле отбросим неотрицательное слагаемое
Покажем, что справедлива оценка
Запишем с учетом
С использованием неравенства Коши-Буняковского для
Проинтегрируем от
Подставим оценку (26) в неравенство (25), получим
Учитывая теперь (27), перепишем (24)
где
Для последнего соотношения применим
Примем
Таким образом, из (29) следует непрерывная зависимость приближенного решения
Оценим скорость сходимости
Тогда
Применяя к
Для (30) справедлива оценка
Поскольку
Используя последнюю оценку и неравенство
Пусть теперь функция
7. Заключение
Рассмотренная в работе форма применения проекционно-сеточного метода для нестационарной задачи, объединяет преимущества разностных и проекционных методов. При решении начально-краевых задач целесообразно вводить сетку по оси времени, а затем, после приближения производной по времени, применять схему аппроксимации по пространственной переменной на каждом временном слое. Использование метода Бубнова-Галеркина для аппроксимации с финитными базисными функциями приводит к простой вычислительной схеме с достаточно хорошей точностью. Для приближения по