Application of the Projection-Grid Method to Solve a Non-Stationary Problem

Проекционно-сеточные методы в настоящее время являются чрезвычайно действенными инструментами решения задач математической физики: теплообмена, гидродинамики, электродинамики, механики твердого деформируемого тела и топологической оптимизации.

Общая теория разностных методов разработана А.А. Самарским

В этой связи необходимо отметить работу

для . В ней указан порядок аппроксимации в энергетическом пространстве, зависящий от и гладкости функции .

В работе

где

Ю.Л. Гусманом и А.А. Оганесяном

где . Получены точные по порядку оценки погрешности метода.

Начало изучения вырождающихся уравнений с оператором Бесселя было положено в работах И.А. Киприянова

Несмотря на то, что проекционно-разностные методы для нестационарных уравнений были разработаны в трудах В.В. Катрахова и А.А. Катраховой, перенесение их на нестационарные случаи не произошло. В теории приближенных методов решения таких задач на протяжении многих лет появлялись лишь разрозненные результаты. Между тем эта задача ждет своего решения, поскольку методы точного решения и методы исследования качественных свойств решений развиваются уже достаточно бурно.

В настоящей статье на основе вариационного подхода устанавливается разрешимость сингулярного параболического уравнения, в котором по одной из переменных действует оператор Бесселя. Приводятся оценки погрешности аппроксимации точного решения методом Бубнова-Галеркина.

Рассмотрим начально-краевую задачу

(1)

(2)

(3)

где .

Оператор имеет вид:

Скалярное произведение и норма в задаются следующим образом:

Функции .

Параметр .

Энергетическое пространство, соответствующее оператору , будем обозначать . Скалярное произведение в имеет вид

(4)

Весовые пространства (пространства И.А. Киприянова) определяются как замыкание класса , состоящего из четных функций по норме

где - оператор Бесселя.

Произвольно выберем функцию из пространства , такую что . Умножим (1) на и проинтегрируем по области :

После применения интегрирования по частям получим:

(5)

где

Будем называть обобщенным решением задачи (1)-(3) такую функцию , которая имеет производную и удовлетворяющую уравнению (5) для любой функции , такой что и .

Приближение решения при такой постановке можно производить как по переменной , так и по переменной в виде рядов с базисными функциями .

В этом случае по временной переменной получаются, как правило, неявные схемы, и затруднено использование удобных на практике разностных схем для аппроксимации производной по .

Пусть такое решение существует и .

Примем , где .

После подстановки в (5) и интегрирования по частям:

Учтем произвольность , тогда

(6)

(7)

Будем называть обобщенным решением задачи (1)-(3) функцию , которая почти при каждом принадлежит энергетическому пространству со скалярным произведением вида (4), имеет производную и почти всюду на удовлетворяющую равенствам (6)-(7) при любом выборе .

Второе определение обобщенного решения требует наличия , однако при такой постановке переменную можно рассматривать как параметр.

Наличие временной переменной будет сказываться на форме применения проекционно-сеточного метода. Для приближенного решения задачи (1)–(3) будем использовать второе определение обобщенного решения. В первую очередь выполним аппроксимацию по пространственной переменной с помощью проекционно-сеточного метода, а затем приближение по времени с использованием конечно-разностных методов.

Введем на равномерную сетку . В качестве базисных функций выберем финитные функции из предположения, что . Значит, для случая, когда , имеем

(8)

(9)

Приближенное решение задачи будем искать в виде .

Тогда коэффициенты, являющиеся функциями от , будем искать из системы ОДУ, полученной с помощью метода Бубнова-Галеркина из (6)–(7):

(10)

(11)

Уравнения (10)–(11) могут быть записаны в матричном виде

(12)

(13)

Для заданных базисных функций (8)–(9) найдем вид матриц, входящих в уравнения (12)–(13).

Поскольку скалярное произведение базисных функций в пространстве отлично от  только для соседних функций, то для матрицы требуется найти только элементы . Запишем их вид:

(14)

(15)

(16)

На основе приведенных вычислений запишем вид матрицы

Аналогично для матрицы выпишем вид элементов :

(17)

(18)

(19)

 Нетрудно убедиться, что полученные матрицы являются положительно определенными и симметричными.

Введем на равномерную сетку .

Перепишем уравнения (12)–(13), используя для аппроксимации по времени неявную схему, имеющую первый порядок аппроксимации по

(20)

(21)

где .

Сгруппируем в (21) значения по временным слоям:

(22)

Матрица имеет трехдиагональный вид и состоит из суммы элементов, рассчитанных по формулам (14)–(19).

Обозначим через вектор-столбец, стоящий в правой части уравнения (22), тогда рассматриваемую систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде

и применять для решения метод последовательного исключения неизвестных (метод прогонки).

Для получения априорной оценки приближения обобщенного решения умножим каждое из уравнений (10) на функцию и просуммируем по всем :

а затем проинтегрируем по :

(23)

Применим интегрирование по частям

Тогда

Перепишем равенство (23)

Из начального условия , следует что . Тогда

(24)

Рассмотрим норму в энергетическом пространстве

В последней формуле отбросим неотрицательное слагаемое , а заменим на :

(25)

Покажем, что справедлива оценка

(26)

Запишем с учетом :

С использованием неравенства Коши-Буняковского для

Проинтегрируем от до с весом

Подставим оценку (26) в неравенство (25), получим

(27)

Учитывая теперь (27), перепишем (24)

где .

Для последнего соотношения применим -неравенство :

(28)

Примем .

(29)

Таким образом, из (29) следует непрерывная зависимость приближенного решения задачи от и .

Оценим скорость сходимости к при . Примем , тогда для любой функции :

Тогда

Применяя к интегрирование по частям, получим

(30)

Для (30) справедлива оценка

(31)

Поскольку является ортогональной проекцией на , то

Используя последнюю оценку и неравенство с подбором значений необходимым образом, запишем

(32)

Пусть теперь функция имеет коэффициенты . Тогда из (32) с учетом свойств базисных функций, получим сходимость к при :

Рассмотренная в работе форма применения проекционно-сеточного метода для нестационарной задачи, объединяет преимущества разностных и проекционных методов. При решении начально-краевых задач целесообразно вводить сетку по оси времени, а затем, после приближения производной по времени, применять схему аппроксимации по пространственной переменной на каждом временном слое. Использование метода Бубнова-Галеркина для аппроксимации с финитными базисными функциями приводит к простой вычислительной схеме с достаточно хорошей точностью. Для приближения по  использовалась неявная схема с первым порядком аппроксимации.