Application of the Projection-Grid Method to Solve a Non-Stationary Problem

Research article
DOI:
https://doi.org/10.23670/IRJ.2023.137.5
Issue: № 11 (137), 2023
Suggested:
26.04.2023
Accepted:
26.10.2023
Published:
17.11.2023
393
9
XML
PDF

Abstract

The work is dedicated to the construction of an approximate solution of a parabolic differential equation with a Bessel operator. The solution of the problem is sought in the form of a linear combination of piecewise continuous basis functions having a compact carrier. The construction of the solution is carried out in two stages. Initially, approximation on the spatial variable is carried out using the Bubnov-Galerkin projection-grid method. Then, due to the simplicity of the time variable domain, which is the interval [0,T], an approximation on t is conducted using the finite-difference method. For this purpose, an implicit scheme is used. The resulting system of equations has a tridiagonal matrix and is solved by the run method.

1. Введение

Проекционно-сеточные методы в настоящее время являются чрезвычайно действенными инструментами решения задач математической физики: теплообмена, гидродинамики, электродинамики, механики твердого деформируемого тела и топологической оптимизации.

Общая теория разностных методов разработана А.А. Самарским

. Различные приближенные методы решения краевых задач изложены в монографии Г.И. Марчука
, также классический вариационный подход описан в книге С.Г. Михлина
. Наиболее обширные результаты, полученные при численном решении, относятся к регулярным краевым задачам, порождаемым невырожденными уравнениями с гладкими коэффициентами. Эти исследования опираются на теорию аппроксимаций в функциональных пространствах. Гораздо меньше изучены подобные вопросы для сингулярных уравнений.

В этой связи необходимо отметить работу

, в которой рассмотрено уравнение

img

для img. В ней указан порядок аппроксимации в энергетическом пространстве, зависящий от img и гладкости функции img.

В работе

В.В. Катраховым и А.А. Катраховой изучена сходимость метода Галеркина для краевой задачи:

img

img

где img

Ю.Л. Гусманом и А.А. Оганесяном

был развит вариационно-разностный подход для двумерного уравнения

img

где img. Получены точные по порядку оценки погрешности метода.

Начало изучения вырождающихся уравнений с оператором Бесселя было положено в работах И.А. Киприянова

, Я.И. Житомирского
, и получило развитие в работах учеников Киприянова: С.М. Ситника
,
, И.П. Половинкина
, А.Б. Муравника
,
, Л.Н. Ляхова
.

Несмотря на то, что проекционно-разностные методы для нестационарных уравнений были разработаны в трудах В.В. Катрахова и А.А. Катраховой, перенесение их на нестационарные случаи не произошло. В теории приближенных методов решения таких задач на протяжении многих лет появлялись лишь разрозненные результаты. Между тем эта задача ждет своего решения, поскольку методы точного решения и методы исследования качественных свойств решений развиваются уже достаточно бурно.

В настоящей статье на основе вариационного подхода устанавливается разрешимость сингулярного параболического уравнения, в котором по одной из переменных действует оператор Бесселя. Приводятся оценки погрешности аппроксимации точного решения методом Бубнова-Галеркина.

2. Постановка задачи

Рассмотрим начально-краевую задачу

img
(1)
img
(2)
img
(3)

где img.

Оператор img имеет вид:

img

img

Скалярное произведение и норма в img задаются следующим образом:

img

img

Функции img.

Параметр img.

Энергетическое пространство, соответствующее оператору img, будем обозначать img. Скалярное произведение в img имеет вид

img
(4)

Весовые пространства img (пространства И.А. Киприянова) определяются как замыкание класса img, состоящего из четных функций по норме

img

где img- оператор Бесселя.

Произвольно выберем функцию img из пространства img, такую что img. Умножим (1) на img и проинтегрируем по области img:

img

После применения интегрирования по частям получим:

img
(5)

где img

Будем называть обобщенным решением задачи (1)-(3) такую функцию img, которая имеет производную img и удовлетворяющую уравнению (5) для любой функции img, такой что img и img.

Приближение решения при такой постановке можно производить как по переменной img, так и по переменной img в виде рядов с базисными функциями img.

В этом случае по временной переменной получаются, как правило, неявные схемы, и затруднено использование удобных на практике разностных схем для аппроксимации производной по img.

Пусть такое решение существует и img.

Примем img, где img.

После подстановки img в (5) и интегрирования по частям:

img

Учтем произвольность img, тогда

img
(6)
img
(7)

Будем называть обобщенным решением задачи (1)-(3) функцию img, которая почти при каждом img принадлежит энергетическому пространству img со скалярным произведением вида (4), имеет производную img и почти всюду на img удовлетворяющую равенствам (6)-(7) при любом выборе img.

Второе определение обобщенного решения требует наличия img, однако при такой постановке переменную img можно рассматривать как параметр.

3. Построение проекционно-разностной схемы

Наличие временной переменной img будет сказываться на форме применения проекционно-сеточного метода. Для приближенного решения задачи (1)–(3) будем использовать второе определение обобщенного решения. В первую очередь выполним аппроксимацию по пространственной переменной с помощью проекционно-сеточного метода, а затем приближение по времени img с использованием конечно-разностных методов.

Введем на img равномерную сетку img. В качестве базисных функций img выберем финитные функции из предположения, что img. Значит, для случая, когда img, имеем

img
(8)
img
(9)

Приближенное решение задачи будем искать в виде img.

Тогда коэффициенты, являющиеся функциями от img, будем искать из системы ОДУ, полученной с помощью метода Бубнова-Галеркина из (6)–(7):

img
(10)
img
(11)

Уравнения (10)–(11) могут быть записаны в матричном виде

img
(12)
img
(13)

imgimgimg

img

img

4. Нахождение вида матриц

Для заданных базисных функций (8)–(9) найдем вид матриц, входящих в уравнения (12)–(13).

Поскольку скалярное произведение базисных функций в пространстве img отлично от img только для соседних функций, то для матрицы img требуется найти только элементы img. Запишем их вид:

img
(14)
img
(15)
img
(16)

На основе приведенных вычислений запишем вид матрицы img

img

Аналогично для матрицы img выпишем вид элементов img:

img
(17)
img
(18)
img
(19)

img

 Нетрудно убедиться, что полученные матрицы являются положительно определенными и симметричными.

5. Численное решение системы ОДУ

Введем на img равномерную сетку img.

Перепишем уравнения (12)–(13), используя для аппроксимации по времени неявную схему, имеющую первый порядок аппроксимации по img

img
(20)
img
(21)

где img.

Сгруппируем в (21) значения по временным слоям:

img
(22)

Матрица img имеет трехдиагональный вид и состоит из суммы элементов, рассчитанных по формулам (14)–(19).

Обозначим через img вектор-столбец, стоящий в правой части уравнения (22), тогда рассматриваемую систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде

img

img

и применять для решения метод последовательного исключения неизвестных (метод прогонки).

6. Оценки сходимости

Для получения априорной оценки приближения img обобщенного решения умножим каждое из уравнений (10) на функцию img и просуммируем по всем img:

img

а затем проинтегрируем по img:

img
(23)

Применим интегрирование по частям

img

img

Тогда

img

Перепишем равенство (23)

img

Из начального условия img, следует что img. Тогда

img
(24)

Рассмотрим норму в энергетическом пространстве

img

В последней формуле отбросим неотрицательное слагаемое img, а imgзаменим на img:

img
(25)

Покажем, что справедлива оценка

img
(26)

Запишем с учетом img:

img

img

С использованием неравенства Коши-Буняковского для img

img

Проинтегрируем от img до img с весом img

img

Подставим оценку (26) в неравенство (25), получим

img
(27)

Учитывая теперь (27), перепишем (24)

img

где img.

Для последнего соотношения применим img-неравенство img:

img
(28)

Примем img.

img

img
(29)

Таким образом, из (29) следует непрерывная зависимость приближенного решения img задачи от img и img.

Оценим скорость сходимости img к img при img. Примем img, тогда для любой функции img:

img

img

img

img

Тогда img

Применяя к img интегрирование по частям, получим

img
(30)

Для (30) справедлива оценка

img
(31)

Поскольку img является ортогональной проекцией img на img, то img

Используя последнюю оценку и неравенство img с подбором значений img необходимым образом, запишем

img

img
(32)

Пусть теперь функция img имеет коэффициенты img. Тогда из (32) с учетом свойств базисных функций, получим сходимость img к img при img:

img

7. Заключение

Рассмотренная в работе форма применения проекционно-сеточного метода для нестационарной задачи, объединяет преимущества разностных и проекционных методов. При решении начально-краевых задач целесообразно вводить сетку по оси времени, а затем, после приближения производной по времени, применять схему аппроксимации по пространственной переменной на каждом временном слое. Использование метода Бубнова-Галеркина для аппроксимации с финитными базисными функциями приводит к простой вычислительной схеме с достаточно хорошей точностью. Для приближения по img использовалась неявная схема с первым порядком аппроксимации.

Article metrics

Views:393
Downloads:9
Views
Total:
Views:393