The Spread of Pollution in Rivers under Natural Aeration
The Spread of Pollution in Rivers under Natural Aeration
Abstract
The research is motivated by the high level of water pollution in the river Okhta and Slavyanka in the Leningrad Oblast. To solve the problem, a simple mathematical model of river pollution is presented, and the effect of natural aeration on pollutant decomposition is examined. The model consists of a pair of coupled diffusion and convection equations for concentrations of pollutant and dissolved oxygen. The linking of these equations is determined by the reaction between oxygen and pollutant, with the formation of harmless compounds. Numerical and analytical evaluation of pollutant transportation in river water along its length (in one spatial dimension) has been performed. The work examines different variants of pollutant distribution models in the aquatic environment with a given set of parameters for a particular river. These parameters correspond to real situations of river pollution and can contribute to making adequate decisions in planning the restrictions imposed on the sources of industrial and domestic pollution in rural and urban areas.
1. Введение
Проблема качества питьевой и других видов воды постоянно возрастает в результате роста численности населения мира и непрерывного повышения промышленной и бытовой деятельности человека [1], [2]. Самоочищение воды речных водоемов от загрязнений происходит за счет сложного комплекса физических, химических и биологических факторов. Это происходит благодаря разбавлению загрязнений большой массой воды, перемешиванию, оседанию взвесей, влиянию солнечного света, аэрация и т.п. В загрязненной реке содержание кислорода в воде сильно уменьшается, поэтому для очистки речных водоемов от бактерий, растворенных органических веществ необходим кислород [3].
При оценке качества воды в реке необходимо учитывать множество факторов: уровень растворенного кислорода; наличие нитратов, хлоридов, фосфатов; уровень взвешенных веществ и т.д. Загрязнители от сельскохозяйственных работ могут вносить значительный вклад в ухудшение качества поверхностных и подземных вод [4], [5].
Существует множество специальных гидротехнических устройств, которые выполняют искусственную аэрацию воды. Но аэрация может происходить естественным способом, за счет соприкосновения воды с атмосферным воздухом. В естественных условиях кислород поступает из атмосферы через водную поверхность (атмосферная аэрация) или образуется в результате жизнедеятельности водных растений (фотосинтетическая аэрация). В этом случае текущая вода поглощает из воздуха кислород, который растворяется в ней. При этом улучшается циркуляция воды внутри водоема, что оказывает благотворное влияние на водную среду, а также значительно уменьшается объем бескислородной области на глубине водоема.
На формирование кислородного режима водоема оказывает влияние много факторов: интенсивность солнечной радиации, фотосинтез фитопланктона и высших растений, степень потребления кислорода в воде гидробионтами, донными отложениями и скорость ветра. В речных водоемах водная поверхность довольно большая, а глубина невелика. Верхние слои реки насыщенны кислородом сильнее, поэтому за счет конвективного переноса постепенно вся толща воды насыщается. Легкое волнение поверхности реки от слабого ветра уже вызывает перемешивание кислорода с водой.
Таким образом, цель настоящей работы состоит в разработке математической модели уменьшения концентрации загрязнителя и повышения растворенного кислорода в условиях естественной аэрации в реке с учетом её течения.
Важным направлением в решении задачи о распространения загрязнений в речной среде является математическое моделирование транспорта загрязняющих веществ [6]. Модельные представления получили широкое распространение для оценки качества воды [7], [8] и для прогнозирования процессов ее очистки [9], [10].
Математические модели оценки качества воды представляются как системы нелинейных дифференциальных уравнений и используются еще с 1920-х годов, например, в 1925 г. известная модель Стритера и Фелпса [11], которая используется для описания баланса растворенного кислорода в реках после попадания загрязняющих веществ. В дальнейшем эта модель была уточнена и в нее вносились различные поправки [12].
Раух и др. [13] математически изучили проблемы загрязнения поверхностных вод, такие как этерификация, острая и хроническая токсичность. Симон и др. [14], [15] представили простую математическую модель загрязнения рек и исследовали влияние аэрации на разложение загрязняющих веществ. Их модель состоит из пары связанных уравнений конвекции-диффузии для загрязняющего вещества и растворенного кислорода. В последнее время были усовершенствованы математические модели загрязнения рек. Хамаунд и др. [16], [17] применили модифицированный метод разложения Лапласа и представили методы решения системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтера-Фредгольма.
2. Объект и методы
В качестве объекта для исследования были выбраны реки Ленинградской области – Славянка и Охта, имеющие пятый класс опасности. Качество воды реки Славянка послужило мотивом для исследования. Предполагалось, что загрязняющие вещества в основном представляют собой биологические отходы, которые подвергались процессам биодеградации с использованием растворенного кислорода. Пределом допустимого уровня загрязнения воды считалась концентрация растворенного в ней кислорода, не менее 30% от показателя насыщения [18].
Для разработки модели загрязнения воды использовали принцип двух связанных уравнений конвекции-диффузии. Эти два уравнения описывают два процесса: поглощение кислорода из воды, связанное с удалением органических соединений углерода, и поступление кислорода из атмосферы в воду путем аэрации [19], [20]. Для концентраций загрязнителя и растворенного кислорода были выбраны различные параметры источников загрязнения.
В модельных расчетах, представленных в настоящей работе, были рассмотрены скорость течения реки и скорость ветра. Поскольку процессы загрязнения и аэрации являются устойчивыми, мы исследовали возникновение стационарных состояний при удалении загрязнителя аэрацией. Учитывая данные об осадках, скорости течения реки, сброса загрязняющих веществ и др. были построены аналитические и численные решения.
Численное решение системы связанных уравнений конвекции-диффузии, аналитические решения этих уравнений при заданных допустимых условиях и построение графиков проводилась с помощью программного пакета Mathematica 12.3 (Wolfram Research), включающего пакет программ для решения дифференциальных уравнений в частных производных NDSolve и Mass Transfer Model Collection.
3. Описание математических моделей
Изменение концентрации загрязняющих веществ и кислорода рассматривалось вдоль реки, в поперечном направлении концентрация считалась постоянной. Кроме того, такой параметр модели как длина реки L задавался значительно больше, чем её ширина. Поэтому при описании водного потока от истока до устья, течение реки принималось как одномерное, с одним пространственным параметром x(м) вдоль реки. Такое допущение в исходных параметрах модели соответствует критерию Доббинса [21].
Связанность уравнений определяется тем, что кислород реагирует с загрязняющим веществом, образуя безвредные соединения. Принимаем (для упрощения), что диффузия идет в одном направлении и сопровождается вынужденной конвекцией, c концентрацией СХ(x,t) (кг·м–3) для загрязнителя и СО(x,t) (кг·м–3) для растворенного кислорода. Следовательно, для рассмотрения скорости изменения концентрации в зависимости от положения x и времени t (дни), может быть предложена следующая система уравнений:
В уравнение (1) входит слагаемое, описывающее снижение концентрации загрязняющего вещества со скоростью qX·H(x). В уравнении (2), которое описывает массовое содержание растворенного кислорода, учитывается скорость увеличения концентрации кислорода СО до насыщения СS [α·(СS – СО)]. Величина H(x) представляет собой функцию Хэвисайда (H(x) = 1, если x > 0 и 0 во всех остальных случаях). Добавление ее в качестве множителя учитывает то, что загрязняющие вещества сбрасываются только при x ≥ 0.
Связывание уравнений (1 – 2) позволяет определить концентрацию растворенного кислорода СО и концентрацию загрязнителя СХ одновременно. При решении этих уравнений использовался ряд параметров, описывающих экологическую обстановку и геологические характеристики для рек Охта и Славянка (табл. 1).
4. Результаты
Уравнения (1 – 2) решались с использованием граничных условий, соответствующих наличию загрязнений в верхней и нижней частях реки, вдоль её длины. Относительно произвольной точки x на длине реки было выделено два участка. На участках выше (x > L) и ниже (x < L) по течению, в целях упрощения решения задачи, загрязняющие вещества добавлялись с постоянной скоростью qX.
Таблица 1 - Параметры экологической обстановки и геологические характеристики рек Охта и Славянка
Параметр | р. Охта | р. Славянка |
L - длина реки (км) [26] | 90 | 39 |
Dp - коэффициент диффузии загрязнителя (м2·сут-1) [22] | 4,166·106 | |
Dx - коэффициент диффузии растворенного кислорода в (м2·сут-1) [22] | 2,132·106 | |
v - скорость воды (м·сут-1) [26] | 34,2·103 | 21,3·103 |
S - площадь поперечного сечения (м2) [26] | 50 – 275 | 10 – 100 |
q - скорость поступления загрязнителя вдоль реки (кг·м-1 ·сут-1) [25], [26] | 0,06 | 0,08 |
K1 - коэффициент скорости разложения для загрязняющего вещества при 20 °C (сут-1) [23], [24] | 8,27 | 9,14 |
K2 - коэффициент скорости деаэрации для растворенного кислорода при 20 °C (сут-1) [23], [24] | 32,10 | 21,40 |
k - концентрация потребления кислорода при распада загрязнителя (кг·м-3) [23] | 7,1·10–3 | 4,9·10–3 |
α - массоперенос кислорода из воздуха в воду (м2·сут-1) [23], [24] | 22,50 | 19,4 |
СS - концентрация насыщения кислорода (кг·м-3) [23] | 6·10–3 кг/м3 | 7,4·10–3 кг/м3 |
Скорость снижения концентрации загрязняющих веществ СХ в результате биохимической реакции с растворенным кислородом описывается слагаемым «Михаэлис-Ментен» – K1·[СО/(СО+k)]·СХ. Это слагаемое учитывает скорость удаления загрязнений и определяется концентрацией загрязнителя как при высоком, так и низком содержании кислорода. Во втором уравнении коэффициенты соответствующего слагаемого, описывающего уменьшение концентрации растворенного кислорода, различаются из-за разного веса кислорода и загрязнителя, участвующих в реакции.
Также были рассмотрены случаи с и без дисперсии k (либо пренебрежимо малой k ≈ 0). В процессе решения уравнений (1 – 2), в качестве параметров использованы значения: площади поперечного сечения реки S, скорости течения реки v, скорость поступления загрязнителя qX, скорость переноса через поверхность реки кислорода α, концентрация насыщения кислорода СS, коэффициент диффузии загрязнителя DX и растворенного кислорода DO. Эти показатели в расчетах считались постоянными.
5. Аналитические стационарные решения без диффузии
Если пренебречь диффузионными членами, то при таком подходе существуют стационарные решения (1 – 2) и левые части уравнений исчезают. В этом случае можно представить аналитические решения для концентраций загрязняющих веществ СХ(x,t) = СХ,S(x) и кислорода СО(x,t) = СО,S(x). При этом DO = 0, DX = 0. Тогда уравнения (1 – 2) сводятся к
с граничными условиями СХ,S(0) = 0 и СО,S(0) = СS.
Решения уравнений (3 – 4) для концентраций загрязняющих веществCX,S(x,t) и растворенного кислорода СО,S(x,t) вдоль течения реки в интервале времени от 10 до 50 суток приведены на рис. 1 и 2.
Рисунок 1 - Распределение концентрации загрязнителя CX,S(x,t)·10-4 вдоль реки
Рисунок 2 - Распределение концентрации СО,S(x,t) растворенного кислорода вдоль реки
Концентрация СХ,S стремится к пределу qX/K1S. Это показано на рисунке 3. Выше по течению нет загрязнения, так как нет рассеивания. Для концентрации растворенного кислорода СО,S решение имеет вид
Ниже по течению уровень кислорода снижается из-за взаимодействия с загрязняющими веществами и концентрация СО,S стремится к пределу СS – qX/K1α. Это показано на рис. 4.
Если загрязняющие стоки в нижнем участке по течению реки, в этой упрощенной модели, таковы, что концентрация растворенного кислорода СО,S составляет не менее 30% значения насыщения СS [18], происходит превышение допустимых норм [26]. Это достигается для уровней qX, которые удовлетворяют qX < 0.7α·K1СS/ K2. В этом случае при наших значениях параметров для рек Охта и Славянка это значение составляет qX < 0.015 кг·м–1·сут–1. (Фактическая скорость поступления загрязняющих веществ в реку Охта и Славянка наблюдается q = 0.06 кг·м–1·сут –1 и q = 0.08 кг·м–1·сут –1 соответственно).
Рисунок 3 - Стационарное решение для СХ,S без дисперсии в случае незначительного k
Рисунок 4 - Стационарное решение для СО,S без дисперсии в случае незначительного k
Таким образом, решения для СХ,S и СО,S на больших расстояниях вниз по потоку зависят только от параметров k и qX, что показано на рисунках 3 и 4 пунктирной линией.
6. Модели, включающие диффузию и конвекцию
В этой модели рассмотрен стационарный случай, когда присутствуют члены в уравнении с коэффициентами диффузии (пусть DO ≠ 0, DX ≠ 0), в результате чего сохраняются члены производных второго порядка. Если параметр k считать пренебрежимо малым (k ≈ 0), тогда уравнения (1 – 2) преобразуются следующим образом
В рамках этой модели получается аналитическое решение для концентрации загрязнения СХ,S, которое имеет вид
где c1 = v/2DX и , а для концентрации растворенного кислорода СО,S
где
,
,
,
.
Применяя рассмотренные модели для описания изменения концентраций загрязняющих веществ в реках Охта и Славянка мы рассматривали условия, когда точечных источников загрязнения нет (только распределенные источники). В этом случае СХ,S(x) считались непрерывными, а поступление загрязнителя начиналось с x = 0. В результате концентрация загрязняющих веществ СХ,S(x) имеет относительно плавный характер с разрывом qX/DX·S во второй производной при x = 0.
Если значением параметра k не пренебрегать, и он меняется равномерно, то получается следующая система нелинейных дифференциальных признаков второго порядка:
Граничные концентрации для СХ,S и СО,S на больших расстояниях вниз по течению реки также как СХ,S(-∞) = 0 и СО,S(-∞) = СS. Это позволяет получить простые аналитические решения для соответствующих концентраций:
7. Заключение
Представленные модельные решения показывают, что использование математических моделей транспорта в водной среде реки в случае возникновении разного рода ситуаций, удобно представлять нелинейными дифференциальными уравнениями. В эти уравнения могут быть включены члены, описывающие различные механизмы распространения загрязняющих веществ. Выбор тех или иных механизмов в качестве преобладающих, позволяет упростить модель и получить аналитические решения, в том числе и стационарные. Однако в этом случае не учитываются изменения в концентрации, связанные с вариацией физического состояния (параметров) загрязняющего вещества. Использование таких упрощенных моделей позволяет ввести в них переменные параметры для различных видов поступления загрязняющих веществ.
В модельных расчетах был рассмотрен случай, когда скорость поступления загрязнения q = 0.06 кг·м-1 ·сут-1 (для реки Охта) и q = 0.08 кг·м-1 ·сут-1 (для реки Славянка). Полученные решения показывают, что в водной среде на больших расстояниях в водах реки будут превышены все нормативные показатели и концентрация растворенного кислорода станет ниже предельно допустимого значения [27]. Тем не менее количество загрязняющих веществ, поступающих в эти реки, примерно в 4 раза выше нормы, и это означает, что скорость общего биологического потребления кислорода (БПК) для реки должна составлять не более 5000 кг БПК в сут–1. Однако, исследования показали, что для рек Охта и Славянка такой уровень растворенного кислорода остается выше критического порогового значения – 30% от насыщенного значения. Это, с одной стороны, связано с протяженностью и извилистостью рек, а с другой с небольшой скоростью течения. Критическое значение не достигается в реке Охта из-за конечной длины, на которой фактически не происходит сброс загрязнений в реку Нева.
Представленные модели можно также использовать для определения влияния процессов аэрации на увеличение количества растворенного кислорода в воде, для этого требуется расширение переходной пространственной модели, что не сильно усложнит задачу. Следовательно, предложенные модели могут применяться для принятия решений об ограничении загрязнений рек сельскохозяйственными, промышленными и бытовыми выбросами.
Применение в моделировании разных типов математических моделей дает возможность повысить уровень принятия решений для оценки водных ресурсов. Такие модельные представления позволяют исследовать пространственное и временное распределение концентрации загрязняющих веществ с учетом различных параметров качества воды и источников загрязнения. Упрощенные модели для определённой реальной ситуации помогают принять решения в выборе ограничений, которые будут установлены для снабжения водой сельских и городской регионов.