SUBFIELD METHOD FOR EQUATIONS WITH FRACTIONAL AND DIFFERENTIAL OPERATOR

Интерес к изучению уравнений с дробно-дифференциальными операторами в настоящее время обусловлен активным использованием таких уравнений в ряде теоретических и прикладных задач физики, химии, а также биологии и медицины. К таким задачам относятся задачи диффузии, электрохимических процессов, в задачах автоматического управления и обработки сигналов. Активно используются такие уравнения для некоторых экономических задач, связанных со скачкообразными процессами, например, в задачах для непрерывных моделей устойчивой экономики. Также дифференциальные уравнения находят свое применение в задачах, изучающих процессы фильтрации, течения жидкости в пористой среде [1], [2], модели которых также описываются при помощи дифференциальных уравнений дробного порядка. Используются такие уравнения также при описании процессов, обладающих эффектом «памяти», причём дробный порядок уравнений в теории таких систем приобретает основополагающее значение, сопоставимое с классическим анализом применительно к механике сплошных сред [3], [4]. Таким образом, становится очевидным востребованность дробного исчисления в различных областях науки. Особенно в таких областях, как классическая и квантовая физика, теория поля, физика твердого тела, динамика жидкости, турбулентность, общая химия, нелинейная биология, стохастический анализ, нелинейная теория управления, обработка изображений [5].

Данные задачи, как правило, точно не решаются, поэтому необходимы теоретически обоснованные приближенные методы решения этих уравнений. Отметим, что в последнее время в научной литературе появляются работы, в которых предложены численные методы для некоторых классов уравнений. Приведем некоторые из них. Так, в работе [6] авторами разработан комплект Fractional Integration Toolbox (FIT), который эффективно выполняет дробное численное интегрирование и (или) дифференцирование с помощью интегралов типа Римана-Лиувилля на больших последовательностях данных. Инструментарий, предложенный в [6], допускает распараллеливание и предназначен для использования развертывания на платформах CPU и GPU. Однако, широкому кругу исследователей, занимающихся конкретными задачами, такой комплекс недоступен. Теоретическим изучением интегро-дифференциальных уравнений, определяющих множество скалярных интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными ядрами, включая линейные, нелинейные и резольвентные уравнения занимались авторы [7]. Ими был построен функционал Ляпунова, дающий качественные свойства решений, однако полученные результаты в основном касаются интегрируемых решений из интегрируемых возмущений. Авторами [8] приводится обоснование метода общих проекционных полиномов для решения периодических дробно-интегральных уравнений в двух пространствах Гёлдера. Данный результат носит теоретический характер и может быть использован в дальнейших исследованиях, связанных с построением вычислительных схем приближенных методов для задач, где используются уравнения из пространств Гёлдера. Авторы [9] обосновали обобщенный метод Бубнова-Галеркина для нахождения приближенного решения дробно-интегральных уравнений и получили оценки сходимости по метрике энергетического пространства, порожденного дробно-интегральным оператором, также предложили вычислительную схему этого метода для частного примера. В работе [10] авторами рассматривались некоторые экономические модели, использующие дифференциальные уравнения. Для некоторых уравнений непрерывных моделей экономики в работе [10] был предложен и обоснован приближенный метод. Авторами [11] предложен пример дифференциального уравнения, имеющего дробный порядок дифференцирования, который используется для моделей непрерывной экономики, и обоснован приближенный метод его решения. Однако, несмотря на достигнутый успех в этом направлении, остается открытым вопрос теоретического обоснования применения приближенных методов для более общего класса подобных задач. Так как существующие на сегодняшний момент работы, связанные с изучением дифференциальных уравнений дробного порядка, носят лишь частный характер. Наше исследование лишь дополнит теоретическое изучение еще одним методом для частного случая уравнений.

В работе предлагается метод подобластей для нахождения приближенного решения дробно-дифференциальных уравнений. Получены оценки сходимости приближенного решения к точному решению по метрике энергетического пространства, порожденного дробно-дифференциальным оператором. Построенный вычислительный метод проиллюстрирован на частном примере и приведена оценка метода.

В пространстве квадратично суммируемых функций на отрезке рассмотрено уравнение с дробно-дифференциальным оператором следующего вида:

(1)

Где оператор выражается через - производные дробного порядка для функций , заданных на отрезке , согласно формулам [12]:

(2)

здесь . Производные (2) – производные Римана-Лиувилля порядка , левосторонний и правосторонний, соответственно, а функции - неизвестная функция и - заданная функции из пространства . - оператор, для которого справедливо условие: - линейный оператор, и, в общем случае неограниченный и не положительно определенный.

В [12] показано, что для достаточно хороших функций оператор совпадает с оператором Вейля для дифференцирования дробного порядка. Поэтому справедливо следующее правило:

(3)

Здесь  суть коэффициентов Фурье для функции .

В случае, когда дробная производная (2) порядков  ее можно представить следующим образом: число , дробный порядок производной, можно представить как  т.е. через сумму целой и дробной частей соответственно. Если  - целое число, то под дробной производной будем понимать обычное дифференцирование:

Если же число  не целое, то вводятся производные:

В явном виде они задаются как:

Для оператора (3) справедливы следующие леммы.

Лемма 1.  положительно определенный оператор.

Лемма 2.  симметричный оператор.

Для функций  введем скалярное произведение и норму соответственно в операторном виде:

В явном виде скалярное произведение будет выражено как:

Пополняя  по норме, введенной выше, получим энергетическое пространство  порожденное оператором дробного дифференцирования .

Скалярно умножая исходное уравнение (1) на произвольную функцию , получим следующее уравнение:

(4)

которое допускает обобщённую постановку задачи. Напомним, что согласно [12] обобщенным решением уравнения (1) называется функция , удовлетворяющая уравнению (4) для любой функции .

Для нахождения приближенного решения уравнения (1) в энергетическом пространстве  выбирается система базисных функций , , через которую решение выражается в виде следующего разложения:

(5)

Неизвестные коэффициенты разложения  определяются по методу подобластей из системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:

(6)

здесь  – базисные сплайны нулевого порядка по равноотстоящим узлам.

Приближенное решение, согласно представлению (5), подставим в уравнение (4), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

(7)

Здесь учли также линейность скалярных произведений.

В качестве иллюстрации приведем пример вычислительной схемы метода подобластей для уравнения (1), при следующих данных: пусть оператор . Тогда уравнение (1) примет вид:

(8)

Неизвестную функцию  уравнения (8) будем искать приближенно методом подобластей, для этого в разложении (5) в качестве базисных функций возьмем систему функций . Неизвестные коэффициенты  разложения (5) найдем как решение системы:

где в качестве функций  используем базисные сплайны нулевого порядка по равноотстоящим узлам вида: , где  при  и где  при  

Тогда система для вычислительной схемы метода подобластей для модельного примера, уравнения (6) примет вид:

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.

Пусть

1) уравнение (1) имеет единственное решение при данной правой части;

2) форма  является  - определенной и  - ограниченной, т.е. выполняются условия:

3) Последовательность подпространств - линейных оболочек функций - является предельно плотной в .

Тогда при любом конечном система (6) однозначно разрешима и приближенное решение  сходится к точному решению при  по метрике  энергетического пространства  и справедлива оценка погрешности:

где  - заданная функция от (оценка погрешности аппроксимации), удовлетворяющая неравенству:

Предложенный в работе метод подобластей для нахождения приближенного решения дробно-дифференциального уравнения, основан на получении численного решения в виде многочлена по системе базисных функций в заданном пространстве, которую легко подобрать. Кроме того, реализация метода не представляет трудностей, так как она основана на решении систем линейных алгебраических уравнений. Полученная в статье оценка сходимости приближенного решения к точному решению по метрике энергетического пространства, порожденного дробно-дифференциальным оператором, показывает достаточно высокую точность приближения. Считаем, что предложенный вычислительный метод эффективен для решения подобных задач для дробно-дифференциальных операторов.