# SUBFIELD METHOD FOR EQUATIONS WITH FRACTIONAL AND DIFFERENTIAL OPERATOR

Research article
Issue: № 11 (125), 2022
Suggested:
13.07.2022
Accepted:
17.10.2022
Published:
17.11.2022
1355
14

## Abstract

When studying some physical processes, such as, for example, the study of force directed on an electric charge moving at a speed close to light in a background magnetic field, there is a necessity to use derivatives of fractional orders, and with the development of science and technology such studies become most relevant. Such problems lead to the necessity of building a model of the process with further numerical realization, which requires justification of application of the approximation apparatus and finding the approximation accuracy.

The work presents the results of theoretical justification of application of the method of subfields for finding numerical solutions of equations with fractional differentiation operators.

The structure of the numerical solution and an estimate of the error of the approximate solution by the metric of the energy space generated by the fractional differentiation operator are determined. As a test case for a particular case of fractional differential equation, the computational scheme of the method is built.

The results of the article can serve as both theoretical and practical applications in solving boundary value problems that lead to differential equations with fractional order derivatives.

## 1. Введение

Интерес к изучению уравнений с дробно-дифференциальными операторами в настоящее время обусловлен активным использованием таких уравнений в ряде теоретических и прикладных задач физики, химии, а также биологии и медицины. К таким задачам относятся задачи диффузии, электрохимических процессов, в задачах автоматического управления и обработки сигналов. Активно используются такие уравнения для некоторых экономических задач, связанных со скачкообразными процессами, например, в задачах для непрерывных моделей устойчивой экономики. Также дифференциальные уравнения находят свое применение в задачах, изучающих процессы фильтрации, течения жидкости в пористой среде [1], [2], модели которых также описываются при помощи дифференциальных уравнений дробного порядка. Используются такие уравнения также при описании процессов, обладающих эффектом «памяти», причём дробный порядок уравнений в теории таких систем приобретает основополагающее значение, сопоставимое с классическим анализом применительно к механике сплошных сред [3], [4]. Таким образом, становится очевидным востребованность дробного исчисления в различных областях науки. Особенно в таких областях, как классическая и квантовая физика, теория поля, физика твердого тела, динамика жидкости, турбулентность, общая химия, нелинейная биология, стохастический анализ, нелинейная теория управления, обработка изображений [5].

Данные задачи, как правило, точно не решаются, поэтому необходимы теоретически обоснованные приближенные методы решения этих уравнений. Отметим, что в последнее время в научной литературе появляются работы, в которых предложены численные методы для некоторых классов уравнений. Приведем некоторые из них. Так, в работе [6] авторами разработан комплект Fractional Integration Toolbox (FIT), который эффективно выполняет дробное численное интегрирование и (или) дифференцирование с помощью интегралов типа Римана-Лиувилля на больших последовательностях данных. Инструментарий, предложенный в [6], допускает распараллеливание и предназначен для использования развертывания на платформах CPU и GPU. Однако, широкому кругу исследователей, занимающихся конкретными задачами, такой комплекс недоступен. Теоретическим изучением интегро-дифференциальных уравнений, определяющих множество скалярных интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными ядрами, включая линейные, нелинейные и резольвентные уравнения занимались авторы [7]. Ими был построен функционал Ляпунова, дающий качественные свойства решений, однако полученные результаты в основном касаются интегрируемых решений из интегрируемых возмущений. Авторами [8] приводится обоснование метода общих проекционных полиномов для решения периодических дробно-интегральных уравнений в двух пространствах Гёлдера. Данный результат носит теоретический характер и может быть использован в дальнейших исследованиях, связанных с построением вычислительных схем приближенных методов для задач, где используются уравнения из пространств Гёлдера. Авторы [9] обосновали обобщенный метод Бубнова-Галеркина для нахождения приближенного решения дробно-интегральных уравнений и получили оценки сходимости по метрике энергетического пространства, порожденного дробно-интегральным оператором, также предложили вычислительную схему этого метода для частного примера. В работе [10] авторами рассматривались некоторые экономические модели, использующие дифференциальные уравнения. Для некоторых уравнений непрерывных моделей экономики в работе [10] был предложен и обоснован приближенный метод. Авторами [11] предложен пример дифференциального уравнения, имеющего дробный порядок дифференцирования, который используется для моделей непрерывной экономики, и обоснован приближенный метод его решения. Однако, несмотря на достигнутый успех в этом направлении, остается открытым вопрос теоретического обоснования применения приближенных методов для более общего класса подобных задач. Так как существующие на сегодняшний момент работы, связанные с изучением дифференциальных уравнений дробного порядка, носят лишь частный характер. Наше исследование лишь дополнит теоретическое изучение еще одним методом для частного случая уравнений.

В работе предлагается метод подобластей для нахождения приближенного решения дробно-дифференциальных уравнений. Получены оценки сходимости приближенного решения к точному решению по метрике энергетического пространства, порожденного дробно-дифференциальным оператором. Построенный вычислительный метод проиллюстрирован на частном примере и приведена оценка метода.

## 2. Постановка задачи

В пространстве квадратично суммируемых функций на отрезке рассмотрено уравнение с дробно-дифференциальным оператором следующего вида:

(1)

Где оператор выражается через - производные дробного порядка для функций , заданных на отрезке , согласно формулам [12]:

(2)

здесь . Производные (2) – производные Римана-Лиувилля порядка , левосторонний и правосторонний, соответственно, а функции - неизвестная функция и - заданная функции из пространства . - оператор, для которого справедливо условие: - линейный оператор, и, в общем случае неограниченный и не положительно определенный.

В [12] показано, что для достаточно хороших функций оператор совпадает с оператором Вейля для дифференцирования дробного порядка. Поэтому справедливо следующее правило:

(3)

Здесь  суть коэффициентов Фурье для функции .

В случае, когда дробная производная (2) порядков  ее можно представить следующим образом: число , дробный порядок производной, можно представить как  т.е. через сумму целой и дробной частей соответственно. Если  - целое число, то под дробной производной будем понимать обычное дифференцирование:

Если же число  не целое, то вводятся производные:

В явном виде они задаются как:

Для оператора (3) справедливы следующие леммы.

Лемма 1.  положительно определенный оператор.

Лемма 2.  симметричный оператор.

Для функций  введем скалярное произведение и норму соответственно в операторном виде:

В явном виде скалярное произведение будет выражено как:

Пополняя  по норме, введенной выше, получим энергетическое пространство  порожденное оператором дробного дифференцирования .

Скалярно умножая исходное уравнение (1) на произвольную функцию , получим следующее уравнение:

(4)

которое допускает обобщённую постановку задачи. Напомним, что согласно [12] обобщенным решением уравнения (1) называется функция , удовлетворяющая уравнению (4) для любой функции .

## 3. Метод подобластей

Для нахождения приближенного решения уравнения (1) в энергетическом пространстве  выбирается система базисных функций , , через которую решение выражается в виде следующего разложения:

(5)

Неизвестные коэффициенты разложения  определяются по методу подобластей из системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:

(6)

здесь  – базисные сплайны нулевого порядка по равноотстоящим узлам.

Приближенное решение, согласно представлению (5), подставим в уравнение (4), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

(7)

Здесь учли также линейность скалярных произведений.

В качестве иллюстрации приведем пример вычислительной схемы метода подобластей для уравнения (1), при следующих данных: пусть оператор . Тогда уравнение (1) примет вид:

(8)

Неизвестную функцию  уравнения (8) будем искать приближенно методом подобластей, для этого в разложении (5) в качестве базисных функций возьмем систему функций . Неизвестные коэффициенты  разложения (5) найдем как решение системы:

где в качестве функций  используем базисные сплайны нулевого порядка по равноотстоящим узлам вида: , где  при  и где  при

Тогда система для вычислительной схемы метода подобластей для модельного примера, уравнения (6) примет вид:

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.

Пусть

1) уравнение (1) имеет единственное решение при данной правой части;

2) форма  является  - определенной и  - ограниченной, т.е. выполняются условия:

3) Последовательность подпространств - линейных оболочек функций - является предельно плотной в .

Тогда при любом конечном система (6) однозначно разрешима и приближенное решение  сходится к точному решению при  по метрике  энергетического пространства  и справедлива оценка погрешности:

где  - заданная функция от (оценка погрешности аппроксимации), удовлетворяющая неравенству:

## 4. Заключение

Предложенный в работе метод подобластей для нахождения приближенного решения дробно-дифференциального уравнения, основан на получении численного решения в виде многочлена по системе базисных функций в заданном пространстве, которую легко подобрать. Кроме того, реализация метода не представляет трудностей, так как она основана на решении систем линейных алгебраических уравнений. Полученная в статье оценка сходимости приближенного решения к точному решению по метрике энергетического пространства, порожденного дробно-дифференциальным оператором, показывает достаточно высокую точность приближения. Считаем, что предложенный вычислительный метод эффективен для решения подобных задач для дробно-дифференциальных операторов.

Views:1355