STRUCTURAL MATHEMATICAL MODELLING OF OSCILLATORY SYSTEMS: THE DYNAMIC QUALITY OF RESONANCE IN VIBRATION TEST BENCHES
STRUCTURAL MATHEMATICAL MODELLING OF OSCILLATORY SYSTEMS: THE DYNAMIC QUALITY OF RESONANCE IN VIBRATION TEST BENCHES
Abstract
The article examines the issue of determining the dynamic quality of resonance-type vibrating process machinery. The factor determining dynamic quality is the plateau effect — the stabilisation of the working body’s vibration amplitudes in the region of resonance frequencies. Within the framework of structural mathematical modelling, the task of assessing the dynamic state of a two-mass oscillatory system, taking friction into account, is studied, which serves as a model for resonance vibration test benches.
A new approach is being developed to determine the dynamic states of the working element of a vibrating machine near resonance; it represents a further development of Den Hartog’s classical approach to the stabilisation of two-mass vibration dampers.
An intensity coefficient is introduced, making it possible to selectively increase or decrease the oscillation amplitudes of the working element within the resonance frequency range. Complete analytical expressions for the normalised amplitude-frequency characteristics have been derived, and the coordinates of invariant nodal points, independent of damping, have been determined.
Formulae for optimal damping have been obtained for each coordinate, and it has been shown that it is impossible to satisfy the ‘plateau’ condition for both masses simultaneously. For the two-mass mechanical oscillatory system in question, the structural independence of the inter-particle transfer function from the mass ratio has been established, which simplifies the identification of the system’s parameters from experimental data.
The theoretical significance of the work lies in the extension of the framework of normalised amplitude-frequency characteristics to the case of parametric tuning of vibration amplitudes in the resonance frequency range. The potential practical significance of the analytical results may lie in the development of the fundamentals of adaptive control of vibrating machinery under conditions of changing process load parameters or vibration exciters.
1. Введение
Вибрационные технологические машины находят широкое применение при решении производственных задач в промышленности, строительстве и сельском хозяйстве
, . Характерными производственными процессами, активно использующими вибрационные эффекты, служат смешивание, грохочение, уплотнение, транспортирование сыпучих смесей или растворов, кусковых материалов, деталей, изделий и т.п.Рост потребности обработки сырья с помощью вибрационных технологий в промышленных масштабах влечет существенное повышение энергоёмкости производственных процессов. Для снижения энергопотребления используют резонансные вибрационные машины, применение которых позволяет на порядок сокращать потребляемую мощность
. В современных условиях развитие таких систем тесно связано с концепцией Industry 4.0 и цифровыми подходами к мониторингу вибрационных воздействий .Вместе с тем резонансные режимы работы вибрационных машин нестабильны при изменении параметров технологических нагрузок или частот внешних возмущений, являющемся неотъемлемым условием широкого класса вибрационных технологических процессов обработки материалов или изделий. Для решения задачи повышения динамического качества вибрационных машин широкое распространение получила методология структурного математического моделирования
, в рамках которой механическим колебательным системам, используемым в качестве расчетных схем технических объектов в условиях вибрационного нагружения, сопоставляются эквивалентные в динамическом отношении структурные схемы систем автоматического управления, для оценки динамического состояния которых используются передаточные функции, в физическом смысле представляющие собой рычажные связи или динамические податливости. Методология структурного математического моделирования обладает существенным потенциалом интеграции в современные подходы в решении задач оптимизации динамических гасителей с использованием интеллектуальных алгоритмов .Традиционный подход борьбы с нестабильностью резонансных режимов связан с методом формирования так называемого плато — эффекта выравнивания формы амплитудно-частотной характеристики в интервале между резонансами. Основой метода служит определение узловых точек, через которую проходит семейство амплитудно-частотных характеристик системы или межпарциальных связей
, , . Приближение производных к нулю в узловых точках позволяет определять режимы направленные на стабилизацию амплитуд колебаний в широком диапазоне частот. Вместе с тем найденный с помощью традиционного подхода режим не гарантирует, что в интервале между резонансными частотами не произойдёт существенного уменьшения амплитуд колебания системы .Целью исследования является разработка подходов к повышению стабильности работы резонансных режимов двухмассовых вибрационных технологических машин.
В качестве модельного вибрационного стенда рассматривается двухмассовый машинный агрегат с поступательной формой движения рабочего органа, вызванного колебаниями инерционного возбудителя. Первая масса представляет собой инерционный вибровозбудитель, колебания которого формируется путем противофазного вращения двух эксцентриков, создающих направленные вибрационные возмущения гармонической формы; вторая масса представляется собой рабочий орган. Предполагается, что рабочий орган и вибровозбудитель представляют собой вязко-упругую колебательную систему с сосредоточенными параметрами, совершающую малые колебания.
Ключевыми задачами исследования являются: разработка нормализованной математической модели вибрационной машины с учётом вязкого трения, работающей в режиме резонанса; вывод аналитических выражений безразмерных амплитудно-частотных характеристик передаточных функций системы и межпарциальных связей; отделение амплитудно-частотных характеристик, обеспечивающих более высокую стабильность колебаний в резонансной области, чем классический подход; разработка подхода, обеспечивающего возможность регулирования интенсивности колебания в области резонансных частот.
Математическая модель разрабатывается в рамках формализма уравнений Лагранжа 2-ого рода. Рассматривается классическая схема динамического гашения колебаний основной массы m1 с помощью дополнительной массы m2, пружин k1, k2 и демпфера b2 (рис. 1). Внешнее гармоническое возмущение Q1 приложено к основной массе m1. Данная расчетная схема также может быть использована для моделирования динамических особенностей вибрационных технологических машин резонансного типа
, .
Расчётная схема механической колебательной системы:
x1, x2 - обобщенные координаты, представляющие собой малые смещения относительно положения статического равновесия, Q1 - внешнее гармоническое возмущение
Уравнения Лагранжа второго рода принимают вид:
Применение интегрального преобразования Лапласа для системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода приводит к системе алгебраических уравнений:
В рамках структурного подхода система алгебраических уравнений может быть представлена в виде структурной схемы, эквивалентной в динамическом отношении структурной схеме системы автоматического управления
.
Структурная схема к механической колебательной системе на (рис.1):
p=jω - комплексная переменная; j - мнимая единица; ω - круговая частота
Выбор базовой частоты Ωc основной массы и массы гасителя m2 в знаменателе коэффициента приведённого демпфирования γ обусловлен классической методологией Ден-Гартога, обеспечивающей физическую интерпретируемость параметров, аналитическую простоту определения неподвижных точек, сопоставимость с классическими результатами и независимость частотной и диссипативной настроек.
2. Методы и принципы исследования
Исследование проводится в рамках методологии структурного математического моделирования, основанного на сопоставлении механической колебательной системе эквивалентную в динамическом отношении системы автоматического управления, что позволяет использовать аппарат передаточных функций. Амплитудно-частотные характеристики, используемые для оценки динамических состояний, в физическом смысле интерпретируются как рычажные связи и динамические податливости.
Для развития обобщённых представлений о состояниях механических колебательных систем используется нормализация математической модели — переход к безразмерным переменным. Определение параметров системы, обеспечивающих повышение стабильности амплитуд колебаний, основано на использовании метода узловых точек, который заключается в определении двух общих или узловых точек для семейства амплитудно-частотных характеристик, зависящих от коэффициента приведенного трения.
Классический подход обеспечивает повышение стабильности амплитуд колебаний достигается за счёт таких параметров системы, для которых касательные к искомой амплитудно-частотной характеристике в узловых точках близки к горизонтальным прямым. В работе использован новый подход, основанный на определении амплитудно-частотной характеристики, которая дополнительно к тому, что она проходит через две узловые точки, также проходит через третью промежуточную точку на той же высоте. Анализ динамических состояний проведён с помощью амплитудно-частотных характеристик двух координат и межпарциальной связи, что согласуется с современными подходами к динамическому гашению колебаний и введению дополнительных связей
.3. Основные результаты
1. Получены аналитические выражения нормализованных амплитудно-частотных характеристик двухмассовой системы с вязким демпфированием. Выведены формулы для амплитудно-частотных характеристик первой и второй координат, а также межпарциальной передаточной функции в безразмерном виде, что позволило явно выразить зависимость амплитуд от безразмерной частоты возмущения, массового отношения, отношения собственных частот и коэффициента вязкого трения.
2. Установлено, что амплитудно-частотные характеристики могут быть определены из условий прохождения через среднюю точку с амплитудой, совпадающей с амплитудой в узловых точках. Данная амплитудно-частотная характеристика обеспечивает лучшее динамическое качество по сравнению с классическим вариантом.
3. Введён коэффициент интенсивности ε как параметр дополнительной настройки динамического качества. Коэффициент интенсивности ε определяет отклонение высоты амплитудно-частотной характеристики промежуточной частоте g0 от высоты в узловых точках (в частотах g1,g2):
при ε > 0 реализуется усиление колебаний, при ε < 0 — ослабление. Это расширяет классический подход «плато» и позволяет целенаправленно формировать динамическое качество резонансных режимов.
4. Выведены формулы оптимального демпфирования для параметрической трёхточечной настройки.
Для первой координаты:
Для второй координаты:
Установлено, что условие «плато» может быть обеспечено либо для первой, либо для второй координаты, но не одновременно для обеих.
Условие реализации «плато» для первой координаты:
Условие реализации «плато» для второй координаты:
Несовместность данных условий доказывает невозможность реализации одновременного «плато» для двух координат.
5. Получены аналитические выражения межпарциальных связей в средней точке настройки.
Для условий плато, выполненного для первой координаты:
Для условий плато, выполненного для второй координаты:
Данные характеристики позволяют связывать экспериментальные данные по отношению амплитуд колебаний рабочего органа и вибровозбудителя с параметрами системы
.6. Установлена структурная независимость межпарциальной передаточной функции от массового отношения.
Исследования показали, что межпарциальная передаточная функция обладает свойствами, позволяющими использовать её как инструмент идентификации параметров вибрационной машины по экспериментальным данным
.7. Подтверждена применимость методологии для параметрического синтеза систем.
Переход от «точечной» настройки под конкретный режим к параметрической настройке с использованием критерия «плато» и инвариантных точек обеспечивает устойчивость динамического качества к изменению параметров среды без ручной переналадки оборудования
.На рис. 3 и рис. 4 представлены характерные амплитудно-частотные характеристики для координат x1 и x2, построенные для массового параметра 0.1, для которых реализуется соответствующее условие «плато».
Амплитудно-частотные характеристики, при условии реализации «плато» для первой координаты
Амплитудно-частотные характеристики, при условии реализации «плато» для второй координаты
4. Обсуждение
Проведённые исследования могут быть условно разделены на три части. Первая часть носит формальный характер воспроизведения результатов полученных Ден-Гартогом. Вторая часть связана с ведением новых условий для определения эффективной формы амплитудно-частотная характеристики, обеспечивающей пологость, а значит стабильность динамического процесса колебаний системы в окрестности резонанса. Показано, что данную характеристику можно использовать как регулятор. Необходимо отметить, что речь идёт фактически о выборе критерия динамического качества процесса в режиме резонанса. Критерий может быть достаточно простым, представляя собой точечное отклонение значений амплитудно-частотных характеристик на величину параметра интенсивности, а может быть представлен и достаточно сложной интегральной метрикой, зависящий от функции и её производных. Подобная метрика определяется уровнем требований к динамическому качеству. Третья часть связана с анализом динамических состояний механической колебательной системы с помощью трёх амплитудно-частотных характеристик с учетом требований к выполнению условий плато. Анализ динамического качества в свою очередь сводится к возможности реализации плато для каждой из координат, а также к определению особенностей, представляющих интерес для работы вибрационно-технологических машин. Полученные результаты имеют ограничения: линейная двухмассовая модель с вязким трением не учитывает нелинейные элементы, в при переходе к системам с несколькими степенями свободы требует учета связей характера трения между различными элементами системы; анализ проведён для моногармонического возмущения; условие «плато» при общих допущениях не выполняется одновременно для обеих координат; формулы демпфирования чувствительны к ошибкам определения масс.
5. Заключение
Классический метод Ден-Гартога стабилизации колебаний в резонансном режиме изначально ориентирован на разработку эффективного динамического гасителя колебаний. Вместе с тем подходы, заложенные Ден-Гартогом, могут быть распространены на задачи проектирования вибрационных технологических машин, расчётные схемы которых эквивалентны схемам двухмассовых гасителей колебаний. Способ локального выравнивания амплитудно-частотной характеристик только за счет выбора параметров механической системы представляет интерес для широкого класса технических объектов, находящихся в условиях вибрационных нагружений. В работе представлен вариант развития подхода Ден-Гартога на примере системы с двумя степенями свободы и одним демпфером. Можно полагать, что общий способ повышения эффективности заключается в разработке обобщённого критерия динамического качества, позволяющего выбирать наилучшие амплитудно-частотные характеристики из множества допустимых исходя из специфики задачи. Данный подход может быть обобщён на расчётные схемы механических колебательных системе с тремя и более степенями свободы, что создаёт методологическую основу для решения задач синтеза резонансных режимов работы вибрационных технологических машин с заданным динамическим качеством.
Перспективы развития включают: переход к стохастическим возмущениям, распространение на вращательные движения, экспериментальную верификацию метода идентификации параметров, интеграцию с Industry 4.0 для создания самонастраивающихся машин.