CONTINUITY OF SOLUTION OF INVERSE PROBLEMS FOR THE EQUATION OF RADIATION TRANSFER

НЕПРЕРЫВНОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЙ

Научная статья

Сариев А.Д.¹, Шыганакова А.Т.^2, *, Сариев С.Д.³, Сайдолқызы Ж.⁴, Хазтурганова Ж.Н.⁵, Мукашева Б.Б.⁶

^{1, 2, 4, 5}  Атырауский государственный университет, Атырау, Казахстан;

³  Международный казахско-турецский университет, Туркестан, Казахстан;

^{1, 2}  Школа – лицей №38, Атырау, Казахстан

* Корреспондирующий автор (ainagul-81-81[at]mail.ru)

Аннотация

Теория обратных задач для уравнения переноса частиц является одной из быстро развивающихся областей современной математики. В этой статье рассматриваются вопросы непрерывности решения обратных задач для уравнения переноса излучении в многозонных областях из R. В действительности изучены обратная задача для нестационарного уравнения переноса излучений, состоящую одновременном нахождении коэффициента рассеяния σ_s и интенсивности излучения u. В этом случае достаточно доказать непрерывности решения обратной задачи из R относительно дополнительной информации. В предлагаемой статье изучаются локальные свойства классических решении односкоростного нестационарного уравнения переноса, рассматриваемого в многозонной области.

Ключевые слова: вопросы существования и единственности, односкоростное нестационарное уравнение, дополнительное условие, вопросы непрерывности решения, многозонная область из R, пространство кусочно-непрерывных функции.

CONTINUITY OF SOLUTION OF INVERSE PROBLEMS FOR THE EQUATION OF RADIATION TRANSFER

Research article

Sariev A.D.¹, Shyganakova A.T.^2, *, Sariev S.D.³, Saydolkyzy Zh.⁴, Khazturganova Zh.N.⁵, Mukasheva B.B.⁶

^{1, 2, 4, 5}  Atyrau State University, Atyrau, Kazakhstan;

³  International Kazakh-Turkish University, Turkestan, Kazakhstan;

^{1, 2}  Lyceum School No.38, Atyrau, Kazakhstan

* Corresponding author (ainagul-81-81[at]mail.ru)

Abstract

The theory of inverse problems for the particle transport equation is one of the rapidly developing areas of modern mathematics. This article discusses the continuity of the solution of inverse problems for the radiative transfer equation in multi-zone regions from R. In fact, the inverse problem is studied for the non-stationary radiative transfer equation, which consists in simultaneously finding the scattering coefficient s_s and radiation intensity u. In this case, it suffices to prove the continuity of the solution of the inverse problem from R with respect to additional information. In this paper, we study the local properties of the classical solution of the single speed time-dependent equation considered in a multi-zone domain.

Keywords: questions of existence and uniqueness, single speed time-dependent equation, additional condition, questions of solution continuity, a multi-zone domain from R, space of piecewise continuous functions. 

Теория переноса – одна из важных областей современной науки, которая быстро развивается на основе достижений теоретической и математической физики.

Прикладная важность обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений настолько велика, что они становятся в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Обратные задачи возникают при исследовании реальных физических явлений в случаях, когда требуется определить некоторую характеристику рассматриваемого процесса, непосредственное измерение которой затруднительно или невозможно, по её косвенным проявлениям, т.е. по тем характеристикам явления, которые доступны непосредственному измерению.

В предложенной статье рассматриваются вопросы непрерывности решения обратных задач для уравнения переноса излучений в многозонных областях из R.

Рассматривается обратная задача для нестационарного уравнения переноса излучений, состоящая в одновременном нахождении коэффициента рассеяния σ_s и интенсивности излучения u.

В предлагаемой статье изучаются локальные свойства классических решений односкоростного нестационарного уравнения переноса, рассматриваемого в многозонной области.

В этом случае достаточно доказать непрерывности решения обратной задачи из  относительно дополнительной информации.

В многозонной области ,  рассматривается обратная задача для нестационарного уравнения переноса излучений, состоящую в одновременном нахождении коэффициента рассеяния s_s и интенсивности излучения u из условий прямой задачи, т.е. уравнения [3]:

Для , начального условия краевых условий на внешней границе  и на границе раздела зон для любых  а также условий переопределения Будем говорить, что выполнены условия А: Если

при всех .

Наконец, в многозонной области  рассмотрим обратную задачу состоящую в нахождении пары  из условия прямой задачи (1)-(4) и данной из систем дополнительных условий (5), либо (6).

Определение 1. Задачу определения пары  из условий прямой задачи (1)-(4) и дополнительной информации при заданных  – назовем задачей І (задачей І).

Определение 2. Пару  назовем решением р -го этапа задачи ІІ (задачи ІІ) из класса R, если , функция  является решением прямой задачи (1)-(4) и удовлетворяет первый p -дополнительным условиям (5) (условиям (6)),

а функция , кроме того удовлетворяет неравенствам (7).

Определение 3. Пару  назовем решением задачи ІІ (задачи ІІ) из класса R, если  а функция   является решением прямой задачи (1)-(4) и удовлетворяет дополнительным условиям (5) (условиям (6)), а функция . кроме того удовлетворяет неравенствам (7).

Справедлива следующая [4]

Теорема 1. Пусть выполнены условия , тогда для существования и единственности решения задачи І из класса  необходимо и достаточно выполнения следующей последовательности неравенств:

где

первые j - компонент вектора , который совместно с  – является решением j -го этапа задачи І (задача І).

Причем первые j – компонент вектора  – определяются однозначно, а первые j-1 компоненты этого вектора совпадают с соответствующими компонентами вектора .

Справедлива следующая [1]

Теорема 2. Пусть выполнены условия А, Ф ≥ 0, f ≥ 0, A_j > 0, j ∈ M_j, то для существования решения обратной задачи (1)-(5) из класса  необходимо и достаточно выполнения следующей цепочки неравенств

где

 – первые р компонент вектора σ_s(p), который совместно с функцией u_σs(p) образуют решение р-того этапа обратной задачи (1)–(5) из класса R, причем первые р компонент вектора σ_s(p) определяются  однозначно, а первые р–1 компонент этого вектора совпадает с первыми (р–1) компонентами вектора σ_s(p-1), которая совместно с функцией u σ_s(p-1) образуют решение (p-1)–го этапа обратной задачи (1)–(5) из класса R.

Пусть пара   является решением обратной задачи (1)-(5), а пара  такова, что  – является решением прямой задачи (1)-(4) с коэффициентом рассеяния равным  и удовлетворяет дополнительным условиям

    (7)

для всех .

Если выполнены условия , то в силу известной теоремы [6] справедлива следующая цепочка неравенств

   (8)

где

– первые р компоненты вектора , который совместно с функцией  образует пару из R, являющуюся решением р-того этапа обратной задачи (1)-(4), (7).

Справедлива следующая (основной результат статьи)

Теорема 3. Пусть выполнены условия , а также неравенство (8), (13) и пусть

   (9)

тогда справедливы оценки

     (10)

     (11) где С₂, С₃ - некоторые постоянные не зависящие от ε.

Доказательство. Пусть пары  являются решениями из R обратных задач (1)-(5) и (1)-(4), (7), соответственно.

Докажем, что для любого , справедлива оценка

   (12)

где

Положим для определенности, что , тогда в силу известной леммы [7]  и разность  неотрицательная, поскольку . Для u₁ справедливо равенство

Поэтому, умножив равенство (13) на – μ и проинтегрировав по μ от -1 до 0, а также учитывая неотрицательность первого члена правой части равенства (13) и функцию Ф, учитывая неравенство (7) и условия (5), (7) приходим к неравенству

Откуда И оценка (12) доказана для р = 1. Пусть оценка (12) имеет место для (р-1), т.е.     (14)

Докажем, что оценка имеет место и при р.

Из леммы [8] следует, что пары ,

где  являются решениями из R р – того этапа задач (1)-(5) и (1)-(4), (7), соответственно.

Введем вектор . В силу леммы [6] пара   является решением из R (р-1)-го этапа обратных задач (1)-(5). Обозначим

    (15)

В силу леммы [6], [7], [8] и оценки (12)

    (16)

Примем  для определенности , тогда в силу леммы [7]  и разность  неотрицательна. Для u_р справедливо неравенство

     (17)

Умножив равенство (17) на -μ, проинтегрировав по μ от -1 до 0, учитывая не отрицательность первого члена правой части, равенства (17) и функции Ф, в силу вышеупомянутых соотношений, неравенства (7) и условий (5), (15) приходим к неравенству

      (18)

После некоторых оценок из (18)

    (19)

Из (19) и (16)

что доказывает справедливость оценки (12), а значит и оценки (10).

В конце статьи отметим следующие результаты для нестационарного уравнения переноса в многозонной области:

а) о разрешимости и единственности «в целом» в  обратных задач нахождения пар ;

б) о непрерывной зависимости упомянутых задач от дополнительной информации, в случае многозонной области.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Агошков В.И. О гладкости решений уравнения переноса и приближенных методах их построения, I / Агошков В.И. // Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения – Новосибирск, 1977.-Вып. I. – С.59-71
2. Гермогенова Т.А. Некоторые свойства решений первой краевой задачи для уравнения переноса нейтронов / Гермогенова Т.А. //Вычислительные методы в теории переноса. – М.: Атомиздат, -1969. С.34-49.
3. Султангазин У.М. О некоторых обратных задачах атмосферной оптики / Султангазин У.М., Иркегулов И.Ш. // -В кн.: Некорректные задачи математической физики и анализа. –Новосибирск, Наука, Сиб. Отд., 1984, с. 143-149.
4. Сариев А.Д. О корректности «в целом» некоторых обратных задачах для нестационарных уравнений / Сариев А.Д., Сыдыков Г.М. // АН СССР, ЖВМ и МФ №12, 1991.
5. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса / Султангазин У.М. –Алма-Ата: Наука, 1979. –269 с.
6. Сариев А.Д. О решении обратных задач нестационарного уравнения переноса / Сариев А.Д., Сыдыков Г.М. // Условно-корр. задачи мат. физики. – Краснодар, 1992.
7. Сариев А.Д. О корректности обратных задачи определения пары в случае простой области для уравнения переноса излучений / Сариев А.Д., Шаждекеева Н.К., Шыганакова А.Т. // Международный научно-исследовательский журнал ISSN 2303-9868 print issn 2227-6017/ № 01 (55) 2017/ Часть 2 Январь Екатеринбург 2017.
8. Сариев А.Д. Свойства интеграла столкновений нестационарного уравнения переноса в плоскопараллельной геометрии / Сариев А.Д., Шыганакова А.Т., Жубанова Н.Ж. // Журнал «Актуальные научные исследования в современном мире» ISSN 2524-0986 выпуск 11(19) часть 1, Переяслав-Хмельницкий 2016, 146 с.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Agoshkov V.I. O gladkosti resheniy uravneniya perenosa i priblizhennykh metodakh ikh postroeniya, I [On the Smoothness of Solutions of the Transport Equation and Approximate Methods for their Construction, I] / Agoshkov V.I. // Differentsial'nyye i integro-differentsial'nyye uravneniya [Differential and Integro-Differential Equations] – Novosibirsk, 1977. – Issue. I. – P. 59-71 [in Russian]
2. Germogenova T.A. Nekotorye svoistva reshenii pervoi kraevoi zadachi dlya uravneniya perenosa neitronov [Some Properties of Solutions of the First Boundary Value Problem for the Neutron Transport Equation] / Germogenova T. A. // Vychislitel'nyye metody v teorii perenosa [Computational Methods in Transport Theory]. – M.: Atomizdat, – 1969. P.34-49. [in Russian]
3. Sultangazin U.M. O nekotorykh obratnykh zadachakh atmosfernoi optiki. [On Some Inverse Problems of Atmospheric Optics] / Sultangazin U. M., Irkegulov I. Sh. // In the book: Incorrect Problems of Mathematical Physics and Analysis. –Novosibirsk, Nauka, Sib. Dep., 1984, p. 143-149. [in Russian]
4. Sariev A.D. O korrektnosti «v tselom» nekotorykh obratnykh zadachakh dlya nestatsionarnykh uravnenii. [On the Correctness “in General” of Some Inverse Problems for Non-stationary Equations] / Sariev A. D., Sydykov G. M. // AN SSSR, ZHVM i MF [Academy of Sciences of the USSR, ZhVM and MF] No. 12, 1991. [in Russian]
5. Sultangazin U.M. Metody sfericheskikh garmonik i diskretnykh ordinat v zadachakh kineticheskoi teorii perenosa. [Methods of Spherical Hrmonics and Discrete Ordinates in the Problems of the Kinetic Theory of Transport] / Sultangazin U. M. – Alma-Ata: Nauka, 1979. – 269 p. [in Russian]
6. Sariev A. D. O reshenii obratnykh zadach nestatsionarnogo uravneniya perenosa. [On the Solution of Inverse Problems of the Non-stationary Transport Equation] / Sariev A. D., Sydykov G. M. // Uslovno-korr. zadachi mat. fiziki [Relative Corrective Tasks of Math. Physics]. Krasnodar, 1992. [in Russian]
7. Sariev A.D. O korrektnosti obratnykh zadach opredeleniya pary , v sluchae prostoi oblasti dlya uravneniya perenosa izluchenii [On the Correctness of Inverse Problems of Determining the Pair  , in Case of a Simple Domain for the Radiation Transport Equation] / Sariev A.D., Shazhdekeeva N.K., Shyganakova A.T. et al. // Mezhdunarodnyy nauchno-issledovatel'skiy zhurnal [International Research Journal] ISSN 2303-9868 print ISSN 2227-6017 / No. 01 (55) 2017 / Part 2 January Yekaterinburg 2017. [in Russian]
8. Sariev A.D. Svoistva integrala stolknovenii nestatsionarnogo uravneniya perenosa v ploskoparallelnoi geometrii. [Properties of the Collision Integral of the Non-stationary Transport Equation in Plane-parallel Geometry] / Sariev A.D., Shyganakova A.T., Zhubanova N.Zh. et al. // Zhurnal Aktual'nyye nauchnyye issledovaniya v sovremennom mire [Topical Scientific Research in the Modern World] Journal ISSN 2524-0986 Issue 11 (19) Part 1, Pereyaslav-Khmelnitsky 2016, 146 pp. [in Russian]