An Evaluation of a Solution of the Cauchy Problem of the Nonlinear Fractional Diffusion Equation

Research article
DOI:
https://doi.org/10.23670/IRJ.2023.127.3
Issue: № 1 (127), 2023
Suggested:
14.09.2022
Accepted:
07.12.2022
Published:
24.01.2023
109
0
XML PDF

Abstract

In the work, the Cauchy problem for the nonlinear fractional diffusion equation is examined. By connecting the harmonic continuation of the studied solution and the solution itself in one boundary value problem, the desired solution in uniform metrics is evaluated through the integral norm. This proves the substantial limitation of the solution. This evaluation is obtained by sampling functions in an integral identity, where the continuation of the solution and the solution of the differential equation itself are combined in a single integral identity. The method used shows that for small values of time, the behaviour of the solution does not depend on the parameters of the problem. The dependence on the parameters of the problem appears at large values of time, that is, the solution depends on the degree of the source only starting from a certain point in time. From the proved theorem, it is possible to define this moment of time as the solution of some equation. The obtained evaluation is a generalization of similar results obtained for differential equations of a porous medium.

1. Введение

Данная работа является продолжением работ

и
, в которой рассматривается задача Коши для нелинейного уравнения дробного порядка

img
(1)
img
(2)

RN- N-мерное арифметическое пространство. Оператор (-Δ)a f(x) определяется в виде потенциала Рисса

img

CN-постоянная, зависящая от размерности N.

Дробно-дифференциальные уравнения вида (1) рассматривались при изучении турбулентного характера движения космических лучей. Дробная степень Лапласа при этом обеспечивает более быстрое по сравнению с нормальной диффузией расплывания диффузионного пакета.

Дробно-дифференциальная модель используется и в других задачах движения заряженных частиц в магнитных полях. Подобным уравнениям с нормальной диффузией и без источника посвящена монография

.

В работе

, при α=1/2, дана оценка решения задачи (1), (2) через интеграл площадей Лузина гармонической функции, являющееся продолжением решения в полупространстве R+N+1={(x,y) ∶ x∈ RN, y>0}. Полученная оценка дополняет неравенства (3) и (4) теоремы 1 в работе

В работе

для решения задачи Коши нелинейного уравнения дробной диффузии порядка 1/2, без источника (теорема (2.4)) в равномерной метрике доказана оценка

img

где r=m-1+1/N-1, m - порядок нелинейности дифференциального уравнения, f – начальная функция, N – размерность пространства.

Далее, в работе

приведенная выше оценка обобщается для решения задачи Коши нелинейного уравнения дробной диффузии порядка α (0<α<1).

img

где r1=(m – 1 + 2α/N)-1, δ1= (2α r1)/N, C- несущественная постоянная.

Приведенные оценки имеют место при любом t >0. Ранее, аналогичные результаты для уравнений пористой среды (α=1) были получены в работах

,
,
. В монографии
дается подробный анализ аналогичных результатов для более общих дифференциальных уравнений. В частности в монографии приведены оценки, где в правой части таких неравенств вместо нормы от начальной функции фигурируют нормы от средних значений решений. Любая из приведенных выше оценок дает асимптотическое поведение решения при неограниченном росте времени.

Как известно

продолжение v(x,y,t)=E(u(x,t)) функцииu(x,t) (t- фиксировано) в область R+N+1 и оператор (-Δ)a связаны с помощью равенства

img
(3)

Следовательно, функции v(x,y,t)=E(u(x,t)) и u(x,t)=T_(r) (v(x,y,t)) на основании (1), (2), (3) и результатов работы

могут быть соединены в одной краевой задаче вида

img
(4)
img
(5)
img
(6)

где

Dv=(vx1, vx2 ,…, vxN, vy - градиент функции v.

В дальнейшем мы будем считать

img

где Tr(v) – это след функции v на RN, а E(u) продолжение функции u в область

img

Все приведенные равенства (1) – (6) мы понимаем в слабом (интегральном) смысле. В частности, граничное условие (5) эквивалентно дифференциальному уравнению (1).

Введем определения слабых решений задач (1), (2) и (4)-(6).

Определение 1. Пусть u0 ∈ L2 (RN),N≥1,и T>0. Неотрицательную функцию u=u(x,t) будем называть слабым решением задачи Коши (1), (2), если u(x,t)∈L2 ((0,T) ;L2 (RN )),и имеет место тождество

img
(7)

для любой функции φ(x,t)∈C01(RN×(0,T)).

Определение 2. Будем называть пару неотрицательных функция (u,v) слабым решением задачи (4)-(6), если v ∈ L2 ( [0,T);W2,s1(Ω) ), u=u(x,t)=Tr(v)∈ L2( (0,T);L2 (RN)), и имеет место тождество

img
(8)

Для любой функции img, где

img и

W2,s1(Ω) - весовое пространство Соболева с нормой

img

Замечание. Если функция u(x,t) является слабым решением задачи (1), (2) и v(x,y,y) продолжение функции u(x,t) в область Ω, то имеет место равенства (5) и (6). Умножая обе части равенства (4) на пробную функцию img, затем интегрируя по частям полученное равенство, с учетом равенств (5) и (6), мы приходим к интегральному тождеству (7). Следовательно, пара функций (u,v) является слабым решением задачи (4)-(6). Обратно, если пара функций (u,v), где u(x,t)=Tr(v(x,y,t)) , является слабым решением задачи (4)-(6), то на основании (5) и (6) имеют место соотношения (1) и (2),то есть u(x,t)- слабое решение задачи (1) и (2).

В дальнейшем мы будем предполагать, что решение задачи (4)-(6) существует.

2. Основной результат

Рассмотрим последовательности

img

где t>0 и 0<σ<1.

Пусть, далее img, гдеimg шар с центром в начале координат и радиусом img в imgimg- аналогичный шар в img.

Введем последовательность гладких срезающих функций ςn(x,y,t) в ΩnN+1, равные единице в Ωn+1N+1, и такие, что

img
(9)

здесь с некоторая константа, Dςn=gradςn.

Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть u=u(x,t)- слабое решение задачи (1), (2), принадлежащее пространству L2 ((0,T) ; L2 (RN)) при любом T>0, тогда имеют место оценки:

img

При всех t, удовлетворяющих условию

img

img

При всех t, удовлетворяющих условию

img

где С постоянная, зависящая от α и N.

Доказательство. Пусть v=v(x,y,t) - продолжение функции u=u(x,t) в область Ω. Тогда пара функций (u,v) удовлетворяет тождеству (8). Полагая в тождестве (8) φ=(v-kn)+∙ςn2, ςn(x,y,t) - срезающие функции, удовлетворяющие соотношениям (9), kn=k-k/2n , n=0,1,2,…, k – произвольное положительное число, и

img

После подстановки получаем равенство

img
(10)

Первое слагаемое левой части равенства (10) можно преобразовать следующим образом:

img
(11)

Так как

img

то отсюда получим

img

Следовательно, из (11) будем иметь

img
(12)

Для второго слагаемого равенства (10) имеем:

img
(13)

После несложных преобразований для третьего слагаемого можно получить оценку

img
(14)

Из (10) на основании (12), (13) и (14) получим соотношение

img
(15)

Из неравенства (5.5) в

следует, что

img
(16)

Так как при этом

img

то из (16) получим оценку

img
(17)

Далее, из интегрального представления Пуассона

для функции будем иметь оценку

img
(18)

Используя неравенства (9), (17) и (18), из (15) получим

img
(19)

Для интеграла img при imgимеем

img
(20)

Пусть ε>0 произвольно, тогда на основании (20)

img
(21)
img
(22)
img
(23)

Из (20) на основании (21), (22) и (23) получаем оценку

img
(24)

Перемножая неравенство (24) на img, и полагая ε = 2α/N2, затем переходя к пределу в полученном неравенстве при ρ → ∞, учитывая, что первое слагаемое в фигурных скобках стремится к нулю, получим оценку

img
(25)

где img.

Пусть

img

тогда из (25) будем иметь

img
(26)

Применим к неравенству (26) лемму 5.6 в

. Для этого подберем параметр k так, чтобы имело место соотношение

img
(27)

Согласно лемме 5.6 в

, если k удовлетворяет условию (27), то img.

Преобразуем правую часть неравенства (27).

img
(28)

Если правую часть неравенства (27) заменить на правую часть неравенства (28), то тем более будут выполняться условия упомянутой леммы, то есть при значениях k, удовлетворяющих неравенству

img
(29)

img, то есть

img

отсюда следует, что при значениях k, удовлетворяющих неравенству (29) имеет место оценка

img
(30)

Доказательство теоремы следует из неравенства (29) и (30). Теорема доказана.

3. Заключение

Из доказанной теоремы следует, что img, следовательно, существует такое t0≥ 0, что img, при всех t ≥ t0.

Тогда согласно теореме,

img,

и в этом случае поведение решения зависит от параметров задачи .

Пусть

img

Если при этом t1>0, то для всех t, удовлетворяющих условие 0 < t < t1, имеет место неравенство

img, и

следовательно, по теореме

img.

Отсюда видно, что поведение решения при малых значениях времени не зависит от параметров задачи. При t1 = 0 поведение решения при малых значениях времени зависит от начальной функции.

Таким образом, в работе найдены условия на параметры, которые гарантируют стремление к нулю решения в равномерной метрике при неограниченном возрастании времени. Другими словами, найдены условия при которых решение дифференциального уравнения является физическим решением.

Article metrics

Views:109
Downloads:0
Views
Total:
Views:109