An Evaluation of a Solution of the Cauchy Problem of the Nonlinear Fractional Diffusion Equation

Данная работа является продолжением работ

(1)

(2)

RN- N-мерное арифметическое пространство. Оператор (-Δ)a f(x) определяется в виде потенциала Рисса

CN-постоянная, зависящая от размерности N.

Дробно-дифференциальные уравнения вида (1) рассматривались при изучении турбулентного характера движения космических лучей. Дробная степень Лапласа при этом обеспечивает более быстрое по сравнению с нормальной диффузией расплывания диффузионного пакета.

Дробно-дифференциальная модель используется и в других задачах движения заряженных частиц в магнитных полях. Подобным уравнениям с нормальной диффузией и без источника посвящена монография

В работе

В работе

где r=m-1+1/N-1, m - порядок нелинейности дифференциального уравнения, f – начальная функция, N – размерность пространства.

Далее, в работе

где r1=(m – 1 + 2α/N)-1, δ1= (2α r1)/N, C- несущественная постоянная.

Приведенные оценки имеют место при любом t >0. Ранее, аналогичные результаты для уравнений пористой среды (α=1) были получены в работах

Как известно

(3)

Следовательно, функции v(x,y,t)=E(u(x,t)) и u(x,t)=T_(r) (v(x,y,t)) на основании (1), (2), (3) и результатов работы

(4)

(5)

(6)

где

Dv=(vx1, vx2 ,…, vxN, vy - градиент функции v.

В дальнейшем мы будем считать

где Tr(v) – это след функции v на RN, а E(u) – продолжение функции u в область

Все приведенные равенства (1) – (6) мы понимаем в слабом (интегральном) смысле. В частности, граничное условие (5) эквивалентно дифференциальному уравнению (1).

Введем определения слабых решений задач (1), (2) и (4)-(6).

Определение 1. Пусть u0 ∈ L2 (RN),N≥1,и T>0. Неотрицательную функцию u=u(x,t) будем называть слабым решением задачи Коши (1), (2), если u(x,t)∈L2 ((0,T) ;L2 (RN )),и имеет место тождество

(7)

для любой функции φ(x,t)∈C01(RN×(0,T)).

Определение 2. Будем называть пару неотрицательных функция (u,v) слабым решением задачи (4)-(6), если v ∈ L2 ( [0,T);W2,s1(Ω) ), u=u(x,t)=Tr(v)∈ L2( (0,T);L2 (RN)), и имеет место тождество

(8)

Для любой функции , где

и

W2,s1(Ω) - весовое пространство Соболева с нормой

Замечание. Если функция u(x,t) является слабым решением задачи (1), (2) и v(x,y,y) – продолжение функции u(x,t) в область Ω, то имеет место равенства (5) и (6). Умножая обе части равенства (4) на пробную функцию , затем интегрируя по частям полученное равенство, с учетом равенств (5) и (6), мы приходим к интегральному тождеству (7). Следовательно, пара функций (u,v) является слабым решением задачи (4)-(6). Обратно, если пара функций (u,v), где u(x,t)=Tr(v(x,y,t)) , является слабым решением задачи (4)-(6), то на основании (5) и (6) имеют место соотношения (1) и (2),то есть u(x,t)- слабое решение задачи (1) и (2).

В дальнейшем мы будем предполагать, что решение задачи (4)-(6) существует.

Рассмотрим последовательности

где t>0 и 0<σ<1.

Пусть, далее , где шар с центром в начале координат и радиусом в ,и - аналогичный шар в .

Введем последовательность гладких срезающих функций ςn(x,y,t) в ΩnN+1, равные единице в Ωn+1N+1, и такие, что

(9)

здесь с – некоторая константа, Dςn=gradςn.

Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть u=u(x,t)- слабое решение задачи (1), (2), принадлежащее пространству L2 ((0,T) ; L2 (RN)) при любом T>0, тогда имеют место оценки:

При всех t, удовлетворяющих условию

При всех t, удовлетворяющих условию

где С – постоянная, зависящая от α и N.

Доказательство. Пусть v=v(x,y,t) - продолжение функции u=u(x,t) в область Ω. Тогда пара функций (u,v) удовлетворяет тождеству (8). Полагая в тождестве (8) φ=(v-kn)+∙ςn2, ςn(x,y,t) - срезающие функции, удовлетворяющие соотношениям (9), kn=k-k/2n , n=0,1,2,…, k – произвольное положительное число, и

После подстановки получаем равенство

(10)

Первое слагаемое левой части равенства (10) можно преобразовать следующим образом:

(11)

Так как

то отсюда получим

Следовательно, из (11) будем иметь

(12)

Для второго слагаемого равенства (10) имеем:

(13)

После несложных преобразований для третьего слагаемого можно получить оценку

(14)

Из (10) на основании (12), (13) и (14) получим соотношение

(15)

Из неравенства (5.5) в

(16)

Так как при этом

то из (16) получим оценку

(17)

Далее, из интегрального представления Пуассона

(18)

Используя неравенства (9), (17) и (18), из (15) получим

(19)

Для интеграла при имеем

(20)

Пусть ε>0 произвольно, тогда на основании (20)

(21)

(22)

(23)

Из (20) на основании (21), (22) и (23) получаем оценку

(24)

Перемножая неравенство (24) на , и полагая ε = 2α/N2, затем переходя к пределу в полученном неравенстве при ρ → ∞, учитывая, что первое слагаемое в фигурных скобках стремится к нулю, получим оценку

(25)

где .

Пусть

тогда из (25) будем иметь

(26)

Применим к неравенству (26) лемму 5.6 в

(27)

Согласно лемме 5.6 в

Преобразуем правую часть неравенства (27).

(28)

Если правую часть неравенства (27) заменить на правую часть неравенства (28), то тем более будут выполняться условия упомянутой леммы, то есть при значениях k, удовлетворяющих неравенству

(29)

, то есть

отсюда следует, что при значениях k, удовлетворяющих неравенству (29) имеет место оценка

(30)

Доказательство теоремы следует из неравенства (29) и (30). Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что , следовательно, существует такое t0≥ 0, что , при всех t ≥ t0.

Тогда согласно теореме,

,

и в этом случае поведение решения зависит от параметров задачи .

Пусть

Если при этом t1>0, то для всех t, удовлетворяющих условие 0 < t < t1, имеет место неравенство

, и

следовательно, по теореме

.

Отсюда видно, что поведение решения при малых значениях времени не зависит от параметров задачи. При t1 = 0 поведение решения при малых значениях времени зависит от начальной функции.

Таким образом, в работе найдены условия на параметры, которые гарантируют стремление к нулю решения в равномерной метрике при неограниченном возрастании времени. Другими словами, найдены условия при которых решение дифференциального уравнения является физическим решением.