ON THE EFFECT OF NONLINEARITY TYPES ON THE RESULTS OF STUDYING THE SYNCHRONIZATION OF QUASI-HARMONIC OSCILLATOR VIA APPROXIMATE POINT MAPPING

О ВЛИЯНИИ ХАРАКТЕРА НЕЛИНЕЙНОСТИ НА РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СИНХРОНИЗАЦИИ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕННЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Научная статья

Антоновская О.Г.^1, *, Бесклубная А.В.²

¹ ORCID: 0000-0002-5688-7996;

^{1, 2} Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород, Россия

* Корреспондирующий автор (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Аннотация

В настоящее время вряд ли есть необходимость обосновывать важность колебательных процессов в современной физике и естествознании. Признанным средством исследования колебательных процессов в различных разделах физики и техники является аппарат теории дифференциальных уравнений. Естественно, наиболее доступными для исследования являются колебательные системы с малой нелинейностью. Причем до сих пор особый интерес представляет изучение систем, близких к гармоническому осциллятору (квазигармонический осциллятор). В настоящей работе исследуется возможность сведения задачи об исследовании синхронизации квазигармонического осциллятора к исследованию функций последования точечного отображения, при построении которого используется метод последовательных приближений, а также делается вывод о зависимости результатов исследования системы в целом от вида нелинейности.

Ключевые слова: фазовое пространство нелинейной колебательной системы, синхронизация, квазигармонический осциллятор, малый параметр, асимптотические методы исследования, метод точечных отображений.

ON THE EFFECT OF NONLINEARITY TYPES ON THE RESULTS OF STUDYING THE SYNCHRONIZATION OF QUASI-HARMONIC OSCILLATOR VIA APPROXIMATE POINT MAPPING

Research article

Antonovskaya O.G.^1, *, Besklubnaya A.V.²

¹ ORCID: 0000-0002-5688-7996;

^{1, 2} Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, Russia

* Corresponding author (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Abstract

At present, there is no particular need to justify the importance of oscillatory processes in modern physics and natural science. The apparatus of the theory of differential equations is a recognized tool for studying oscillatory processes in various branches of physics and engineering. Naturally, oscillatory systems with low nonlinearity are the most accessible for research and in so far, the study of systems close to the harmonic oscillator (quasi-harmonic oscillator) presents particular interest. The article explores the possibility of reducing the problem of studying the synchronization of a quasi-harmonic oscillator to the study of the Poincare functions of a point map, which is constructed using the method of successive approximation. The article concludes that the results of the study of the system as a whole depend on the type of nonlinearity.

Keywords: phase field of a nonlinear oscillating system, synchronization, quasi-harmonic oscillator, small parameter, asymptotic research methods, point mapping method.

Изучение нелинейной колебательной системы означает прежде всего разбиение ее фазового пространства на траектории всех возможных типов, а в пространстве параметров – выделение областей существования движений того или иного типа. Получение ответов на поставленные вопросы возможно, если известны функции, определяющие состояния системы и изменения этих состояний [1, С. 35]. Однако эти функции, которые и приходится изучать, как правило, определены с помощью дифференциальных уравнений, описывающих данную систему, и другого определения не имеют. Поэтому необходимо из самих дифференциальных уравнений извлекать информацию относительно характера и вида функций, этими уравнениями определяемых [1, С. 35].

Наиболее общее средство описания и достаточно эффективный математический аппарат исследования нелинейных колебательных систем дает метод точечных отображений, поскольку позволяет единообразно подходить к исследованию систем различной физической природы [2]. Возможность использования теории точечных отображений для изучения решений дифференциальных уравнений основана на сводимости изучения фазовых траекторий динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями, к рассмотрению точечных отображений, порождаемых этими фазовыми траекториями на секущих поверхностях [2, C. 184-187]. При этом практическое применение этого метода оказалось связанным с рядом трудностей, главная из которых – отыскание функций последования. Естественно, что построение точечных отображений не представляет затруднений, если известно общее решение рассматриваемых дифференциальных уравнений. В случае, когда получение такого общего решения невозможно, можно прибегнуть к тем или иным приближенным (в том числе и асимптотическим) методам [2, С. 205-210].

В настоящей работе исследуется возможность сведения задачи о синхронизации квазигармонического осциллятора к изучению вопроса о существовании неподвижных точек аналитически заданного точечного отображения, при построении которого используется метод последовательных приближений [3], [4], [5]. При этом делается вывод о влиянии характера нелинейности на результаты исследования поведения траекторий системы в целом методом приближенных точечных отображений.

Рассмотрим уравнение движения синхронизуемого осциллятора вида

      (1) в котором , а  - период внешней силы, или, если ввести , систему двух уравнений первого порядка     (2)

Величина параметра μ при заданной функции  определяет степень близости рассматриваемой системы к линейной консервативной системе (гармоническому осциллятору) [1, C. 479]. Относительно самой функции  обычно предполагается ее ограниченность и непрерывность для любого t (либо ограниченность и наличие только конечного числа точек разрыва). Задача состоит в нахождении условий существования у (2) периодического решения с периодом .

Следует отметить, что изучение систем, близких к гармоническому осциллятору (квазигармонический осциллятор) [1, С. 479–534], [6, С.19–21], до сих пор играет особую роль. Одним из важных достоинств таких систем является возможность использовать хорошо известные математические свойства процессов колебаний гармонического осциллятора с медленно меняющейся частотой в различного вида задачах [7], [8], [9]: от задач обработки сигналов [7] до изучения неравновесных экономических систем [9].

Исследование поведения траекторий синхронизуемого осциллятора (1), (2) может быть сведено к изучению точечного отображения T секущей поверхности  фазового пространства  в себя [3], [4], [5] (или секущей поверхности t=0 в секущую поверхность ), порожденного траекториями системы. Для получения функций последования отображения можно воспользоваться заменой переменных  типа Ван-дер-Поля [1, C. 481]

При этом   будут определяться дифференциальными уравнениями   а для отображения T точек  получим  

Заметим, что согласно [3], [5], [10], с точностью до величин порядка  выражения для ,  могут быть приближенно представлены формулами

       (3) где Соотношения (3)–(5), порождают приближенное точечное отображение     с функциями последования

Поскольку формулы (6)–(7) явные, изучение условий существования синхронного режима с периодом внешней силы может быть проведено с помощью изучения условий существования и устойчивости простой неподвижной точки  приближенного точечного отображения .

Особый интерес представляет изучение движений квазигармонического осциллятора вблизи главного резонанса (). В этом случае рассматриваются уравнения вида

      (8)

где  – нелинейная функция. В [1, С. 479-534] было отмечено, что применение асимптотических методов исследования квазилинейных дифференциальных уравнений при конечных, хотя и малых, значениях параметра μ возможно лишь для количественного их исследования, поскольку качественное поведение траекторий реальной системы и приближенной модели во всем фазовом пространстве могут отличаться друг от друга. Метод приближенных точечных отображений применялся для исследования уравнения (8) с различными нелинейностями [3], [5], [11]. При этом ключевым стал вопрос о том, является ли при этом бесконечность неустойчивой, как и в реальной системе (такая приближенная модель системы называлась невырожденной), или же она устойчива, и возможно лишь локальное применение результатов приближенного исследования (а модель была названа вырожденной).

Получение качественно различных ответов на вопрос о вырожденности - невырожденности математической модели в методе приближенных точечных отображений при исследовании синхронизации квазигармонического осциллятора с нелинейностями разного вида приводит к задаче о выделении классов нелинейностей, отвечающих случаям вырожденности и невырожденности приближенной математической модели.

Для системы общего вида

     (9)

приближенное точечное отображение  секущей поверхности t=0 фазового пространства x, y, t в секущую поверхность t=2π, приближающее точечное отображение T, порожденное траекториями (9), с точностью до членов порядка , имеет вид

 

где

Причем условием существования неподвижных точек  точечного отображения  является наличие решений  не зависящей от параметра μ системы уравнений

В дальнейшем будем предполагать, что неподвижная точка отображения  существует и устойчива [3], [5], [11].

Для исследования вопроса о вырожденности – невырожденности построенной приближенной математической модели используем метод функций Ляпунова, распространенный на случай дискретных систем [12], [13, С. 36-49], [14, С.145-172].

В качестве функции Ляпунова выберем функцию

      (12)

Первая разность функции Ляпунова (12) в силу формул точечного отображения (10)-(11) имеет вид

      (13) Таким образом, если       (14)

то определяющим членом (13) при  и знак  зависит от знака. Заметим, что , если .

То есть при больших значениях  итерации отображения входят внутрь сечений функции Ляпунова , с которых начинают движение, и бесконечность неустойчива. Но , если , т.е. в этом случае итерации точечного отображения переходят на внешние по отношению к начальному сечения  для этих сечений, и бесконечность устойчива даже в случае существования устойчивой неподвижной точки отображения. Таким образом, можно сделать вывод о том, что область , пространства параметров является областью невырожденности приближенной модели в этом случае. Если же имеет место соотношение

     (15)

то определяющим членом (13) при  при больших  вне зависимости от величины параметров системы, что означает устойчивость бесконечности, и вырожденность приближенной модели.

Примеры

1. Рассмотрим уравнение синхронизуемого синтезатора (8) с нелинейностью вида  [3]. В этом случае

то есть  и имеет место соотношение (14). Но это значит, что  при , при больших значениях  итерации отображения входят внутрь сечений функции Ляпунова , с которых начинают движение, и бесконечность неустойчива. А это означает невырожденность приближенной модели при .

Аналогичные выводы можно сделать относительно математической модели работы [5].

2. Рассмотрим уравнение (8) с нелинейностью вида кубической параболы [4]. В этом случае

  то есть  и имеет место соотношение (15), что означает вырожденность математической модели. Если         (16)

то для определения знака  необходимо включить в рассмотрение все члены, не содержащие A, что требует дополнительного исследования в каждом конкретном случае. То же относится и к случаю, когда стоящий в левой части (14)-(16) предел не существует.

Рассмотрим два наиболее распространенных случая приближенных точечных отображений, построенных для систем вида (9) [3], [11], [17].

1. Одним из распространенных случаев является случай, когда  и точечное отображение (10)-(11) имеет вид

В этом случае  (13) есть

Заметим, что неравенство  можно рассматривать как квадратное неравенство относительно , а именно

     (17)

Для дискриминанта соответствующего квадратного уравнения имеем выражение

    (18)

В случае D>0 существуют решения  соответствующего (17) квадратного уравнения, и , как только

Поскольку для решения вопроса о неустойчивости бесконечности необходимо и достаточно выполнения оценки вида (17) для всех значений , это, в свою очередь, означает, что дискриминант (18) должен быть положительным (т.е. коэффициент перед определяющим членом  в (18) должен быть больше нуля и ). Заметим, что если обозначить через , то

при любом значении   как только . Т.е. при  оценка вида (19) есть а значит, поскольку , то Или

То есть функция  должна быть предельно ограниченной. В этом случае приближенная модель является невырожденной. В противном случае она вырожденная.

Таким образом, уже по внешнему виду нелинейности можно сделать вывод об устойчивости либо неустойчивости бесконечности в приближенной модели. Так, в случае полиномиальной нелинейности бесконечность в приближенной модели будет устойчивой (т.е. модель может быть только условно невырожденной, если у нее может существовать устойчивое притягивающее множество в конечной части фазовой плоскости, причем область его притяжения всегда является ограниченной). Если же нелинейность является функцией ограниченной по  то областью невырожденности модели является множество , при этом в конечной части фазового пространства приближенной модели существует притягивающее множество, областью притяжения которого является все фазовое пространство. При  приближенная модель является вырожденной.

Пример

Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля [3], т.е. уравнение вида (8) с нелинейностью . Это уравнение относится к рассмотренному случаю с . Таким образом, в случае уравнения Ван-дер-Поля бесконечность в приближенной модели является устойчивой, что означает вырожденность приближенной модели.

2. Вторым из наиболее распространенных случаев является случай, когда  и точечное отображение (10)-(11) имеет вид

В этом случае  (13) есть

Заметим, что неравенство  можно рассматривать как квадратное неравенство относительно , а именно

     (20)

Рассуждая, как в предыдущем случае, получим, что бесконечность в приближенной модели будет неустойчива только если  и

То есть функция  является предельно ограниченной. В этом случае приближенная модель является невырожденной. В противном случае она вырожденная.

Пример

Рассмотрим уравнение Дуффинга [16], [17], т.е. уравнение вида (8) с нелинейностью . Это уравнение относится к рассмотренному случаю с . Таким образом, в случае уравнения Дуффинга бесконечность в приближенной модели является устойчивой, что означает вырожденность приближенной модели.

Полученные результаты полностью подтверждаются результатами исследования поведения траекторий приближенных точечных отображений, построенных для систем вида (9) с различными нелинейностями в удаленных частях плоскости [16].

Существенное различие результатов качественного исследования, полученных асимптотическими методами и качественно-численного исследования исходных систем при одном и том же значении малого параметра, определяет необходимость развития численных и каких-либо качественных методов построения границ области применимости результатов приближенного исследования колебательных систем при заданном малом, но конечном μ [2, С. 210-218], [17].

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. – М.: Наука, 1981. – 568 с.
2. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. / Ю. И. Неймарк. – М.: Наука, 1972. – 472 с.
3. Антоновская О. Г. О влиянии насыщения нелинейности на результаты исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 1999. – № 2(21). – С. 198–208.
4. Антоновская О. Г. Об одном случае исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская, М. Н. Зайцева // Международный научно-исследовательский журнал. – 2018. – № 8(74). – С. 7–14.
5. Антоновская О.Г. К исследованию квазигармонического осциллятора с нелинейностью, обладающей насыщением / О. Г. Антоновская, А. В. Бесклубная // Международный научно-исследовательский журнал. – 2020. – № 2(92). – С. 10 –18.
6. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. – М.: Наука, 1974. – 504 с.
7. Журавлев В. М. Построение огибающей и локальной частоты стохастического процесса на основе модели осциллятора с флуктуирующей частотой / В. М. Журавлев, П. П. Миронов, С. В. Летуновский // Изв. вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. –№3(27). – С. 159–169.
8. Ахмерова Э. Ф. Асимптотика спектра гармонического осциллятора, возмущенного негладким потенциалом / Э. Ф. Ахмерова // Изв. вузов. Математика. – 2007. – № 11 (546), – С. 71-74.
9. Ивинская Е. Ю. Теоретические аспекты исследования неравновесных экономических систем на основе модели гармонического осциллятора / Е. Ю. Ивинская // Теория и практика общественного развития. Экономические науки. – № 21. – 2015. – С. 57-59.
10. Антоновская О. Г. Метод последовательных приближений в оценке близости приближенного и точного точечных отображений при учете неизохронности процессов в динамике систем ИФАПЧ / О. Г. Антоновская // Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 2013. – № 5(1). – С. 210–212.
11. Антоновская О. Г. Об изложении приложений метода точечных отображений в учебном процессе / О. Г. Антоновская, А. В. Бесклубная // Тенденции развития науки и образования. – 2019. – № 49. – Ч. 1. – С. 12–17.
12. Неймарк Ю. И. Метод точечных преобразований в теории нелинейных колебаний II / Ю. И. Неймарк // Изв. вузов: Радиофизика. – 1958. – Т. 1. – № 2. – С. 95-117.
13. Бромберг П. В. Устойчивость и автоколебания импульсных систем регулирования / П. В. Бромберг. – М: Оборонгиз, 1953. – 224 с.
14. Кунцевич В. М. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. / В. М. Кунцевич, Ю. Н. Чеховой. – Киев: Техника, 1970. – 340 с.
15. Косякин А. А. Колебания в цифровых автоматических системах. / А. А. Косякин, Б. М. Шамриков. – М.: Наука, 1983. – 336 с.
16. Антоновская О. Г. К исследованию поведения траекторий точечных отображений плоскости в плоскость в удаленных частях фазовой плоскости / О. Г. Антоновская, В. И. Горюнов // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. – 2002. – № 1(25). – С. 68–75.
17. Антоновская О. Г. О достоверности результатов исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений / О. Г. Антоновская // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2001. Вып.1(23). С.243-254.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Andronov A. A. Teoriya kolebaniy [Vibrations theory] / A. A. Andronov, A. A. Vitt, S. Yu. Haykin. – M.: Fizmatgiz, 1959. – 916 p. [in Russian]
2. Neymark Yu. I. Metod tochechnykh otobrazheniy v teriyi nelineynykh kolebaniy [Point mappings method in non-linear vibrations theory] / Yu. I. Neymark. – M.: Nauka, 1972. – 472 p. [in Russian]
3. Antonovskaya O. G. O vliyanii nasysheniya nelineynosti na resultaty issledovaniya prinuditelnoy sinkhronizatsii metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [On the influence of nonlinearity saturation on the results of the forced synchronization received by means of approximate point mappings method] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoye modelirovaniye I optimalnoye upravleniye. Vestnik NNGU [Mathematical modeling and optimal control. NNGU bulletin], Nizhny Novgorod. – 1999. – № 2(21). – P. 198–208. [in Russian]
4. Antonovskaya O. G. Ob odnom sluchae issledovaniya prinuditelnoy sinhronizatsii metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [Investigation of forced synchronization by the method of approximate point mappings] / O. G. Antonovskaya, M. N. Zaytseva // International research journal – 2018. – № 8(74). – P. 7–14. [in Russian]
5. Antonovskaya O. G. K issledovaniyu kvazigarmonicheskogo oscilliatora s nelineynost’u, obladayushey nasysheniyem [On study of quasiharmonic oscillator with nonlinearity and saturation] / O. G. Antonovskaya, A. V. Besklubnaya // International research journal – 2020. – № 2 (92). – P. 10–18. [in Russian]
6. Bogolyubov N. N. Asimptotichesiye metody v teorii nelineynyh kolebaniy [Asymptotic methods in nonlinear vibrations theory] / N. N. Bogolyubov, A. Yu. Mitropolskiy – M.: Nauka, 1974. – 504 p. [in Russian]
7. Zhuravlev V. M. Postroeniye ogibayushey b lokalnoy chastity stohasticheskogo protsessa na osnove modeli ossillyatora c fluktuiruyushey chastoty [The construction of envelope and local frequency of stochastic processon the base of oscillator with fluctuating frequency] / V. M. Zhuravlev, P. P. Mironov, S. V. Letunovskiy // Izv. Vuzov. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. [Higher educational proceedings of Povolzhsky region. Physical and mathematical sciences] – 2013. – № 3(27) – P. 159–169. [in Russian]
8. Akhmerova E. F. Asymptotika spektra garmonitcheskogo oscillatora, vozmushennogo negladkim potentsialom [Asymptotic of spectrum of quasi-harmonic oscillator under perturbation of non-smooth potential] / E. F. Akhmerova // Izv. Vuzov. Matematika [Proceedings of higher institutions. Mathematics] – 2007. – № 11 (546), – P. 71-74. [in Russian]
9. Ivinskaya E. Yu. Teoreticheskiye aspekty issledovaniya neravnovesnykh ekonomicheskikh system na osnove modeli garmonicheskogo oscillyatora [Teortical aspects of studying non-equlibrium economic systems based on the model of harmonic oscillator] / E. Yu. Ivinskaya // Teoriya I praktika obshestvennogo razvitiya. Ekonomicheskiye nauki [Theory and practice of public development. Economic sciences] – 2015. – № 21 – P. 57–59. [in Russian]
10. Antonovskaya O. G. Metod posledovatel’nykh priblizheniy v otsenke blizosti priblizhennogo I tochnogo tochechnykh otobrazheniy pri uchete neizokhronnosti protsessov v dinamike sistemy IFAPCH [Successive approximation technique in proximity evaluation for exact and approximate point mappings, taking into account non-isochronism in pulsed phase-locked loop system dynamics] / O. G. Antonovskaya // Vestnik NNGU [NNGU bulletin], Nizhny Novgorod. – 2013. – № 5(1). – P. 210–212. [in Russian]
11. Antonovskaya O. G. Ob izlozhenii prilozheniy metoda tochechnykh otobrazheniy v uchebnom protsesse [On giving in account of applications of point mappings method in teaching process] / O. G. Antonovskaya, A. V. Besklunaya // Tendentsii razvitiya nauki I obrazovaniya [Tendencies of science and education development] – 2019. – № 49. – Part 1. – P. 12–17. [in Russian]
12. Neymark Yu. I. Metod tochechnykh preobrazovaniy v teriyi nelineynykh kolebaniy II [Point mappings method in non-linear vibrations theory. II] / Yu. I. Neymark // Izv. Vuzov. Radiofizika. [Proceedings of higher institutions. Radio-physics] – 1958. – V. 1. – № 2. – P. 95-117. [in Russian]
13. Bromberg P. V. Ustoytchivost i avtokolebaniya impulsnykh system regulirovaniya [Stability and auto-vibrations of pulsed regulation systems / P. V. Bromberg. – Moscow: Oborongiz, 1953. – 224 p. [in Russian]
14. Kuntsevich V. M. Nelineynye sistemy upravleniya s chastotno- I shirotno-impul’snoy modulyatsiey / V. M. Kuntsevich, Yu. N. Chekhovoy – Kiev: Teknika, 1970. – 340 p.
15. Kosyakin A. A. Rjlebaniya v tsifrovykh avtomaticheskikh sistemakh [Vibrations in digital automatic systems] / A. A. Kosyakin, B. M. Shamrikov. – M.: Nauka, 1983. – 336 p. [in Russian]
16. Antonovskaya O. G. K issledovaniyu povedeniya traektoriy tochechnogo otobrazheniya ploskosti v ploskost v udalennykh tchast’ah ploskosti [On the investigation of trajectory behavior of plane point mapping in remote phase plane parts / O. G. Antonovskaya, V. I. Goryunov // Matematicheskoye modelirovaniye I optimalnoye upravleniye. Vestnik NNGU [Mathematical modeling and optimal control. NNGU bulletin] , Nizhny Novgorod. – 2002. – № 1(25). – P. 68–75. [in Russian]
17. Antonovskaya O. G. O dostovernosti resultatov issledovaniya prinuditel’noy sinchronizatsii metodom priblizhennykh tochechnykh otobrazheniy [On the reliability of the results of investigation of the forced synchronization received by means of approximate point mappings method] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoye modelirovaniye I optimalnoye upravleniye. Vestnik NNGU [Mathematical modeling and optimal control. NNGU bulletin], Nizhny Novgorod. – 2001. – № 1(23). – P. 243–254. [in Russian]