О ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВОЙ ПОДГОТОВКЕ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

Жмурова И.Ю.

ORCID: 0000-0002-2173-9491, доцент, кандидат педагогических наук, Южный федеральный университет

О ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВОЙ ПОДГОТОВКЕ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

Аннотация

В статье обсуждаются вопросы совершенствования профессиональной подготовки будущего учителя математики в области теории чисел. Описана модель теоретико-числовой подготовки бакалавра педагогического образования, разработанная в Южном федеральном университете, реализующая многочисленные интеграционные связи теории чисел. Рассмотрены: инвариантный модуль, состоящий из курса теории чисел, вариативный модуль, включающий дисциплины по выбору, индивидуальный модуль, предусматривающий научно-исследовательскую работу студентов в теории чисел.

Ключевые слова: профессиональная подготовка, интеграционные связи, педагогико-математическое образование, теория чисел.

Zhmurova I.Y.

ORCID: 0000-0002-2173-9491, Associate professor, PhD in Pedagogy, Southern Federal University

ON THEORETIC-NUMERICAL PREPARATION OF A FUTURE TEACHER OF MATHEMATICS

 Abstract

The article discusses the question of improving the professional preparation of future mathematics teachers in the field of a theory of numbers. The paper describes the model of number-theoretical training of the bachelor of pedagogical education, developed at the Southern Federal University, realizing numerous integration connections of a theory of numbers. We considered an invariant module consisting of a course in the theory of numbers, a variation module including elective disciplines, an individual module that provides research work for students in a theory of numbers.

Keywords: vocational training, integration ties, pedagogical and mathematical education, theory of numbers.

Последние десятилетия система образования Российской Федерации находится в стадии реформирования. Определяются новые подходы к целям, формам, методам, содержанию образования, создаются Федеральные государственные образовательные стандарты. Изменения в педагогической системе в целом обусловливают преобразования как школьного математического, так и высшего педагогико-математического образования.

Одной из последних тенденций школьного математического образования является усиление теоретико-числовой подготовки обучающихся. Безусловно, числовая линия всегда была одной из основных содержательно-методических линий отечественного математического образования, но, как правило, теоретико-числовые задачи изучались лишь в пропедевтическом курсе математики 5–6 классов. В последние же годы теоретико-числовые задачи являются неизменными компонентами содержания контрольно-измерительных материалов ОГЭ и ЕГЭ (как профильного, так и базового уровней), математических олимпиад школьников, дополнительных вступительных испытаний в топовые вузы.

Тем не менее, результаты государственной итоговой аттестации выпускников 9-х и 11-х классов свидетельствуют о низком уровне сформированности навыков решения теоретико-числовых задач. С задачей № 19 базового уровня ЕГЭ по математике справились менее 50% выпускников, профильного – менее 40% [10]. Почему же задачи, решение которых требует небольшого по объему математического аппарата, вызывают такие сложности у учащихся?

Безусловно, такие результаты являются следствием недостаточного внимания к обучению школьников задач по теории чисел. На наш взгляд, это объясняется следующими факторами.

Во-первых, элементарная теория делимости изучается в 5–6 классах в преддверии темы «Рациональные числа». Нахождение НОД и НОК натуральных чисел, каноническое представление натурального числа, признаки делимости требуются, как правило, лишь для нахождения общего знаменателя рациональных дробей. Нестандартные, занимательные, логические задачи по теории чисел в учебниках встречаются редко, учителями на уроках используются лишь в качестве дополнительного материала, бессистемно, или не используются вообще. В курсах же алгебры 7–9 классов, алгебры и начал математического анализа эти вопросы практически не рассматриваются.

Во-вторых, современная методика обучения учащихся решению теоретико-числовых задач, в том числе и нестандартных,  разработана недостаточно. Практически отсутствуют современные учебно-методические пособия для старших школьников, ориентированные на формирование навыков решения теоретико-числовых задач. Появившиеся в последнее время разнообразные учебные пособия для подготовки к ЕГЭ зачастую содержат эклектичный, плохо структурированный набор одних и тех же задач с решениями, но ни методов решения, ни классификации задач в них не имеется.

В-третьих, по нашему мнению, недостаточной является и теоретико-числовая подготовка будущих учителей математики. Стандартный курс теории чисел для бакалавров педагогического образования по профилю «Математика», как правило, включает вопросы теории делимости, цепных дробей и теории сравнений. Но знания этих вопросов недостаточно для того, чтобы качественно обучать школьников решению сложных теоретико-числовых задач. Необходим успешный опыт использования таких задач в педагогико-математической практике, разработка проектных и исследовательских заданий по элементарной теории чисел, создание элективных и факультативных курсов.

Таким образом, имеются противоречия между повышением роли теории чисел в современной математике и математическом образовании и недостаточностью теоретико-числовой подготовки старших школьников и учителей математики, а также между потребностью в современных учебных пособиях для учителей и школьников, осуществляющих систематическую теоретико-числовую подготовку в старших классах и скудной обеспеченностью такой литературой.

Для разрешения подобных противоречий необходима целенаправленная математическая и методическая подготовка будущего учителя математики в области теории чисел, обязательно  требующая осуществление преемственности как между математическими и методическими дисциплинами, так и между учебной деятельностью студента и профессиональной деятельностью учителя математики.

По мнению Н.Г. Ованесова [7. С. 35], основными задачами высшего педагогико-математического образования являются задачи формирования научного мировоззрения, развития навыков формально логического и абстрактного мышления, повышения математической и теоретико-методической культуры будущих учителей. Решению таких задач способствует систематическое укрепление интеграционных связей между математическим и методическим блоками дисциплин [8. С. 66]. Для этого необходимо не только использовать внутренние возможности специальных дисциплин в осуществлении интеграционных связей, но и вводить новые курсы, специально ориентированные на укрепление интерблоковых и интерцикловых связей [6].

Опишем модель теоретико-числовой подготовки учителя математики реализующуюся в Южном федеральном университете. Она содержит три модуля. Первый модуль – инвариантный – представляет собой общий курс теории чисел. В его содержание входят такие разделы, как элементы теории делимости в кольце целых чисел, теория цепных дробей, определение, примеры и свойства мультипликативных функция, теория сравнений и ее приложения.

Второй модуль – вариативный – включает в себя различные дисциплины по выбору в области теории чисел, например: «Специальные натуральные числа», «Теоретико-числовая составляющая единого государственного экзамена по математике», «Теоретико-числовые олимпиадные задачи», «Целочисленная арифметика» и другие. Целью этих курсов является рассмотрение взаимосвязей теории чисел с другими областями человеческой деятельности – наукой, техникой, образованием и искусством.

При этом, при функционировании первого модуля максимально выявляются возможности для осуществления преимущественно внутренних и ближних интеграционных связей, таких как интродисциплинарные связи самой теории чисел, интердисциплинарные связи теории чисел с элементарной математикой и алгеброй. Что касается второго модуля (дисциплины по выбору), то его функции направлены, в основном, на реализацию дальних и сверхдальних интерцикловых связей с информатикой и методикой обучения математике, интерблоковых связей с педагогикой, историей, искусствоведением при сохранении общего стержня – идей и методов теории чисел.

Наконец, третий модуль – также вариативный – носит индивидуальный характер, предусматривая индивидуальную работу со студентами. Это выполнение ими курсовых и квалификационных работ по теории чисел и методике ее преподавания, выполнение научно-исследовательских проектов, работа научно-образовательного кружка, подготовка докладов на научно-практическую конференцию и пр. [5]

Перечислим некоторые темы научно-исследовательских проектов, разработанных студентами Южного федерального университета в последние годы: «Сельский учитель С.А. Рачинский и его приемы устного счета», «Формирование вычислительных навыков на уроках математики», «Быстрая математика: изучение приемов устного счета», «Обзор теоретико-числовых задач Единого государственного экзамена и Всероссийских олимпиад школьников» и многие другие [4].

Рассмотрение большого количества задач в основном курсе теории чисел и, особенно, в курсах по выбору, позволяют студенту составить свой собственный банк задач, которые могут в дальнейшем использоваться им в его профессиональной деятельности. Конструирование задач – одно из эффективных средств повышения уровня профессиональной компетентности студента педагогического вуза [9]. Многие методы теории чисел достаточно просты – при ее изучении не используются основные понятия дифференциального и интегрального исчисления, т.е. понятия классической высшей (континуальной) математики), и, следовательно, некоторые задачи, решаемые в аудитории, могут быть рассмотрены в профильной и основной школе – как на занятиях математических кружков и факультативов, так и непосредственно на уроках. Составление подобных задач могут быть темами курсовых работ по теории чисел.

Разнообразна и тематика выпускных квалификационных работ по теории чисел и методике ее преподавания. Так, например, при подготовке выпускной квалификационной работы были разработаны такие элективные курсы для учащихся, как «Диофантовы уравнения и методы их решения» [2], «Специальные числа натурального ряда» [3] и другие. Интересными в этом плане являются и темы, интегрирующие методы теории чисел и дискретной математики, подробно описанные в работе [1].

Реализация интеграционных связей теории чисел позволяет осуществить преемственность между дисциплинами математического и методического цикла. Практически все разделы курса теории чисел могут быть построены таким образом, что соответствующие школьные факультативные или элективные курсы органически войдут в него начальной составной частью. Тем самым осуществляется преемственность между учебной деятельностью студента и профессиональной деятельностью учителя математики, что, несомненно, способствует повышению эффективности профессиональной подготовки будущего учителя математики в области теории чисел.

Список литературы / References

1. Деза Е.И. Содержание выпускных квалификационных работ бакалавров и магистров педагогического образования // Педагогическое образование и наука. – 2015. – №1. – С. 80-83.
2. Жмурова И. Ю., Ленивова А. В. Диофантовы уравнения: от древности до наших дней // Молодой ученый. — 2014. – №9. – С. 1-5.
3. Жмурова И.Ю., Солдатова Е.В. Элективный курс «Некоторые специальные числа натурального ряда» как одно из средств предпрофильной подготовки выпускников основной школы» // Молодой ученый. – 2015. – №16. – С. 5-7.
4. Жмурова И.Ю. Опыт использования проектной деятельности в профессиональной подготовке учителя математики //Уральский научный вестник. Т. 7. № -1. С. 34-38.
5. Жмурова И.Ю. Научно-исследовательский проект в профессиональной подготовке учителя математики // Международный научно-исследовательский журнал. 2016. № 8(50), ч.5. С. 20-23
6. Жмурова И.Ю. Технология интеграции в обучении алгебре и теории чисел бакалавра педагогического образования [Текст] // Проблемы и перспективы развития образования: материалы Междунар. науч. конф. (г. Пермь, апрель 2011 г.).Т. II. — Пермь: Меркурий, 2011. — С. 75-77.
7. Ованесов Н.Г. Педагогика математики высшей школы (подготовка учителя): Монография. – Астрахань: Изд–во Астраханского гос. ун–та, 2003.
8. Полякова Т.С., Жмурова И.Ю., Лялина Е.В. Интеграционные связи и их оценка учителями математики и бакалаврами педагогико-математического образования. //Методический поиск: проблемы и решения. № 1 (18). С. 66-72
9. Хамов Г.Г., Тимофеева Л.Н. О совершенствовании профессиональной подготовки будущего учителя математики //Международный научно-исследовательский журнал. 2016, № 1 (43), ч.4. С. 57-60
10. Ященко И. В., Семенов А. В., Высоцкий И. Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2016 года по математике [Электронный ресурс] http://www.fipi.ru/ege-i-gve-11/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy (дата обращения: 28.07.2017).

Список литературы на английском языке / References in English

1. Deza E.I. Sodeud Soderzhanie vypusknyh kvalifikacionnyh rabot bakalavrov i magistrov pedagogicheskogo obrazovanija [The content of final qualifying works of bachelors and masters of pedagogical education] // Pedagogicheskoe obrazovanie i nauka [Pedagogical education and science]. – 2015. – №1. – P. 80-83. [in Russian].
2. Zhmurova I. Ju., Lenivova A. V. Diofantovy uravnenija: ot drevnosti do nashih dnej [Diophantine equations: from antiquity to the present day] // Molodoj uchenyj [Young scientist]. – 2014. – №9. – P. 1-5. [in Russian].
3. Zhmurova I.Ju., Soldatova E.V. Jelektivnyj kurs «Nekotorye special'nye chisla natural'nogo rjada» kak odno iz sredstv predprofil'noj podgotovki vypusknikov osnovnoj shkoly» [Elective course "Some special natural numbers" as a means of preprofile training of students"] // Molodoj uchenyj [Young scientist]. – 2015. – №16. – P. 5-7. [in Russian].
4. Zhmurova I.Ju. Opyt ispol'zovanija proektnoj dejatel'nosti v professional'noj podgotovke uchitelja matematiki [Experience in the use of project activities in the professional preparation of teachers of mathematics] //Ural'skij nauchnyj vestnik [Ural scientific Bulletin]. – 2016. T. 7. № -1. P. 34-38. [in Russian]
5. Zhmurova I.Ju. Nauchno-issledovatel'skij proekt v professional'noj podgotovke uchitelja matematiki [Research project in the professional training of teachers of mathematics] // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal [International research journal]. – 2016. № 8(50), p.5. P. 20-23 [in Russian]
6. Zhmurova I.Ju. Tehnologija integracii v obuchenii algebre i teorii chisel bakalavra pedagogicheskogo obrazovanija [Technology integration in teaching algebra and number theory bachelor of pedagogical education] // Problemy i perspektivy razvitija obrazovanija: materialy Mezhdunar. nauch. konf. (g. Perm', aprel' 2011 g.).T. II. [Problems and prospects of education development: materials of Intern. scientific. Conf. (Perm, April 2011).T. II]. – Perm': Merkurij, 2011. – P. 75-77. [in Russian].
7. Ovanesov N.G. Pedagogika matematiki vyshej shkoky (podgotovka uchitelya) [Pedagogy of mathematics, higher school (teacher training)]. – Astrakhan: Publishing house of the Astrakhan state University, 2003. [in Russian]
8. Poljakova T.S., Zhmurova I.Ju., Ljalina E.V. Integracionnye svjazi i ih ocenka uchiteljami matematiki i bakalavrami pedagogiko-matematicheskogo obrazovanija [Integration of communication and their evaluation by teachers of mathematics and a bachelors of pedagogical and mathematical education]. //Metodicheskij poisk: problemy i reshenija [Methodological search: problems and solutions]. 2015. № 1 (18).P. 66-72. [in Russian]
9. Khamov G.G., Timofeeva L.N. O sovershenstvovanii professional'noj podgotovki budushhego uchitelja matematiki [About improvement of professional training of future teacher of mathematics]//Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal [International Research Journal]. 2016, № 1 (43), p.4. P. 57-60. [in Russian].
10. Jashhenko I. V., Semenov A. V., Vysockij I. R. Metodicheskie rekomendacii dlja uchitelej, podgotovlennye na osnove analiza tipichnyh oshibok uchastnikov EGJe 20165 goda po matematike [Methodical recommendations for teachers, based on the analysis of typical errors of students of 2016 mathematics] [Electronic resource] / http://www.fipi.ru/ege-i-gve-11/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy (accessed:28.07.2017). [in Russian]