КОЭФФИЦИЕНТЫ ТУННЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ ТРЕУГОЛЬНОЙ И СТУПЕНЧАТОЙ ФОРМЫ

Жевняк О.Г.

кандидат физико-математических наук, доцент, Белорусский государственный университет

КОЭФФИЦИЕНТЫ ТУННЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ ТРЕУГОЛЬНОЙ И СТУПЕНЧАТОЙ ФОРМЫ

Аннотация

В настоящей работе получены аналитические выражения для коэффициента туннельного прохождения электронов через потенциальные барьеры с вершинами ступенчатого вида, а также треугольной формы. С их помощью рассчитаны зависимости величины этого коэффициента от энергии туннелирующих электронов, и проведен сравнительный анализ данных зависимостей для барьеров с двумя значениями толщины и высоты. Установлено, что для барьеров с разным срезом вершины для рассматриваемых случаев эти зависимости практически совпали.

Ключевые слова: Потенциальный барьер, коэффициент туннелирования, ячейка флеш-памяти.

Zhevnyak О.G.

PhD in physics and mathematics, associate professor, Belarussian State University

COEFFICIENTS OF ELECTRON TUNNELING THROUGH BARRIERS WITH TRIANGULAR AND STEP STRUCTURES

Abstract

In present paper analytical equations of coefficient of electron tunneling through potential barriers with triangular and step structures are obtained. Using these equations the dependencies of tunneling coefficients on electron energy are calculated. By comparison of obtained dependencies it is defined that for barriers with different top the tunneling coefficients fall in actually.

Keywords: Potential barrier, coefficient of tunneling, flesh-memory cell.

Стремительный прогресс, достигнутый во флеш-технологиях, ставит перед исследователями ряд специфических задач в изучении процесса туннелирования электронов через потенциальные барьеры различной формы, которые составляют основную структуру элементов флеш-памяти (см., например, [1]). Обычно эти барьеры имеют прямоугольную форму с вершиной различного среза – ступенчатого или, чаще всего, треугольного вида. Теория туннелирования электронов через потенциальные барьеры хорошо разработана, но для некоторых случаев она крайне сложна [2; 3]. В частности, для барьеров треугольной формы из-за специфического вида волновой функции электронов внутри барьеров коэффициент туннелирования через них описывается с помощью функций Эйри (см., например, [4, с. 264–270]). Так как данная функция представляет собой бесконечные ряды, содержащие многочисленные коэффициенты, она крайне неудобна для вычислений и анализа физических особенностей процесса туннелирования через барьеры треугольной формы. В этой связи получение физически прозрачной и относительно простой формулы, описывающей туннелирование электронов через потенциальные барьеры с вершинами различного среза, является весьма актуальной и важной задачей.

Целью настоящей работы является вывод удобных для компьютерных вычислений аналитических формул коэффициента туннельного прохождения электронов через прямоугольные потенциальные барьеры с вершинами ступенчатого и треугольного среза различной ориентации, а также проведение сравнительного анализа процессов туннелирования электронов через такие барьеры. Условие надбарьерного переноса в настоящей статье рассматриваться не будет.

На рис. 1 приведены энергетические диаграммы четырех потенциальных барьеров прямоугольного типа, туннелирование через которые будут рассмотрено в настоящей статье.

Рис. 1 - Исследуемые потенциальные барьеры

Получим аналитические выражения для расчета коэффициента прохождения для рассматриваемых барьеров. Следует учесть, что процесс туннелирования через любой потенциальный барьер определяется условием непрерывности волновых функций электрона и их первых производных в областях как перед барьером ψ_I и после него ψ_III, так и внутри самого барьера ψ_II. Это условие обычно можно записать в виде

Волновая функция электрона перед барьером ψ_I состоит из падающей и отраженной волны и записывается как  (см., например, [2, с. 102–108]), где волновой вектор электрона k связан с энергией электрона E­ посредством соотношения . Волновая функция электрона после барьера состоит только из прошедшей волны и может быть записана как . Коэффициент прохождения (туннелирования) электрона через потенциальный барьер легко рассчитывается (см., например, [2, с. 102–108]) с помощью следующего выражения

Что же касается волновой функции электрона внутри барьера ψ_II, то она может быть найдена только с помощью решения уравнения Шредингера.

Для барьеров случаев 1 и 2 волновую функцию внутри барьера необходимо разбить на две самостоятельные функции ψ_II1 и ψ_II2  для каждой из частей барьера со своей высотой и шириной – U₁ , W₁  и U₂ , W₂. Для них условия (1) – (2) перепишутся следующим образом

Так как части барьера в целом прямоугольные и прохождение над барьерами не рассматривается, то волновые функции в них ψ_II1 и ψ_II2  можно искать в следующем виде: для барьера случая 2  при любых условиях, а  при E<U₂ и  при E>U₂ и для барьера случая 3  при E<U₂ и  при E>U₂, а  при обоих условиях. В этих выражениях

Подставив эти решения в системы (4) – (6), можно найти коэффициенты  A₃ и A₁, а подставив их в (3), получим выражения для коэффициента туннелирования. Общий их вид оказался одинаковым для обоих барьеров случаев 1 и 2 и может быть записан согласно следующему соотношению

Однако в этом соотношении коэффициенты   и  для E<U₂ и E>U₂ различаются, при чем для каждого из барьеров они отличаются только перестановкой отдельных параметров.

При E<U₂ для барьера случая 1 имеем

а для барьера случая 2, соответственно,

При E>U₂ для барьера случая 1 имеем

а для барьера случая 2, соответственно,

При рассмотрении барьеров с треугольным срезом вершины (случаи 3 и 4 рис. 1) разбивать волновую функцию внутри барьера на две не нужно. Однако получить для нее простое выражение затруднительно. Для этого необходимо осуществить решение двух уравнений Шредингера, которые для каждого из рассматриваемых случаев записываются в следующем виде

где . Уравнения (16) и (17) в теории дифференциальных уравнений называются линейными уравнениями второго порядка с переменными линейными коэффициентами. Их решениями являются бесконечные ряды вида

Подставляя (18) в (16) и (17), находят коэффициенты C_i при соответствующих степенях x. Подставляя затем (18) с найденными коэффициентами C_i в (1) и (2), рассчитывают параметры A₁ и A₃. И далее, подставив эти параметры в (3), можно получить следующее выражение для расчета коэффициента прохождения

где параметры F₁, F₂, F₃ и F₄ являются функциями коэффициентов C_i. Обычно в квантовой механике ряды вида (18) записывают через функции Эйри.  Например, для 10 первых членов  значения параметров F₁, F₂, F₃ и F₄ для случая 3 могут быть найдены с помощью следующих соотношений

Для барьеров случая 4 эти формулы также справедливы, только перед всеми членами с нечетными степенями параметра b знак меняется на противоположный и вместо a₁ используется параметр a₂.

В настоящей работе нами были рассчитаны коэффициенты туннельного прохождения через рассматриваемые типы барьеров с ширинами 1 и 2 нм для энергий электронов, не превышающих максимальную высоту барьеров. Были обнаружены несколько интересных закономерностей. Во-первых, для симметричных барьеров случаев 1 и 2 (т. е.  W₁ = W₂) зависимости коэффициента туннелирования от энергии электронов совершенно совпали друг с другом. Во-вторых, точно также совпали аналогичные зависимости и для барьеров случаев 3 и 4 с одинаковой шириной W, т. е. электроны туннелируют через барьеры с правым и с левым срезом вершины с совершенно одинаковой интенсивностью. И, в-третьих, рассчитанные зависимости для барьеров с треугольным и ступенчатым срезом вершины при условии одинаковой высоты и ширины барьеров также практически совпали друг с другом.

На рис. 2 приведены данные рассчитанные нами зависимости коэффициента прохождения от энергии электронов для рассматриваемых барьеров с двумя разными значениями ширины и высоты.

Как видно из данного рисунка, практическое совпадение кривых позволяет сделать вывод о том, что с очень хорошей точностью расчет коэффициента туннелирования через барьеры с треугольным срезом вершины может осуществлять не с помощью трудоемких вычислений бесконечных рядов, а используя относительно простые аналитические выражения, полученные для потенциальных барьеров со ступенчатой вершиной. И хотя с увеличением ширины барьеров точность такого приема будет уменьшаться, но ввиду существенного снижения в этом случае величины коэффициента туннелирования его следует признавать эффективным и удобным.

Рис. 2 - Коэффициенты прохождения через исследуемые барьеры:

1 – W = 1нм; 2 – W = 2 нм; a – U₁ = 2 эВ; U₂ = 1 эВ; b – U₁ = 3 эВ; U₂ = 1 эВ; непрерывные линии – ступенчатые барьеры; пунктирные линии – барьеры с треугольным срезом; W₁ = W₂

Таким образом, в настоящей работе с помощью прямого решения уравнения Шредингера для волновой функции электрона внутри потенциальных барьеров с вершинами ступенчатого вида и треугольной формы получены аналитические выражения для коэффициента туннельного прохождения. С их помощью рассчитаны зависимости величины этого коэффициента от энергии туннелирующих электронов, и проведен сравнительный анализ данных зависимостей для барьеров с двумя значениями толщины и высоты. Установлено, что для барьеров с разным срезом вершины для рассматриваемых случаев эти зависимости практически совпали. На основании этого для данных случаев расчет коэффициента туннелирования через барьеры с треугольным срезом.

Литература

1. Baik S. J., Choi S., Chung U-In, and Moon J. T. Engineering on tunnel barrier and dot surface in Si nanocrystal memories // Solid-State Electron. 2004. Vol. 48. P. 1475–1481.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц М. Е. Теоретическая физика: в 10 т. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М., 1989.
3. Büttiker M., Landauer R. Transversal time for tunneling // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, No 23. P. 1739–1742.
4. Справочник по специальным функциям. С формулами, графиками и математическими таблицами / под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. М., 1979.

References

1. Baik S. J., Choi S., Chung U-In, and Moon J. T. Engineering on tunnel barrier and dot surface in Si nanocrystal memories // Solid-State Electron. 2004. Vol. 48. P. 1475–1481.
2. Landau L. D., Lifshits M. E. Theoretical physics: in 10 vv. Vol. III. Quantum mechanics. M., 1989. (in Russian)
3. Büttiker M., Landauer R. Transversal time for tunneling // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, No 23. P. 1739–1742.
4. Special functions digest. With formulae, figures and tables. М., 1979. (in Russian)