ИЗУЧЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ В КОНТЕКСТЕ РЕАЛИЗАЦИИ ИНТЕГРАЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ

ИЗУЧЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ В КОНТЕКСТЕ РЕАЛИЗАЦИИ ИНТЕГРАЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ

Научная статья

Жмурова И.Ю.*

ORCID: 0000-0002-2173-9491,

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

* Корреспондирующий автор (mimiya[at]yandex.ru)

Аннотация

Статья посвящена обучению числовым системам бакалавров педагогического образования в контексте реализации интеграционных связей. Повышение эффективности профессиональной подготовки будущего учителя математики актуализирует вопрос интеграции учебных дисциплин. Рассматриваются интро- и интердисциплинарные, интерцикловые и интерблоковые связи учебной дисциплины «Теория чисел и числовые системы» с элементами профессиональной подготовки бакалавров и обсуждается возможность их осуществления в обучении.

Ключевые слова: интеграционные связи, система профессиональной подготовки, число, числовые системы, школьный курс математики.

THE STUDY OF NUMERICAL SYSTEMS IN A PEDAGOGICAL UNIVERSITY IN THE CONTEXT OF IMPLEMENTING INTEGRATION LINKS

Research article

Zhmurova I.Yu.*

ORCID: 0000-0002-2173-9491,

Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

* Corresponding author (mimiya[at]yandex.ru)

Abstract

The article is devoted to teaching numerical systems to bachelors of pedagogical education in the context of implementing integration links. The improving of the effectiveness of professional training of the future mathematics teachers makes the issue of integration of academic disciplines especially topical.  The article analyzes intra- and inter-disciplinary connections of the discipline called "Number Theory and Numerical Systems" with certain elements of professional training of bachelors. Moreover, the possibility of their implementation in the course is suggested.

Keywords: integration, professional training system, number, numerical systems, school mathematics course.

Введение

Числовая линия является фундаментальной содержательно-методической линией школьного курса математики. За годы обучения в школе ребенок знакомится со всеми числовыми системами – от линейно упорядоченного полукольца натуральных чисел в начальной школе до полей действительных и комплексных чисел в средней общеобразовательной школе. Низкая вычислительная культура обучающихся порождает, как правило, проблемы с их обучением не только математике, но и целого ряда других учебных дисциплин. В частности, в аналитических отчетах ФИПИ, посвященных результатам ЕГЭ по математике, химии и физике подчеркивается, что большой процент ошибок выпускников в решении сравнительно несложных задач связан с большим количеством арифметических ошибок [10], [3], [2].

Именно поэтому система профессиональной подготовки учителя математики содержит фундаментальную числовую составляющую, чем объясняется наличие обязательного учебного курса «Теория чисел и числовые системы». На исключительный характер данной учебной дисциплины обращали внимание многие исследователи. Так, например, В.И. Игошин указывает на особую роль дисциплины «Числовые системы» в уровневой подготовке учителя математики [4, С. 82]. В.А. Тестов рассматривает методологические трудности при формировании понятия натурального числа и подчеркивает необходимость реализации приципа поэтапности формирования знаний [7, C. 285]. Г.Г. Хамов и Л.Н. Тимофеева отмечают возможность использования теоретико-числового материала в организации исследовательской деятельности будущего педагога [8, C. 126-128]. В статье М.И. Черемисиной [9] говорится о специфике изучения числовых систем на первой ступени обучения в педвузе. Вопросами изучения числовых множеств занимались и другие математики и методисты.

Задачей профессиональной подготовки учителя математики является формирование его общепрофессиональных и специальных компетенций, дающих возможность для качественного удовлетворения образовательных потребностей обучающихся в соответствии с ФГОС. В связи с этим каждая содержательная линия школьного курса математики должна быть соответствующим образом обеспечена системой подготовки в педагогическом вузе.

Методы и принципы исследования

Обучение бакалавров педагогического образования теории чисел и числовым системам исследовалось на основе системного подхода в ряде его аспектов. Теоретико-числовая профессиональная подготовка будущего учителя математики полностью удовлетворяет всем элементам и условиям общей теории систем, как обладающая всеми основными общими свойствами системных объектов, а именно: целостность, составной характер, несводимость свойств системы к свойствам отдельных ее элементов [1, C. 6]. В рамках системно-элементного подхода выделены такие уровни декомпозиции, как подсистемы и элементы. На первом уровне выделены подсистемы целей, содержания, средств и методов. В качестве элементов системы приняты интеграционные связи, дидактические процессы, учащиеся и педагоги.

В рамках системно-коммуникационного подхода разработана система интеграционный связей дисциплины, а именно: интро-, интердисциплинарные (ближние), интерцикловые (дальние) и интерблоковые (сверхдальние) связи теории чисел и числовых систем.

Основные результаты и обсуждение

Несмотря на приоритетную роль числовой линии в школьном курсе математики, учащиеся российской школы слабо ориентируются в основных числовых множествах и свойствах арифметических операций. Ряд основных законов, связанных с числами, усвоен ими формально. Так, например, большинство выпускников российских школ знают формулы сокращенного умножения, но многие не умеют их применять. При решении сложных задач учащимися допускаются ошибки не столько в использовании того или иного метода решения задачи, сколько в получении и интерпретации полученного результата. В частности, многие обучающиеся демонстрируют способность построить математическую модель решаемой задачи, но не могут решить уравнение или неравенство с конкретными числовыми данными. Зачастую, в погоне за решением сложных геометрических задач, за алгебраическими преобразованиями, за построением графиков сложных функций и т.п., учитель не обращает внимание на формирование вычислительных навыков обучающихся, считая их чем-то незначительным. Это отношение передается и учащимся, которые считают лишним, например, контроль устного счета, знакомство с теми или иными приемами рациональным вычислений и т.п.

Подобное отношение к числовым системам сохраняется и у студентов педагогических вузов. Многие студенты считают курс числовых систем слишком абстрактным и далеким от будущей профессиональной деятельности, а постоянное обращение к свойствам числовых операций излишним. В связи с этим числовая линия требует наличия полного теоретического (математического) и педагогического (методического) обеспечения. Обучение дисциплине «Теория чисел и числовые системы» особенно нуждается в профессионально-педагогической направленности, так как обеспечивает важнейшую содержательную линию школьной математики. Для реализации подобного подхода необходимо максимально использовать все интеграционные связи теоретико-числовой подготовки бакалавра педагогического образования [5, C. 67].

Под интеграционными связями учебной дисциплины мы понимаем педагогическую категорию, отражающую возможные взаимосвязи как между содержанием отдельных разделов самой дисциплины, так и между элементами содержания других учебных дисциплин, а также объектами или процессами реальной действительности, посредством которых обеспечивается внутреннее единство и логическая непротиворечивость. Исходя из уровней интеграционных связей можно определить такие их виды, как интродисциплинарные (внутренние), интердисциплинарные (ближние), интерцикловые (дальние) и интерблоковые (сверхдальние) [5, С. 69].

Интродисциплинарные связи учебного курса «Теория чисел и числовые системы» определяются логической схемой развития понятия числа. Основным понятием дисциплины является понятие натурального ряда, который определяется аксиоматически. Далее описываются свойства линейно упорядоченного полукольца натуральных чисел. Затем определяется кольцо целых чисел как минимальное расширение полукольца натуральных чисел, доказываются основные свойства упорядоченного кольца целых чисел. Следующим этапом является построение поля рациональных чисел, являющегося минимальным расширением кольца целых чисел, определяется поле действительных чисел, системы комплексных чисел, кватернионов и октав.

При изучении новых числовых следует постоянно выделять те возможности, которые достигаются в новых числовых множествах, а также отмечать свойства, характерные для всех рассматриваемых систем, и свойства, которые утрачиваются при их расширении. Например, множество рациональных чисел, являющееся минимальным расширением кольца целых чисел, уже не обладает свойством дискретности, в отличии от множеств натуральных и целых чисел. Поле комплексных чисел не является упорядоченным (в отличии от рациональных и действительных). Умножение кватернионов не обладает свойством коммутативности, а умножение октав не ассоциативно. Последовательное сравнение свойств числовых систем позволяет наиболее полно реализовать интродисциплинарные связи дисциплины.

Интердисциплинарные связи – связи между различными математическими компонентами системы профессионального образования будущего учителя. При изучении числовых систем постоянно используется содержание ранее изученных математических дисциплин, что позволяет осуществить интердисциплинарные связи наилучшим образом. Наиболее тесно теория чисел и числовые системы связаны с курсом алгебры. При исследовании различных числовых систем рассматриваются все известные студентам алгебраические структуры. Так, множество натуральных чисел относительно операции сложения является коммутативной полугруппой, а относительно операции умножения – коммутативным моноидом, множество целых чисел с операцией сложения – абелева группа, а с операциями сложения и умножения и отношением порядка – упорядоченным коммутативным ассоциативным кольцом с единицей, множества рациональных и действительных чисел с теми же операциями и отношением порядка – упорядоченные поля, кольца двойных и дуальных чисел – коммутативные ассоциативные кольца с единицей и истинными делителями нуля и т.д. Кроме того, при изучении алгебр конечного ранга над полем действительных чисел (действительные и комплексные числа, кватернионы, октавы и др.), неизбежно используется понятие линейного пространства и его размерности, изученного ранее в курсе алгебры.

Различные аксиоматические определения поля действительных чисел необходимо приведут к соответствующим понятиям математического анализа: теоремам Кантора и Вейерштрасса, критерию Коши, основным теоремам теории пределов и пр. Рассмотрение кватернионов неотвратимо требует обращения к аналитической геометрии и векторной алгебре. Наконец, для иллюстрации теоретических фактов постоянно приходится обращаться к решению задач школьной математики, что связывает числовые системы и элементарную математику.

Интерцикловые связи курса «Теория чисел и числовые системы» – это дальние связи с методикой обучения математике и школьным курсом. Каждая числовая система, рассмотренная студентами, в том или ином виде изучается на определенном этапе обучения в школе.

 Множества натуральных и целых чисел – те множества, которые изучаются в начальной школе и 5-6-х классах. Далее, в 5-6-х классах вводятся обыкновенные и десятичные дроби, тем самым расширяется круг изучаемых объектов. Одновременно уже изученные темы (линейные уравнения и неравенства, сюжетные задачи и др.) рассматриваются на новых числовых множествах, чем осуществляется преемственность между отдельными разделами курса. В 7-м классе при изучении понятия арифметического корня происходит знакомство с иррациональными числами и можно говорить о системе действительных чисел. На данном множестве можно ввести понятие степенной функции и рассмотреть все изученные к этому времени функции с более высокой степенью обобщения. Поле действительных чисел – последнее числовое множество, которое изучается в основной школе. Дальнейшее углубление знаний о числовых системах происходит, как правило, в рамках профильного уровня. Комплексные числа не являются обязательным учебным материалом старшей школы [6]. Тем не менее, поле комплексных чисел является завершающей числовой системой, что позволяет полностью увидеть структуру всех изученных ранее числовых множеств и свойства арифметических операций на каждом из них.

Особенно важным при изучении числовых систем является знакомство студентов с интересными задачами школьных учебников, математических олимпиад школьников, материалами государственной итоговой аттестации выпускников, что позволяет не только реализовать интердисциплинарные связи курса числовых систем, но и интеграционные связи между учебной деятельностью бакалавра и его будущей профессиональной деятельностью. Большой интерес у будущих учителей вызывают методические вопросы, возникающие в ходе изучения числовых систем. Так, например, при изучении поля рациональных чисел встает вопрос о введении дробных чисел в школьном курсе математики. Отечественная методика обучения математике располагает различными подходами к введению обыкновенных и десятичных дробей. Дискуссии о порядке изучения дробей в школьном курсе математики велась в разные годы, начиная с конца XIX века. В частности, в учебниках Н.Я. Виленкина 60-х гг. прошлого века десятичные дроби предлагалось изучать до введения обыкновенных дробей, а в современных учебниках математики десятичные дроби рассматривают, как частный случай обыкновенных. Оба подхода имеют право на существование, обладая как достоинствами, так и недостатками, и сравнение данных подходов всегда вызывает живейший интерес.

Интерблоковые (сверхдальние) связи числовых систем – это связи с историей математики, философией, другими гуманитарными дисциплинами. История развития числовых множеств интересна и драматична, достаточно вспомнить неприятие многими математиками отрицательных чисел или те сложности, с которыми было связано введение в обиход комплексных чисел. При изучении числовых систем естественным образом возникают и исторические обстоятельства их появления и развития. Логическая и историческая схемы развития числовых множеств не тождественны, естественно, это не могло не найти отражение в логике рассмотрения числовых систем и в школьном курсе математики. Кроме того, при изучении числовых систем реализуется и историко-персоналистическая составляющая интерблоковых связей: рассматриваются не только математические и методические проблемы, но и творческие биографии ученых, занимавшихся данными проблемами.

Заключение

Таким образом, учебная дисциплина «Теория чисел и числовые системы» не только обеспечивает математическую и методическую поддержку фундаментальной содержательной линии школьного курса математики, являясь основой подготовки как учителя математики, так и его будущих учеников, но и позволяет максимально реализовать все виды интеграционных связей – от ближних (интродисциплинарных), до сверхдальних (интерблоковых).

Конфликт интересов «Не указан».

Conflict of Interest «None declared».

 

Список литературы / References

1. Беспалько, В. П. Основы теории педагогических систем: проблемы и методы психолого–педагогического обеспечения технологии обучающих систем / В. П. Беспалько. — Воронеж : Изд-во ВЕУ, 1977. — 304 c.
2. Демидова, М. Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2019 года по физике / М. Ю. Демидова. // Педагогические измерения. — 2019. — № 4. — С. 84-108.
3. Добротин, Д. Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2019 года по химии / Д. Ю. Добротин, Н. В. Свириденкова, М. Г. Снастина. // Педагогические измерения. — 2019. — № 4. — С. 109-135.
4. Игошин, В.И. Курс числовых систем в формате двухуровневой подготовки учителей математики. // Образование и наука. — 2017. — № 19. — С. 82 - 104.
5. Полякова, Т. С. Интеграционные связи и их оценка учителями математики и бакалаврами педагогико-математического образования / Т. С. Полякова, И. Ю. Жмурова, Е. В. Лялина. // Методический поиск: проблемы и решения. — 2015. — № 1 (18). — С. 66-72.
6. Приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413 (ред. от 29.06.2017) «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования» – URL:https://fgos.ru/(дата обращения: 06.07.2020).
7. Тестов, В.А. Формирование понятия о системе натуральных чисел / В.А. Тестов. // Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании: материалы международной научно-технической конференции. – Ульяновск: Ульяновский государственный технический университет, 2016. – С. 275-286.
8. Хамов, Г. Г. О некоторых направлениях повышения качества подготовки будущего учителя математики / Г. Г. Хамов, Л. Н. Тимофеева. // Современное научное знание: теория, методология, практика: материалы V Международной научно-практической конференции: в 2-х частях. — Смоленск : Международный научно-информационный центр «Наукосфера», 2018. — С. 126-128
9. Черемисина, М. И. О числовых системах на первой ступени обучения в педвузе / М. И. Черемисина. — Текст : непосредственный // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. — 2015. — № 17. — С. 189-192.
10. Ященко, И. В. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2019 года по математике / И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. В. Семёнов. — Текст : непосредственный // Педагогические измерения. — 2019. — № 3. — С. 23-40.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Bespal'ko, V. P. Osnovy teorii pedagogicheskih sistem: problemy i metody psihologo–pedagogicheskogo obespechenija tehnologii obuchajushhih sistem [Fundamentals of the pedagogical systems theory: problems and methods of psychological and pedagogical support for the technology of training systems] / V. P. Bespal'ko. — Voronezh : Izd-vo VEU, 197. — 304 p. [in Russian]
2. Demidova, M. Ju. Metodicheskie rekomendacii dlja uchitelej, podgotovlennye na osnove analiza tipichnyh oshibok uchastnikov EGJe 2019 goda po fizike [Methodical recommendations for teachers prepared on the basis of the typical mistakes analysis of participants during the unified state exam 2019 in physics] / Demidova, M. Ju. // Pedagogicheskie izmerenija [Pedagogical measurement]. — 2019. — № 4. — P. 84-108. [in Russian]
3. Dobrotin, D. Ju. Metodicheskie rekomendacii dlja uchitelej, podgotovlennye na osnove analiza tipichnyh oshibok uchastnikov EGJe 2019 goda po himii [Methodical recommendations for teachers prepared on the basis of the typical mistakes analysis of participants during the unified state exam 2019 in chemistry]/ D. Ju. Dobrotin, N. V. Sviridenkova, M. G. Snastina. // Pedagogicheskie izmerenija [Pedagogical measurement]. — 2019. — № 4. — P. 109-135. [in Russian]
4. Igoshin, V.I. Kurs chislovyh sistem v formate dvuhurovnevoj podgotovki uchitelej matematiki [Course of numerical systems in the format of two-level training of mathematics teachers]. / Igoshin V.I. // Obrazovanie i nauka [Education and science.]. — 2017. — № 19. — P. 82 - 104.
5. Poljakova, T. S. Integracionnye svjazi i ih ocenka uchiteljami matematiki i bakalavrami pedagogiko-matematicheskogo obrazovanija [Integration relations and their assessment by teachers of mathematics and bachelors of pedagogical and mathematical education] / T. S. Poljakova, I. Ju. Zhmurova, E. V. Ljalina.// Metodicheskij poisk: problemy i reshenija [Methodical search: problems and solutions]. — 2015. — № 1 (18). — P. 66-72. [in Russian]
6. Prikaz Minobrnauki Rossii ot 17.05.2012 № 413 (red. ot 29.06.2017) «Ob utverzhdenii federal'nogo gosudarstvennogo obrazovatel'nogo standarta srednego obshhego obrazovanija» [Order of the Ministry of education and science of the Russian Federation dated 17.05.2012 No. 413 (ed. from 29.06.2017) " On approval of the Federal state educational standard of secondary General education»] [Electronic resource] – URL: https://fgos.ru/ (accessed: 06.07.2020). [in Russian]
7. Testov, V.A. Formirovanie ponjatija o sisteme natural'nyh chisel [The Concept of a system of natural numbers Formation] / V.A. Testov // Matematicheskie metody i modeli: teorija, prilozhenija i rol' v obrazovanii: materialy mezhdunarodnoj nauchno-tehnicheskoj konferencii. [Mathematical methods and models: theory, applications and role in education: proceedings of the international scientific and technical conference.]. – Ul'janovsk: Ul'janovskij gosudarstvennyj tehnicheskij universitet [Ulyanovsk state technical University], 2016. – P. 275-286. [in Russian]
8. Hamov, G. G. O nekotoryh napravlenijah povyshenija kachestva podgotovki budushhego uchitelja matematiki [About some directions of improving the quality of training of future mathematics teachers]/ G. G. Hamov, L. N. Timofeeva // Sovremennoe nauchnoe znanie: teorija, metodologija, praktika: materialy V Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii: v 2-h chastjah [Modern scientific knowledge: theory, methodology, practice: materials of the V International scientific and practical conference: in 2 parts]. — Smolensk : Mezhdunarodnyj nauchno-informacionnyj centr «Naukosfera» [Smolensk international scientific-informational center "Narcosphere»], 2018. — P. 126-128[in Russian]
9. Cheremisina, M. I. O chislovyh sistemah na pervoj stupeni obuchenija v pedvuze [About numerical systems at the first stage of training in a pedagogical University]/ Cheremisina, M. I. // Matematicheskij vestnik pedvuzov i universitetov Volgo-Vjatskogo regiona [Mathematical Bulletin of pedagogical institutions and universities of the Volga-Vyatka region]. — 2015. — № 17. — P. 189-192. [in Russian]
10. Jashhenko, I. V. Metodicheskie rekomendacii dlja uchitelej, podgotovlennye na osnove analiza tipichnyh oshibok uchastnikov EGJe 2019 goda po matematike [Methodical recommendations for teachers prepared on the basis of the typical mistakes analysis of participants during the unified state exam 2019 in mathematic] / I. V. Jashhenko, I. R. Vysockij, A. V. Semjonov.// Pedagogicheskie izmerenija [Pedagogical measurement]. — 2019. — № 3. — P. 23-40. [in Russian]