НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Научная статья
Выпуск: № 8 (39), 2015
Опубликована:
2015/09/15
PDF

Нейматов Назим Асадулла

Диссертант Институт Математики и Механики НАН Азербайджана

НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ  ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Аннотация

В работе построены некоторые функциональные пространства дифференцируемых функций многих переменных и построенных весовых пространств.

Ключевые слова: пространства, вес, вектор, полурога, полунорма.

Neymatov Nazim Asadulla

Author of dissertation Institute of Mathematics and Mechanics of NAN of Azerbaijan

SOME OPTIONS OF INTEGRATED REPRESENTATIONS DIFFERENTIABLE FUNCTIONS OF WEIGHT SPACES

Abstract

In work some functional spaces of differentiable functions of many variables and the constructed weight spaces are constructed.

Key words: Spaces, everything, a vector, semihorns, seminorm.

1. Построение усредняющей функции.

Предполагаем, что функция 28-08-2015 14-34-42 достаточно гладкой в точках x∈G⊂En.

Займемся  построением усредняющей функции. Положим, что

28-08-2015 14-35-09

является достаточно гладкой, финитной в E1, такой что носитель этой функции  подчиняется условиям:

28-08-2015 14-35-22

при этом положим, что

28-08-2015 14-35-38

Обозначим через

28-08-2015 14-35-51

где γ>0-является достаточно большим целым числом.

Теперь положим, что вектор δ=(δ1,…, δn) с координатами

28-08-2015 14-37-59

Пусть

28-08-2015 14-38-08

при этом (см. (1.4))

28-08-2015 14-38-17

Пусть (см. (7), (8))

28-08-2015 14-38-27

при t=(t1,…, tn).

Положим, что вектор-функция

28-08-2015 14-39-25

с координатами – функциями

28-08-2015 14-39-34

удовлетворяет условия:

28-08-2015 14-40-19

Теперь обозначим через

28-08-2015 14-40-33

при x,yϵEn, где

28-08-2015 14-41-47

Пусть вектор

    28-08-2015 14-41-59

является вектором с целыми неотрицательными координатами (т.е. 28-08-2015 14-42-15-целые).

Приведено усреднение достаточно гладкой функции

28-08-2015 14-42-28

с помощью ядра (1.12), равенством:

28-08-2015 14-42-37

Заметим, что после замены переменных

28-08-2015 14-42-55

имеем

28-08-2015 14-43-32

Легко убедиться (см. (1.3)) в том, что

28-08-2015 14-43-41

Из двух равенств (1.19), (1.20) следует, что

28-08-2015 14-44-11

в некоторой точке xϵEn.

Теперь приведем вторичные усреднения функций 28-08-2015 14-44-40, равенством

28-08-2015 14-44-54

Аналогично доказательству равенства (1.21) можно убедиться в том, что

28-08-2015 14-45-07

2. Основное тожество.

Из основной формулы интегрального исчисления

28-08-2015 14-45-18

при h00+ следует основное тождество

28-08-2015 14-46-06

Равенство (2.2) является основой при доказательстве интегрального представления функции f=f(x).

2.1. Заметим, что (после простых рассуждений) выражение

28-08-2015 14-46-30

из равенства (2.2) записывается (см.1.22) в виде

28-08-2015 14-46-41

откуда следует, что в последнем равенстве, в правой части стоит сумма двух одинаковых интегральных выражений, т.е.

28-08-2015 14-46-55

Если учесть равенства

28-08-2015 14-47-27

тогда имеем

28-08-2015 14-47-38

В этом равенстве (2.5), из интегральных операторов, стоящих в правой части, выделяем под интегральный множитель

28-08-2015 14-47-50

который перепишем в виде:

28-08-2015 14-48-00

следовательно, имея в виду, что

28-08-2015 14-48-08

получим

28-08-2015 14-48-21

Теперь обозначим через 28-08-2015 14-48-30, тогда равенство (2.8) переобозначается в виде

28-08-2015 14-48-40

Второй множитель, в правой части равенства (2.9), преобразуется следующим образом (см. (1.7))

28-08-2015 14-48-53

т.е. имеет место равенство 28-08-2015 14-49-08.

Выражение в фигурных скобках, правой части равенства (2.10), имеет следующий вид (см. (1.8)):

28-08-2015 14-49-19

Из двух равенств (2.9) и (2.11) имеет:

28-08-2015 14-49-30

где функция 28-08-2015 14-49-42 определена равенством (2.11) является достаточно гладкой и финитной функцей в E1. В равенстве (2.5), учитывая (2.12), получим

28-08-2015 14-50-16

Заметим, что интегральные операторы Qk (x,v;f) (k=1,2,…,n) из (2.15) представляются в виде произведений интегральных операторов, точнее представляются в виде последовательного применения «одномерных интегральных операторов» в виде:

28-08-2015 14-51-42

2.2. Преобразования интегральных операторов Qk,j(x,v;f) (jk) и Qk,k(x,v;f) при всех k=1,2,…,n (см.(2.17) и (2.18)). Напомним, что при каждом k ϵ {1,2,…,n}

28-08-2015 14-54-59

преобразуем в отдельности.

  1. Преобразование интегрального оператора Qk,kg.
  2. Преобразования интегральных операторов Qk,jg(jk).
  3. В условиях 28-08-2015 14-56-05, производя замену переменных 28-08-2015 14-56-13, после соответствующих преобразований.
  4. При фиксированном k ϵ en={1,2,…,n} в случае jk, в предположении 28-08-2015 14-57-26 в условиях 28-08-2015 14-57-35, после замены переменных 28-08-2015 14-57-44(jk), имеем

28-08-2015 14-58-23

5. Преобразование интегрального оператора при 28-08-2015 14-58-43.

  1. Преобразование интегрального выражения, при  28-08-2015 14-59-05, ведется аналогичными рассуждениями, приведенными при преобразовании интегрального оператора при 28-08-2015 14-59-16.
  2. Теперь окончательную форму интегральных операторов

    28-08-2015 14-59-28

получаем применением (последовательно) интегральных операторов Qk,jg(…,x,…), определенных первов равенствами

28-08-2015 15-00-42

в случае 28-08-2015 15-00-54. После соответствующих вычислений имеем окончательную форму интегральных операторов в виде:

28-08-2015 15-01-07

Литература

  1. С.Л.Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Из-во ЛГУ, 1950 г.
  2. О.В.Бесов, В.П.Ильин, С.М.Никольский. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Москва, из-во «Наука», 1975 г.
  3. С.М.Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Москва, из-во «Наука», 1977 г.
  4. Ф.Г.Максудов, А.Дж.Джабраилов. Метод интегральных представлений в теорий пространств. Баку, из-во, «Элм», 2000 г.
  5. А.Дж.Джабраилов. Теория пространств дифференцируемых функций. Труды ИММАН Азерб.Республики (вып.XII), Баку, «Элм», 2005 г.
  6. Т.И.Аманов. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смещенной производной. Алма-Ата, «Наука», 1976 г.

References

  1. S.L.Sobolev. Nekotorye primenenija funkcional'nogo analiza v matematicheskoj fizike. Iz-vo LGU, 1950 g.
  2. O.V.Besov, V.P.Il'in, S.M.Nikol'skij. Integral'nye predstavlenija funkcij i teoremy vlozhenija. Moskva, iz-vo «Nauka», 1975 g.
  3. S.M.Nikol'skij. Priblizhenie funkcij mnogih peremennyh i teoremy vlozhenija. Moskva, iz-vo «Nauka», 1977 g.
  4. F.G.Maksudov, A.Dzh.Dzhabrailov. Metod integral'nyh predstavlenij v teorij prostranstv. Baku, iz-vo, «Jelm», 2000 g.
  5. A.Dzh.Dzhabrailov. Teorija prostranstv differenciruemyh funkcij. Trudy IMMAN Azerb.Respubliki (vyp.XII), Baku, «Jelm», 2005 g.
  6. T.I.Amanov. Prostranstva differenciruemyh funkcij s dominirujushhej smeshhennoj proizvodnoj. Alma-Ata, «Nauka», 1976 g.