О модельных решениях начально-краевой задачи для уравнения колебаний термоупругих пластин
О модельных решениях начально-краевой задачи для уравнения колебаний термоупругих пластин
Аннотация
Данная работа посвящена исследованию и анализу модельной начально-краевой задачи о колебаниях термоупругой пластины. Основной проблемой является построение точных решений для рассматриваемой задачи. Математической моделью колебаний является линейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка по временной переменной и шестого порядка по пространственной переменной с постоянными коэффициентами. Отметим, что по пространственной переменной задача одномерна, но уравнение содержит смешанную производную по временной и по пространственной переменным. Получено интегральное тождество, с помощью которого в общем случае можно показать нарушение закона сохранения энергии. Приводится алгоритм получения явных решений данной задачи в виде функционального ряда. В работе содержатся иллюстрации, показывающие отклонения полотна от равновесного положения и динамики колебаний в различные моменты времени.
1. Введение
Задача о колебаниях термоупругих пластин является одной из важных и актуальных задач математики и механики. Такого рода задачи возникают при исследовании динамики пластин, которые подвергаются тепловому или механическому воздействию. Например, термоупругие пластины используются в конструкциях теплообменников, резонаторов или других устройств, где необходимо учитывать как тепловые, так и механические эффекты, которые оказывают влияние на динамику движения. Современные методы анализа математических моделей предлагают разные подходы. Численные методы позволяют найти приближенные решение соответствующей задачи и визуализировать его. Аналитические методы дают непосредственные сведения о решении, что позволяет говорить о предсказании поведения колебательного процесса в будущем. Однако построение аналитического решения является намного более сложной задачей, чем получение численного решения.
Целью данной работы является построение точного решения начально-краевой задачи в виде функционального ряда и анализ этого решения.
Для достижения поставленной цели в работе были решены следующие задачи:
1. Использование модификации метода разделения переменных.
2. Вывод интегрального тождества, которое выражает закон сохранения энергии для уравнения колебаний термоупругой пластины.
3. Исследование влияния параметров уравнения на динамику колебаний термоупругих пластин.
В современной литературе представлены уравнения и частичные решения для подобного класса задач. Данная работа предлагает метод поиска точных решений и метод к решению подобных задач.
В работе исследуются поперечные колебания нити, движущейся с постоянной скоростью. Основное внимание уделено резонансным эффектам, возникающим при таких колебаниях, поскольку они могут оказывать значительное влияние на механику различных инженерных и природных структур.
В работе рассматривается неустойчивость аксиально движущейся упругой пластины. Авторы детально анализируют процессы, приводящие к потере устойчивости, и выявляют ключевые факторы, влияющие на динамическое поведение подобных систем. Проведенный анализ имеет важное значение для понимания характеристик упругих материалов, подверженных аксиальному движению, что особенно актуально в приложениях, связанных с транспортными системами, производственными линиями и аэрокосмической техникой.
Работа посвящена статическому анализу неустойчивости подвижных мембран и пластин, которые взаимодействуют с идеальной жидкостью в аксиальном направлении. Рассматриваемые в исследовании модели помогают глубже понять поведение подобных структур в различных гидродинамических условиях, что может быть полезно при проектировании элементов судостроения, авиационных конструкций, а также гибких материалов, эксплуатируемых в жидкостных средах.
Для более детального понимания методов и вычислительных техник, используемых при исследовании колебательных процессов, особое внимание следует уделить работам , и . Эти исследования содержат подробный анализ типичных уравнений в частных производных, обеспечивая необходимый математический аппарат к моделированию динамических процессов в сложных механических системах.
В работе рассматриваются конкретные методы решения уравнений математической физики, что играет ключевую роль при изучении динамики таких объектов, как балки, мембраны и полотна.
В работе представлены результаты исследований, связанных с численными методами решения задач о колебаниях полотна. Авторы рассматривают различные аспекты гашения колебаний, что особенно важно для понимания поведения движущихся полотен в промышленных системах, таких как ленточные транспортеры, рулонные материалы и гибкие механические конструкции.
Работа освещает методы анализа и подходы к управлению колебаниями струны с применением демпфирующих элементов. Авторы подробно изучают влияние различных типов демпфирования на динамическое поведение струны, что может иметь практическое применение в области музыкальных инструментов, робототехники и виброизоляции инженерных конструкций.
Наконец, в работе анализируются вибрационные характеристики движущихся балок Тимошенко при различных типах закрепления концов. Этот аспект играет важную роль в проектировании и эксплуатации инженерных конструкций, поскольку краевые условия существенно влияют на их динамическое поведение. Изучение данных эффектов полезно при проектировании термоупругих пластин, мостовых конструкций, рельсовых систем и других элементов, подверженных динамическим нагрузкам.
Таким образом, совокупность рассматриваемых работ охватывает широкий спектр вопросов, связанных с динамическими характеристиками движущихся упругих систем, их устойчивостью, резонансными эффектами и методами демпфирования. В этой работе главным приемом для построения решений является проекционный метод, с помощью которого определяются коэффициенты при базисных функциях специальной системы алгебраических уравнений. Применение проекционного метода и более подробные аспекты использования приближений Галёркина можно найти в труде , где автор детально исследовал этот метод, предоставив конкретные примеры решения задач.
Анализу решений уравнений дифференциальных уравнений высоких порядков посвящена работа , где методами теории обобщенных функций в банаховых пространствах исследуется разрешимость в классе распределений с ограниченным слева носителем задачи Коши для дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков с фредгольмовым оператором при старшей производной.
Будем рассматривать уравнение колебаний термоупругих пластин, возникающее в теории колебаний термоупругих пластин :
здесь α, β, k, γ — числовые параметры, которые определяются свойствами материала, а именно:
α — тепловое расширение, влияющее на жесткость пластины;
β — отвечает за тепловые эффекты, определяющие демпфирование, инерционные и диссипативные эффекты
;k — коэффициент упругости, определяющий механическую жесткость и волновые характеристики системы;
γ — коэффициент вязкого демпфирования в термоупругом материале.
2. Методы и принципы исследования
Решение u(x, t), x∈Ω⊂ℝn, t∈ℝ+, уравнения (1) при n=2 определяет амплитуду поперечных колебаний термоупругой пластины, то есть отклонение полотна от положения равновесия в точке x в момент времени t.
В данной работе будем рассматривать упрощенную модель термоупругой пластины, а именно одномерную начально краевую задачу, то есть Ω=[0;l], l>0. С условиями жесткого закрепления на концах. При этом уравнение (1) перепишется следующим образом:
краевые условия для которого определяются равенствами:
и начальными условиями:
3. Построение решения
Будем искать решение в виде u(x,t)=T(t)sinλx. Тогда после подстановки в (2) получим обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка относительно временной переменной:
Далее, действуя стандартным образом, составим для (4) характеристическое уравнение, которое имеет вид:
Сделаем замену неизвестной
Получим решение этого уравнения с помощью формулы Кардано. Сперва введем параметры:
Тогда алгебраическое уравнение (6) перепишется в виде:
С учетом введенных параметров, заменой
Далее, введем параметр
Формула Кардано дает явные выражения для y1, y2, y3:
где
Возвращаясь к z, получаем
а корни характеристического уравнения (5) определяются формулами
Получив корни характеристического уравнения, можем записать решение уравнения (4):
Откуда получаем общий вид решения
Тогда для уравнения (1) функция u(x,t) выглядит следующим образом:
Лемма 1. Пусть u(x,t) — решение уравнения (2) при F(x,t)=0. Тогда для уравнения (2) справедливо следующее тождество:
где:
Доказательство.
Умножим уравнение на
Пусть:
Тогда уравнение представимо в виде:
Наличие в тождестве слагаемых
4. Основные результаты и обсуждение
В ходе исследования было построено явное решение уравнения колебаний термоупругих пластин в виде функционального ряда с применением проекционного метода, выведедено и доказано противоречие интегрального тождества, показывающее нарушение закона сохранения энергии в данной системе.
Проведенные исследования демонстрируют разнообразие волновых режимов в термоупругих пластинах, находящихся в состоянии колебаний. Экспериментальные изменения параметров α, β, k, γ оказывают значительное влияние на динамику колебаний, что наблюдается при отображении полученного решения на координатной плоскости и задания различных параметров, например:
1. α=0,6, β=6,5, k=1, γ=0,5, C1=1, C2=-1, C3=2,8, x=0,58, λ=22. (см. рис. 1)
2. α=0,6, β=5,4, k=1,9, γ=1,3296, C1=1, C2=-1, C3=2, x=0,438, λ=22. (см. рис. 2)
Рисунок 1 - График решения в точке x = 0,58
Рисунок 2 - График решения в точке x = 0,438
Результаты исследования представляют значительный интерес как с практической, так и с теоретической точки зрения. С одной стороны, они расширяют понимание физических процессов в термоупругих пластинах с краевыми условиями закрепления. С другой стороны, эти результаты могут послужить основой для разработки новых материалов и технологий, в которых колебательные процессы играют ключевую роль.
5. Заключение
В представленной работе рассмотрены колебания термоупругих пластин, а в качестве математической модели, которая описывает данный процесс рассмотрена начально-краевая задача для уравнения 6-го порядка со смешанной производной с постоянными коэффициентами.
Для рассматриваемого уравнения колебаний приведено явное выражение решения в виде функционального ряда, а также представлено интегральное тождество, которое показывает нарушение закона сохранения энергии. Решение в явном виде для задач такого типа ранее не было известно.
В дальнейшем с использованием найденного в работе решения можно исследовать задачу оптимального управления колебаниями, возникающими в термоупругих пластинах.