2303-9868 2227-6017 Международный научно-исследовательский журнал 2303-9868 ООО Цифра 10.60797/IRJ.2025.158.92 Brief communication О модельных решениях начально-краевой задачи для уравнения колебаний термоупругих пластин https://orcid.org/0009-0008-4257-8528 https://publons.com/researcher/MVV-7845-2025 Поломин Сергей Викторович sergiopolomin@gmail.com 3 https://orcid.org/0000-0002-0700-8465 https://publons.com/researcher/AAH-9530-2020 Романенков Александр Михайлович romanaleks@gmail.com 1 2 Московский авиационный институт Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской Академии Наук Российский Государственный университет имени А.Н. Косыгина 18 08 2025 2025 7 158 1 7 07 04 2025 02 07 2025 Copyright: © 2022 The Author(s) 2022 This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited. See http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ .

Данная работа посвящена исследованию и анализу модельной начально-краевой задачи о колебаниях термоупругой пластины. Основной проблемой является построение точных решений для рассматриваемой задачи. Математической моделью колебаний является линейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка по временной переменной и шестого порядка по пространственной переменной с постоянными коэффициентами. Отметим, что по пространственной переменной задача одномерна, но уравнение содержит смешанную производную по временной и по пространственной переменным. Получено интегральное тождество, с помощью которого в общем случае можно показать нарушение закона сохранения энергии. Приводится алгоритм получения явных решений данной задачи в виде функционального ряда. В работе содержатся иллюстрации, показывающие отклонения полотна от равновесного положения и динамики колебаний в различные моменты времени.

 колебания термоупругих пластин начально-краевая задача нарушение закона сохранения энергии интегральное тождество HTML-content

1. Введение

Задача о колебаниях термоупругих пластин является одной из важных и актуальных задач математики и механики. Такого рода задачи возникают при исследовании динамики пластин, которые подвергаются тепловому или механическому воздействию. Например, термоупругие пластины используются в конструкциях теплообменников, резонаторов или других устройств, где необходимо учитывать как тепловые, так и механические эффекты, которые оказывают влияние на динамику движения. Современные методы анализа математических моделей предлагают разные подходы. Численные методы позволяют найти приближенные решение соответствующей задачи и визуализировать его. Аналитические методы дают непосредственные сведения о решении, что позволяет говорить о предсказании поведения колебательного процесса в будущем. Однако построение аналитического решения является намного более сложной задачей, чем получение численного решения.

Целью данной работы является построение точного решения начально-краевой задачи в виде функционального ряда и анализ этого решения.

Для достижения поставленной цели в работе были решены следующие задачи:

1. Использование модификации метода разделения переменных.

2. Вывод интегрального тождества, которое выражает закон сохранения энергии для уравнения колебаний термоупругой пластины.

3. Исследование влияния параметров уравнения на динамику колебаний термоупругих пластин.

В современной литературе представлены уравнения и частичные решения для подобного класса задач. Данная работа предлагает метод поиска точных решений и метод к решению подобных задач.

В работе [1] исследуются поперечные колебания нити, движущейся с постоянной скоростью. Основное внимание уделено резонансным эффектам, возникающим при таких колебаниях, поскольку они могут оказывать значительное влияние на механику различных инженерных и природных структур.

В работе [2] рассматривается неустойчивость аксиально движущейся упругой пластины. Авторы детально анализируют процессы, приводящие к потере устойчивости, и выявляют ключевые факторы, влияющие на динамическое поведение подобных систем. Проведенный анализ имеет важное значение для понимания характеристик упругих материалов, подверженных аксиальному движению, что особенно актуально в приложениях, связанных с транспортными системами, производственными линиями и аэрокосмической техникой. 

Работа [3] посвящена статическому анализу неустойчивости подвижных мембран и пластин, которые взаимодействуют с идеальной жидкостью в аксиальном направлении. Рассматриваемые в исследовании модели помогают глубже понять поведение подобных структур в различных гидродинамических условиях, что может быть полезно при проектировании элементов судостроения, авиационных конструкций, а также гибких материалов, эксплуатируемых в жидкостных средах. 

Для более детального понимания методов и вычислительных техник, используемых при исследовании колебательных процессов, особое внимание следует уделить работам [4], [5] и [6]. Эти исследования содержат подробный анализ типичных уравнений в частных производных, обеспечивая необходимый математический аппарат к моделированию динамических процессов в сложных механических системах.

В работе [4] рассматриваются конкретные методы решения уравнений математической физики, что играет ключевую роль при изучении динамики таких объектов, как балки, мембраны и полотна.

В работе [7] представлены результаты исследований, связанных с численными методами решения задач о колебаниях полотна. Авторы рассматривают различные аспекты гашения колебаний, что особенно важно для понимания поведения движущихся полотен в промышленных системах, таких как ленточные транспортеры, рулонные материалы и гибкие механические конструкции. 

Работа [8] освещает методы анализа и подходы к управлению колебаниями струны с применением демпфирующих элементов. Авторы подробно изучают влияние различных типов демпфирования на динамическое поведение струны, что может иметь практическое применение в области музыкальных инструментов, робототехники и виброизоляции инженерных конструкций. 

Наконец, в работе [9] анализируются вибрационные характеристики движущихся балок Тимошенко при различных типах закрепления концов. Этот аспект играет важную роль в проектировании и эксплуатации инженерных конструкций, поскольку краевые условия существенно влияют на их динамическое поведение. Изучение данных эффектов полезно при проектировании термоупругих пластин, мостовых конструкций, рельсовых систем и других элементов, подверженных динамическим нагрузкам. 

Таким образом, совокупность рассматриваемых работ охватывает широкий спектр вопросов, связанных с динамическими характеристиками движущихся упругих систем, их устойчивостью, резонансными эффектами и методами демпфирования. В этой работе главным приемом для построения решений является проекционный метод, с помощью которого определяются коэффициенты при базисных функциях специальной системы алгебраических уравнений. Применение проекционного метода и более подробные аспекты использования приближений Галёркина можно найти в труде [10], где автор детально исследовал этот метод, предоставив конкретные примеры решения задач.

Анализу решений уравнений дифференциальных уравнений высоких порядков посвящена работа [11], где методами теории обобщенных функций в банаховых пространствах исследуется разрешимость в классе распределений с ограниченным слева носителем задачи Коши для дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков с фредгольмовым оператором при старшей производной.

Будем рассматривать уравнение колебаний термоупругих пластин, возникающее в теории колебаний термоупругих пластин [12]:

∂ 3 ∂ t 3 ( Δ u − β u ) + k ∂ 2 ∂ t 2 · Δ ( Δ u − α u ) + γ ∂ ∂ t Δ 2 u − k Δ 3 u = F ( x , t ) ,

здесь

α — тепловое расширение, влияющее на жесткость пластины;

β — отвечает за тепловые эффекты, определяющие демпфирование, инерционные и диссипативные эффекты

[13]

k — коэффициент упругости, определяющий механическую жесткость и волновые характеристики системы;

γ — коэффициент вязкого демпфирования в термоупругом материале.

2. Методы и принципы исследования

Решение u(x, t), x∈Ω⊂ℝnMissing Mark : sup, t∈ℝ+Missing Mark : sup, уравнения (1) при n=2 определяет амплитуду поперечных колебаний термоупругой пластины, то есть отклонение полотна от положения равновесия в точке x в момент времени t.

В данной работе будем рассматривать упрощенную модель термоупругой пластины, а именно одномерную начально краевую задачу, то есть Ω=[0;l], l>0. С условиями жесткого закрепления на концах. При этом уравнение (1) перепишется следующим образом:

∂ 3 ∂ t 3 ( ∂ 2 u ∂ x 2 − β u ) + k ∂ 4 ∂ t 2 ∂ x 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 − α u ) + γ ∂ 5 u ∂ t ∂ x 4 − k ∂ 6 u ∂ x 6 = F ( x , t ) ,

краевые условия для которого определяются равенствами:

u | x = 0 = ∂ 2 u ∂ x 2 | x = 0 = ∂ 4 u ∂ x 4 | x = 0 = 0 , u | x = l = ∂ 2 u ∂ x 2 | x = l = ∂ 4 u ∂ x 4 | x = l = 0 ,

и начальными условиями:

∂ j u ∂ t j | t = 0 = u j ( x ) , j = 0 , 1 , 2 ; x ∈ Ω .

3. Построение решения

Будем искать решение в виде

− T ′ ′ ′ ( λ 2 + β ) + k T ′ ′ λ 2 ( λ 2 + α ) + γ T ′ λ 4 + k T λ 6 = 0 .

Далее, действуя стандартным образом, составим для (4) характеристическое уравнение, которое имеет вид:

θ 3 − θ 2 k λ 2 λ 2 + α λ 2 + β − θ γ λ 3 λ λ 2 + β − k λ 6 λ 2 + β = 0

Сделаем замену неизвестной

z = θ λ 2 z 3 − z 2 k λ 2 + α λ 2 + β − z γ 1 λ 2 + β − k λ 2 + β = 0

Получим решение этого уравнения с помощью формулы Кардано. Сперва введем параметры:

[LATEX_FORMULA]S=\frac{k}{\lambda^2+\beta'}[/LATEX_FORMULA] T = γ λ 2 + β = γ k S R = λ 2 + α = k S − β + α

Тогда алгебраическое уравнение (6) перепишется в виде:

z 3 − z 2 S R − z T − S = 0 .

С учетом введенных параметров, заменой [LATEX_FORMULA]z=y+\frac{1}{3}SR[/LATEX_FORMULA] уберем в (6) квадратичное слагаемое. Тогда получаем

y 3 + y ( − ( S R ) 2 3 − T ) + ( − 2 27 ( S R ) 3 − 1 3 S R T − S ) = 0 .

Далее, введем параметр [LATEX_FORMULA]Q=-\frac{1}{27}\left(\frac{(S R)^2}{3}+T\right)^3+\frac{1}{4}\left(\frac{2}{27}(S R)^3+\frac{1}{3} S R T+S\right)^2 .[/LATEX_FORMULA]

Q = S 2 4 ( 1 + 2 S γ k ( R − 2 27 ( γ k ) 2 ) + ( S R ) 2 27 ( 4 R − ( γ k ) 2 ) )

Формула Кардано дает явные выражения для y1Missing Mark : sub, y2Missing Mark : sub, y3Missing Mark : sub:

y 1 = A + B y 2 , 3 = − 1 2 y 1 ± i 3 2 ( A − B ) ,

где

A = ( S R ) 3 27 + γ 6 k S 2 R + 1 2 S + Q 3 = = ( S R ) 3 27 + γ S 2 R 6 k + S 2 ( 1 + 1 + 2 γ S k ( R − 2 27 ( γ k ) 2 ) + ( S R ) 2 27 ( 4 R − ( γ k ) 2 ) ) 3 , B = ( S R ) 3 27 + γ 6 k S 2 R + 1 2 S − Q 3 = ( S R ) 3 27 + γ S 2 R 6 k + S 2 ( 1 − 1 + 2 γ S k ( R − 2 27 ( γ k ) 2 ) + ( S R ) 2 27 ( 4 R − ( γ k ) 2 ) ) 3

Возвращаясь к z, получаем

z 1 = 1 3 S R + A + B z 2 , 3 = 1 3 S R − A + B 2 ± i √ 3 2 ( A − B )

а корни характеристического уравнения (5) определяются формулами

θ 1 = λ 2 ( 1 3 S R + A + B ) θ 2 , 3 = λ 2 ( 1 3 S R − A + B 2 ± i √ 3 2 ( A − B ) )

Получив корни характеристического уравнения, можем записать решение уравнения (4):

T = C 1 e λ 2 ( 1 3 S R + A + B ) t + e λ 2 ( 1 3 S R − A + B 2 ) t ( C 2 c o s ( λ 2 3 2 ( A − B ) t ) + C 3 s i n ( λ 2 3 2 ( A − B ) t ) ) .

Откуда получаем общий вид решения

u n ( x , t ) = ( C 1 e λ n 2 ( 1 3 S R + A + B ) t + e λ n 2 ( 1 3 S R − A + B 2 ) t ( C 2 n c o s ( λ n 2 3 2 ( A − B ) t ) + C 3 s i n ( λ n 2 3 2 ( A − B ) t ) ) ) s i n λ n x .

Тогда для уравнения (1) функция

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ ( C 1 n e λ n 2 ( 1 3 S R + A + B ) t + e λ n 2 ( 1 3 S R − A + B 2 ) t ( C 2 n cos ( λ n 2 3 2 ( A − B ) t ) + C 3 n sin ( λ n 2 3 2 ( A − B ) t ) ) ) sin λ n x

Лемма 1. Пусть

− 1 2 ∫ 0 T ∫ 0 l ∂ ∂ t ( ∂ ∂ t ( ( ∂ 2 u ∂ x ∂ t ) 2 + β ( ∂ u ∂ t ) 2 ) ) d x d t + ∫ 0 T ∫ 0 l ( ( ∂ 3 u ∂ x ∂ t 2 ) 2 + β ( ∂ 2 u ∂ t 2 ) 2 + γ ( ∂ 3 u ∂ x 2 ∂ t ) 2 ) d x d t + E ( T ) − E ( 0 ) = 0 ,

где:

E ( τ ) = ∫ 0 l ( k ( ∂ 3 u ∂ x 2 ∂ t ) 2 + k α 2 ( ∂ 2 u ∂ x ∂ t ) 2 + 1 2 k ( ∂ 3 u ∂ x 3 ) 2 ) d x

Доказательство.

Умножим уравнение на [LATEX_FORMULA]\frac{\partial u}{\partial t}[/LATEX_FORMULA] и проинтегрируем по :

0 = ∫ 0 T ∫ 0 l ( ∂ 3 ∂ t 3 ( ∂ 2 u ∂ x 2 − β u ) + k ∂ 4 ∂ t 2 ∂ x 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 − α u ) + γ ∂ 5 u ∂ t ∂ x 4 − k ∂ 6 u ∂ x 6 ) ∂ u ∂ t d x d t = ∫ 0 T ∫ 0 l ∂ 5 u ∂ x 2 ∂ t 3 ∂ u ∂ t d x d t − ∫ 0 T ∫ 0 l β ∂ 3 u ∂ t 3 ∂ u ∂ t d x d t + ∫ 0 T ∫ 0 l k ∂ 6 u ∂ x 4 ∂ t 2 ∂ u ∂ t d x d t − ∫ 0 T ∫ 0 l k α ∂ 4 u ∂ x 2 ∂ t 2 ∂ u ∂ t d x d t + ∫ 0 T ∫ 0 l γ ∂ 5 u ∂ x 4 ∂ t ∂ u ∂ t d x d t − ∫ 0 T ∫ 0 l k ∂ 6 u ∂ x 6 ∂ u ∂ t d x d t

Пусть:

E ( τ ) = ∫ 0 l ( k ( ∂ 3 u ∂ x 2 ∂ t ) 2 + k α 2 ( ∂ 2 u ∂ x ∂ t ) 2 + 1 2 k ( ∂ 3 u ∂ x 3 ) 2 ) d x

Тогда уравнение представимо в виде:

− 1 2 ∫ 0 T ∫ 0 l ∂ ∂ t ( ∂ ∂ t ( ( ∂ 2 u ∂ x ∂ t ) 2 + β ( ∂ u ∂ t ) 2 ) ) d x d t + ∫ 0 T ∫ 0 l ( ( ∂ 3 u ∂ x ∂ t 2 ) 2 + β ( ∂ 2 u ∂ t 2 ) 2 + γ ( ∂ 3 u ∂ x 2 ∂ t ) 2 ) d x d t + E ( T ) − E ( 0 ) = 0

Наличие в тождестве слагаемых 

− 1 2 ∫ 0 T ∫ 0 l ∂ ∂ t ( ∂ ∂ t ( ( ∂ 2 u ∂ x ∂ t ) 2 + β ( ∂ u ∂ t ) 2 ) ) d x d t ∫ 0 T ∫ 0 l ( ( ∂ 3 u ∂ x ∂ t 2 ) 2 + β ( ∂ 2 u ∂ t 2 ) 2 + γ ( ∂ 3 u ∂ x 2 ∂ t ) 2 ) d x d t

4. Основные результаты и обсуждение

В ходе исследования было построено явное решение уравнения колебаний термоупругих пластин в виде функционального ряда с применением проекционного метода, выведедено и доказано противоречие интегрального тождества, показывающее нарушение закона сохранения энергии в данной системе.

Проведенные исследования демонстрируют разнообразие волновых режимов в термоупругих пластинах, находящихся в состоянии колебаний. Экспериментальные изменения параметров

1.

2.

График решения в точке x = 0,58

График решения в точке x = 0,58

График решения в точке x = 0,438

График решения в точке x = 0,438

Построение решений в виде рядов позволяет описывать и предсказывать поведение колебательного процесса термоупругих пластин. При этом использование методов вычислительной математики не требуется, так как были получены явные аналитические решения.

Результаты исследования представляют значительный интерес как с практической, так и с теоретической точки зрения. С одной стороны, они расширяют понимание физических процессов в термоупругих пластинах с краевыми условиями закрепления. С другой стороны, эти результаты могут послужить основой для разработки новых материалов и технологий, в которых колебательные процессы играют ключевую роль.

5. Заключение

В представленной работе рассмотрены колебания термоупругих пластин, а в качестве математической модели, которая описывает данный процесс рассмотрена начально-краевая задача для уравнения 6-го порядка со смешанной производной с постоянными коэффициентами.

Для рассматриваемого уравнения колебаний приведено явное выражение решения в виде функционального ряда, а также представлено интегральное тождество, которое показывает нарушение закона сохранения энергии. Решение в явном виде для задач такого типа ранее не было известно.

В дальнейшем с использованием найденного в работе решения можно исследовать задачу оптимального управления колебаниями, возникающими в термоупругих пластинах. 

 Additional File

The additional file for this article can be found as follows:

Further description of analytic pipeline and patient demographic information. DOI: https://doi.org/10.60797/IRJ.2025.158.92

Acknowledgements

Competing Interests

Swope R.D. Vibration of a moving thread line / R.D. Swope, W.F. Ames // J. of the Franklin Inst. — 1963. — № 275. — P. 36–55. Banichuk N. On the instability of an axially moving elastic plate / N. Banichuk, J. Jeronen, P. Neittaanm ̈aki [et al.] // Int. J. Solid Struc. — 2010. — № 47 (1). — P. 91–99. Banichuk N. Static instability analysis for travelling membranes and plates interacting with axially moving ideal fluid / N. Banichuk, J. Jeronen, Neittaanm ̈aki, P. Jeronen [et al.] // J. Fluid Struc. — 2010. — № 26 (2). — P. 274–291. Пикулин В.П. Практический курс по уравнениям математической физики / В.П. Пикулин, С.И. Похожаев. — Москва: МЦНМО, 2004. — 208 с. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. — Москва: Наука, 1981. — 512 с. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными / О.А. Олейник. — Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. — 261 с. Михайлов И.Е. Численное решение задачи о гашении колебаний движущегося полотна / И.Е. Михайлов, И. А. Суворов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2021. — Т. 61. — № 1. — С. 150–161 Асланов С.Ж. Аналитические и численные методы в задаче гашения колебаний струны точечным демпфером / С.Ж. Асланов, И.Е. Михайлов, Л.А. Муравей // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2006. — № 7. — С. 28–35. Choudhury P.B. Vibration characteristics of a moving Timoshenko beam with various boundary conditions / P.B. Choudhury, A. Kumar // Journal of Vibration and Control. — 2018. — № 24 (5). — P. 1043–1054. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными / Л.К. Эванс // Университетская серия. — Новосибирск: Тамара Рожковская, 2003. — Т. 7. — 565 с. Фалалеев М.В. Вырожденные дифференциальные уравнения высоких порядков специального вида в банаховых пространствах и их приложения / М.В. Фалалеев, А.В. Красник, С.С. Орлов // Сиб. журн. индустр. матем. — 2010. — Т. 13. — № 3. — С. 126–139 Rivera J.E.M. Regularizing Properties and Propagations of Singularities for Thermoelastic Plates / J.E.M. Rivera, L.H. Fatori // Math. Meth. Appl. Sci. — 1998. — Vol. 21. — P. 797–821. Kaur I. Transversely isotropic thermoelastic thin circular plate with constant and periodically varying load and heat source / I. Kaur, P. Lata // Int J Mech Mater Eng. — 2019. — № 14. — P. 10.