Определение сопротивления среды внедрению твердого тела по данным измерений глубины погружения, времени, скорости

В горном деле большое внимание уделяется вопросам внедрения породоразрушающего элемента в массив горных пород

Современное состояние проблемы внедрения твердых тел в деформируемые преграды характеризуется многочисленными работами отечественных и зарубежных авторов

Основным уравнением для анализа сопротивления среды является закон движения Ньютона. Представим этот закон в виде

(1)

где F – активная сила, R – сопротивление (среды) движению. Традиционно зависимость  задается. Неизвестной в этом уравнении является величина R. Исходя из того, что (1) – это дифференциальное уравнение второго порядка можно допустить, что сопротивление R в общем случае должно зависеть от трех параметров – смещения x, скорости  и времени t, то есть R – это функция вида

(2)

Простейшие варианты этой функции:  В последнем случае сопротивление зависит от времени, можно считать, что изменение сопротивления с ростом времени t связано со старением материала. Другой случай, когда сопротивление зависит от скорости движения пробойника, рассматривался в [1,2,24], где сопротивление R изменялось как квадратичная функция 

(3)

константы сопротивления B0, B1, B2 определялись на основе экспериментов.

Третий случай изменения сопротивления R с ростом смещения x определим ниже, укажем при этом уравнения для определения входных параметров. Рассмотрим несколько вариантов вычисления R.

Пусть в момент соударения инструмента массой m были выполнены следующие условия: 

(4)

Пусть еще сопротивление R зависит от смещения  как 

R = a,

то есть является константой a. Требуется из опытов определить a. Для решения задачи имеем уравнение

(5)

Умножив (5) на скорость , получаем

(6)

Из (6) следует при начальных условиях (4)

Отсюда

(7)

В момент остановки тела  и максимальная глубина погружения оказывается равной 

(8)

Откуда при известной величине  находится величина a:

Уравнение (7) возможно проинтегрировать дальше, записав его как

С учетом этого выражения находится зависимость x от времени t в виде:

Если сюда подставить выражение (8), то определится время до остановки.

Рассмотрим следующий вариант задачи.

Пусть сопротивление R зависит от x как

где a, b – неизвестные априори константы. В этом случае вместо (8) получаем

Интегралом этого уравнения при граничных условиях (4) служит выражение

(9)

Подкоренное выражение здесь должно быть неотрицательным, максимальная глубина погружения определяется из уравнения

(10)

Для определения зависимости  требуется проинтегрировать (9). Имеем дифференциальное уравнение

(11)

Его интегралом служит выражение

(12)

где константа С выражается формулой 

(13)

Если известна глубина проникновения x, то на основе (12), (13) вычисляется время проникновения. При известных значениях x и t формулы (10) и (12), (13) служат для восстановления неизвестных параметров сопротивления a и b.

Рассмотрим теперь более усложненный вариант сопротивления среды в виде

(14)

В этом случае по-прежнему имеем уравнение движения (1) как

Умножив здесь на  и интегрируя, получим

из которого находим

(15)

При нулевой скорости  отсюда получаем максимальную глубину погружения xmax, решая уравнение

(16)

Из (15) следует, что вещественная скорость существует, если величина

будет меньше 1, то есть .

Минимальное значение  в силу (15) должно быть равно нулю.

Поэтому имеем 

(17)

Рассмотрим теперь уравнение для определения зависимости 

(18)

Раскладывая величину  в ряд по степеням , получаем [25]:

или

При этом величина  должна для абсолютной сходимости ряда удовлетворять условию  В силу (17) оно заведомо выполнено. Отсюда находим подынтегральную функцию

(18) в виде:

(19)

Формула (19) определяет время проникания жесткого инструмента на глубину x.

Возникает вопрос: как воспользоваться полученными результатами (16), (19), (15)? В эти выражения входят неизвестные параметры a, b, c. Как их найти? Экспериментально устанавливается глубина полного погружения инструмента за один удар, т.е. вместо (16) получаем одно из уравнений для определения констант a, b, c:

(20)

Выражение (19) (в предположении, что слагаемыми со степенями  выше 1-ой можно  пренебречь) дает второе уравнение для определения a, b, c при известных x, t:

(21)

Чтобы получить третье уравнение, достаточно зафиксировать скорость инструмента в промежуточном положении при , обозначив при этом скорость движения хвостовика инструмента как . В этом случае имеем дополнительное уравнение: 

(22)

В итоге получаем три уравнения для нахождения 3-х параметров a, b, c.

Повторив аналогичные действия для другого инструмента, можно сравнить сопротивление среды в обоих случаях.

В работе дана методика определения сопротивления среды внедрению в нее жесткого инструмента путем многократного применения энергетического тождества. Показано, что в результате применения этой методики в процесс вычислений включаются все начальные условия задачи так, что итоговый интеграл вычисляется лишь путем разложения подынтегральной функции в сходящиеся ряды. Коэффициенты разложения функции сопротивления среды вычисляются с помощью данных о начальном состоянии положении инструмента в момент остановки и дополнительно в промежуточных точках.

При известной функции сопротивления среды внедрению положение пробойника для любого изменения активной силы, действующей на него, определяется на основе интегрирования уравнения движения.

Показано, что эффективность действия разрушающего инструмента оценивается энергией, направленной на преодоление сопротивления среды внедрению. Чем меньше затрачиваемая энергия, тем эффективнее действие инструмента. Данный принцип может служить критерием выбора разрушающего инструмента при одних и тех же начальных условиях.

Выводы

1. Для оценки сопротивления среды при внедрении в нее жесткого инструмента предлагается путь, основанный на применении энергетического тождества.

2. В случае сложной зависимости сопротивления среды от глубины проникновения возможно применение разложения абсолютно сходящихся рядов и последующего их интегрирования.