ВОЛНОВАЯ ДИНАМИКА СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕД С ТЕЧЕНИЯМИ

Булатов В.В.¹, Владимиров Ю.В.²

¹ORCID:  0000-0002-4390-4013, Доктор физико-математических наук, Институт проблем механики им А.Ю.Ишлинского РАН (Москва),  ²ORCID: 0000-0002-2139-5078, Кандидат физико-математических наук, Институт проблем механики им.А.Ю.Ишлинского РАН (Москва)

ВОЛНОВАЯ ДИНАМИКА СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕД С ТЕЧЕНИЯМИ

Аннотация

В статье рассмотрены вопросы, связанные с динамикой  внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах с горизонтальными сдвиговыми течениями. При больших вертикальных градиентах скорости  течения могут отдавать энергию волнам и колебания становятся неустойчивыми. Поглощение энергии волн происходит на критическом уровне.   Исследованы физические постановки задач, в которых могут возникать критические уровни. В первой задаче рассмотрены колебания дна, которые  начинаются в некоторый момент времени, и изучается установление критического уровня при больших временах.  Вторая задача, в которой могут возникать критические уровни – это задача о подветренных течениях. Рассмотрен поток стратифицированной среды, набегающий на  препятствие, за которым   возникают уходящие волны, при этом особенность на критическом уровне формируется вдали от препятствия.

Ключевые слова: внутренние гравитационные волны, горизонтальные сдвиговые течения, динамика стратифицированной среды, частота плавучести, критический уровень.

Bulatov V.V.¹, Vladimirov Yu.V.²

¹ORCID:  0000-0002-4390-4013, PhD in Mathematics, Institute for Problems in Mechanics RAS (Moscow), ²ORCID: 0000-0002-2139-5078, PhD in Mathematics, Institute for Problems in Mechanics RAS (Moscow)

WAVE DYNAMICS OF A STRATIFIED MEDIUM WITH FLOWS

Abstract

The article deals with the problems associated with internal gravitational waves dynamics in a stratified medium with horizontal shear flows. With large vertical gradients, the flow velocities can give energy to the waves which make oscillations unstable. Absorption of wave energy occurs at a critical level. Physical statements of problems with critical levels are considered. In the first problem, bottom oscillations that begin at some point in time are studied, as well as the establishment of the critical level at large times. The second problem, where critical levels can arise, is the problem of leeward currents. A stream of a stratified medium that runs into an obstacle with outgoing waves is considered, at that the feature at the critical level is being formed far from an obstacle.

Keywords: internal gravity waves, horizontal shear flows, dynamics of a stratified medium, buoyancy frequency, critical level.

В настоящей работе рассмотрены основные особенности волновой динамики внутренних гравитационных (ВГВ) волн в стратифицированной среде с горизонтальными сдвиговыми течениями. Как известно, ВГВ в этой среде описываются в приближении Буссинеска уравнением [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8]

  (1)

где - компоненты скорости течения на горизонте z,  - квадрат частоты Брента-Вяйсяля (частоты плавучести),  W - вертикальная компонента скорости ВГВ.

Уравнение (1) рассматривается в слое . На дне z =-H вертикальная компонента скорости равна нулю, на поверхности z=0 используется приближение «твердой крышки», отфильтровывающее поверхностные волны. В океане ВГВ могут обмениваться энергией со средними течениями. Если вертикальный градиент скорости течений велик, то средние течения могут отдавать энергию волнам, то есть соответствующие колебания могут быть неустойчивыми [7].

Известно условие Майлса, при выполнении которых не существуют неустойчивых собственных волн, имеющее вид [6]

Для ВГВ с гармонической зависимостью от времени и горизонтальных координат   (2)

где за ось x принято направление распространения волны, на горизонте z=Z, для которого x-компонента скорости течений U(z) совпадает с фазовой скоростью  , происходит поглощение волновой энергии, то есть передача части энергии волны средним течениям. Тогда уровень z=Z называется критическим уровнем.

Поведение коротковолновых пакетов ВГВ, приближающихся к критическому уровню обычно рассматривается в ВКБ-приближении при предположении, что U(z) и  медленно меняются на периоде осцилляций рассматриваемого волнового поля. Однако вопрос о том, в каких именно физических задачах могут возникать такие пакеты, как правило, не рассматривается. Кроме того обычно рассматриваются двумерные задачи, то есть решения не зависящие от горизонтальной переменной y. Тогда, подставляя (2) в (1) для определения функции w(z) получится уравнение Тейлора-Гольдштейна

Отсюда, в частности видно, что горизонт z=Z, на котором ω=kU(z) является особой точкой этого уравнения. Поведение функции U(z) по обе стороны от значения z=Z определяется правилом обхода этой особой точки. Физически осмысленное решение – это решение, полученное аналитическим продолжением  из области Imω>0.

Поле ВГВ  вблизи критического уровня можно представить в виде суммы двух  - соответствует волне, переносящей энергию снизу вверх, а  - волне, переносящей энергию сверху вниз. Каждая из этих волн при пересечении критического уровня скачком убывает по амплитуде в . Этот факт означает поглощение энергии ВГВ на критическом уровне, то есть передачу энергии средним течениям части энергии ВГВ [6,7].

Существуют следующие постановки задач, в которых могут возникать критические уровни. Можно предположить, что существуют собственные колебания с критическими уровнями, то есть решения уравнения Тейлора-Гольдштейна,  обращающиеся в нуль при  и для которых  при некотором z=Z. Однако при выполненном условии Майлса и строго монотонной функции U(z) таких собственных функций не существует. Поэтому для поля с заданным волновым числом k все собственные частоты  оказываются такими, чтобы не было критического уровня – любое из  удовлетворяет одному из неравенств .

Этот результат допускает простую физическую интерпретацию – при Imω>0 волновая энергия любого собственного колебания  должна сохраняться, а при наличии критического уровня часть энергии ВГВ поглощается, переходя в энергию средних течений.  Поэтому критические уровни могут возникать только для вынужденных колебаний с заданной частотой Ω, то есть, например, колебаний, описываемых неоднородным уравнением (1) с правой частью (распределением источников) вида  при некоторой функции f(z).

Технически проще рассматривать ВГВ, возбуждаемые не источниками, а колебаниями границы, то есть рассматривать однородное уравнение (1) с неоднородным граничным условием в виде:  при . Тогда определяя решение в форме (2), можно получить, что w(z) удовлетворяет уравнению Тейлора-Гольдштейна с заданными значениями ω и k и граничными условиями: . Очевидно, что такое решение уже обладает критическим уровнем. Однако, такая подстановка представляет собой физическую идеализацию, предполагающую, что осцилляции продолжаются неограниченно долго. Поэтому, более естественной представляется постановка задачи, в которой колебания дна начинаются в некоторый момент времени, то есть рассматривать решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям

и тождественно равное нулю при t<0. При t→∞ это решение должно стремиться к функции вида (2), то есть к функции, имеющей особую точку при z=Z. При любом конечном t это решение должно быть регулярной функцией Z, поэтому представляет интерес вопрос о том, как решение стремится к пределу t→∞, то есть, как устанавливается критический уровень.

Для частного случая постоянного распределения  и линейной функции U(z) можно показать, что решение W(t,x,z) совпадает с предельным решением (2) со сколь угодно малой относительной погрешностью ε для всех z вне переходной зоны – окрестности критического уровня z=Z, размер которой стремится к нулю при . При этом очевидно, что при . Остается открытым вопрос о том, как быстро устанавливается предельное решение, то есть вопрос какова в действительности ширина переходной зоны, описываемая функцией  , и как размер зоны зависит от параметров задачи: волнового числа, локального числа Ричардсона [5], [8].

Имеется также еще одна задача, в которой могут возникать критические уровни – это задача о подветренных течениях. Рассмотрим поток стратифицированной среды, набегающей на какое-либо препятствие – уступ дна, локальное возвышение дна. За этим препятствием  может возникнуть уходящая от него волна, и эта волна может возбуждать ВГВ. Тогда соответствующая граничная задач для уравнения (1) имеет вид

Отыскивается решение, гармонически зависящее от времени. Его единственность обеспечивается условием излучения, то есть полагая . Для комплексного ω решение однозначно, так как выполнение условия Майлса гарантирует отсутствие комплексных собственных чисел для уравнения Тейлора-Гольдштейна с нулевыми граничными условиями при  . Далее ищется предельный переход решения при . В данной задаче особенность поля ВГВ на критическом уровне формируется при .

Список литературы / References

1. Bulatov V.V. Internal gravity waves: theory and applications / V.V.Bulatov, Yu.V.Vladimirov. - Moscow: Nauka Publishers,  2007. - 304 p.
2. Булатов В.В. Динамика негармонических волновых пакетов в стратифицированных средах / В.В.Булатов, Ю.В.Владимиров. - М.: Наука, 2010. - 470 с.
3. Bulatov V.V. Wave dynamics of stratified mediums / V.V.Bulatov, Yu.V.Vladimirov. - Moscow: Nauka Publishers, 2012. - 584 p.
4. Булатов В.В. Волны в стратифицированных средах / В.В.Булатов, Ю.В.Владимиров. - М.: Наука, 2015. - 735 с.
5. Sutherland B.R. Internal gravity waves / B.R.Sutherland. - Cambridge: Cambridge University Press, 2010. - 394 p.
6. Miropol'skii Yu.Z. Dynamics of internal gravity waves in the ocean /Yu.Z.Miropol'skii, O.V.Shishkina. - Boston: Kluwer Academic Publishers, 2001. - 421 p.
7. Pedlosky J. Waves in the ocean and atmosphere: introduction to wave dynamics / J.Pedlosky. -  Berlin–Heidelberg: Springer, 2010. - 260 p.
8. Massel S.R. Internal gravity waves in the shallow seas / S.R.Massel. - Berlin: Springer, 2015. – 163 p.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Bulatov V.V. Internal gravity waves: theory and applications / V.V.Bulatov, Yu.V.Vladimirov. - Moscow: Nauka Publishers,  2007. - 304 p.
2. Bulatov V.V. Dinamika negarmonicheskih volnovih paketov v stratificirovannih sredah [Non-harmonic wave packets dynamics in stratified medium] / V.V.Bulatov, Yu.V.Vladimirov. - M.: Nauka, 2010. - 470 p. [in Russian]
3. Bulatov V.V. Wave dynamics of stratified mediums / V.V.Bulatov, Yu.V.Vladimirov. - Moscow: Nauka Publishers, 2012. - 584 p.
4. Bulatov V.V. Volni v stratificirovannih sredah [Waves in stratified medium] / V.V.Bulatov, Yu.V.Vladimirov. - M.: Nauka, 2015. - 735 p. [in Russian]
5. Sutherland B.R. Internal gravity waves / B.R.Sutherland. - Cambridge: Cambridge University Press, 2010. - 394 p.
6. Miropol'skii Yu.Z. Dynamics of internal gravity waves in the ocean /Yu.Z.Miropol'skii, O.V.Shishkina. - Boston: Kluwer Academic Publishers, 2001. - 421 p.
7. Pedlosky J. Waves in the ocean and atmosphere: introduction to wave dynamics / J.Pedlosky. -  Berlin–Heidelberg: Springer, 2010. - 260 p.
8. Massel S.R. Internal gravity waves in the shallow seas / S.R.Massel. - Berlin: Springer, 2015. – 163 p.