ОЦЕНКА НОРМЫ ПРОИЗВОДНЫХ Λ-ЯДЕР ДИРИХЛЕ

Научная статья
Выпуск: № 6 (37), 2015
Опубликована:
2015/07/15
PDF

Шаянбаева Ш.О.

Магистрант, Казахский Национальный Университет им. Аль-Фараби

ОЦЕНКА НОРМЫ ПРОИЗВОДНЫХ Λ-ЯДЕР ДИРИХЛЕ

Аннотация

В статье установлены оценки норм производных Λ-ядер Дирихле DQ(Λ,N)в Lp, когда спектр приближающих полиномов лежит в множествах типа  гиперболических крестов.

Ключевые слова: многомерное ядро Дирихле с произвольным спектром, (r,α)-производная функции, гиперболические кресты.

Shayanbayeva S.О.

 Postgraduate student, Al-Farabi Kazakh National University

ESTIMATION OF NORMS OF DERIVATIVES OF DIRICHLET Λ -KERNELS

 Abstract

The article describes the process of getting estimations of norms of derivatives of Dirichlet Λ-kernels for DQ(Λ,N) in Lp by when the spectrum lies in approximating polynomials sets the type of hyperbolic crosses.

Keywords: multi-dimensional Dirichlet kernel with an arbitrary spectrum, (r,α)-derivative of function, hyperbolic crosses.

Пусть  Λ(t)=Λ(t1,... , td) непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0,1]s функция такая, что Λ(t) > 0 и Λ(t) = 0, смотря по тому 08-06-2015 16-38-53 или 08-06-2015 16-39-14.

Пусть даны числа r>0 и b(j=1,...,d).

Для t=(t1,...,td), tj>0, j=1,...,d, определим функцию Λ*(t) следующим образом: если tj>0, j=1,...,d, то

09-06-2015 08-35-45

если 09-06-2015 08-36-03; здесь

09-06-2015 08-36-19

Далее, не уменьшая, общности можем считать, что b1≤...≤bd.

Функция одной переменной φ(τ)≥0 удовлетворяет условию (Sα), если φ(τ)α почти возрастает при некотором 0<α<1, т.е. найдется число C>0, не зависящее от τ1 и τ2, такое, что

09-06-2015 08-46-02

Также вводится условие (S) на φ(t) как выполнение условия (Sα) для некоторого α, 0<α<1, и в этом смысле (S)=U0<α<1(Sα).

Будем говорить, что функция Λ(t)= Λ(t1,…,td) удовлетворяет условиям (Sα) при α=(α1,…,αd) если при каждом j=1,...,d функция Λ(t) удовлетрворяет условию (Sαj) по переменной tj при фиксированных остальных.

Легко заметить, что заданная функция Λ*(t) удовлетворяет условию (Sα) при rи bjR  для некоторого α>0

Введем следующие множества (N – множество целых положительных чисел, Z–множество целых чисел)

09-06-2015 08-59-21

где

09-06-2015 08-59-34

для некоторого lN легко заметить что θ(N)=Γ(21N)\Γ(N)

Также ниже мы будем пользоваться обозначениями 09-06-2015 09-05-02. При положительных A и В запись B<<A будет означать B≤C(α,β,…)·A, где C(α,β,…)  некоторые положительные постоянные, зависящие лишь от указанных в скобках параметров, а запись 09-06-2015 09-08-26 означает что A<<B<<A. Вообще говоря, всюду ниже параметры α,β,… однозначно определяются по смыслу утверждений, поэтому в целях сокращения записей, их указывать не будем.

Для доказательства основного результата данной работы, нам понадобятся следующие вспомогательные результаты.

Лемма 1. (см. [1]) Сумма

09-06-2015 09-09-33

по порядку равна:

  1. 09-06-2015 09-09-54
  2. 09-06-2015 09-10-20
  3. 09-06-2015 09-10-38
  4. 09-06-2015 09-10-46

Лемма 2. (см. [2]) Пусть функция типа смешанного модуля непрервности порядка l Λ(t)= Λ(t1,…,td) удовлетворяет условию (Sα). Тогда для 0<p<∞ справедлива оценка

 09-06-2015 09-27-06

Доказательство: применим индукцию по размерности d. При d=1 по свойству (S) имеем

09-06-2015 09-27-27

Где n0 - наименьшее натуральное число, при котором Λ(2-n0)<1/N. Предположим, что оценка (3) верная для размерности d-1. Докажем ее для размерности d. Положим

09-06-2015 09-30-16

Тогда (к первой сумме применим предположение индукции, а ко второй сумме – свойство (Sα)).

09-06-2015 09-31-17

откуда, в силу одномерного случая, получаем утверждение леммы 2.

Лемма 3. (см. [2]) Пусть Λ(t) удовлетворяет условию (Sα) при 0<α<1 таком, что 0<μ <α. Тогда при 0<p<∞  справедлива оценка

09-06-2015 09-34-31

Доказательство: как и в лемме 2, применим индукцию по размерности. При d=1  имеем

09-06-2015 09-34-59

Применяя к первой сумме предположение индукции, а ко второй сумме условие (Sα), получаем леммы 3.

Положим

09-06-2015 09-35-42

Функция DQ(Λ,N)(x) называется многомерным Λ-ядром Дирихле (см., например,[3]).

Теорема 1 (см.[3]). Пусть 1<p<∞ , βRs  . Тогда

09-06-2015 09-39-11

где  09-06-2015 09-39-29 – β-производная функции DQ(Λ,N)(x)

В работе нами доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть 09-06-2015 09-48-30. Тогда справедлива следующая оценка

09-06-2015 09-48-38

Доказательство. Используя утверждения теоремы 1 и леммы 3, получим

09-06-2015 09-48-51

Далее применяя лемму 1, в случае когда 09-06-2015 09-49-06, получаем

09-06-2015 09-49-23

Где E(N,p) – величина по порядку равна:

09-06-2015 09-50-08

09-06-2015 09-50-2109-06-2015 09-50-43   09-06-2015 09-50-56

Таким образом, теорема доказана.

  

Литература

  1. Пустовойтов Н. Н. О приближение периодических функций из классов линейными методами // Математический сборник, 2012. Том 203. №1. С.99-114.
  2. Пустовойтов Н. Н. Приближение многомерных функций с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности // Математические заметки. 1999. Т 65. №1. С.107-117.
  3. Сихов М.Б. Неравенства типа Бернштейна, Джексона-Никольского и оценки норм производных ядер Дирихле // Матем.заметки, 2006, Т.80, вып.1, с.95-104.
  4. Сихов М. Б. О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик // Докторская диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук. Казань, 2010. 186 с.
  5. Сихов М.Б. Об оценках норм производных ядра Дирихле с гармониками // Известия НАН РК. Сер. физико-математическая , 2003, №1, с.57-62

References

  1. Pustovojtov N. N. O priblizhenii periodicheskih funkcij iz klassov  lineynimi metodami// Matematicheskij sbornik. 2012. T 203. №1. S.99-114.
  2. Pustovojtov N. N. Priblizhenie mnogomernyh funkcij s zadannoj mazhorantoj smeshannyh modulej nepreryvnosti // Matematicheskie zametki. 1999. T 65. №1. S.107-117.
  3. Sikhov M.B. Neravenstva tipa Bernshtejna, Djeksona-Nikolskogo I ocenki norm proizvodnyh yader Dirikhle // Matem.zametki, 2006, T.80, vip.1, s.95 – 104.
  4. Sikhov M. B. O nekotoryh zadachah mnogomernoj teorii priblizhenij raznyh metrik // Doktorskaja dissertacija na soiskanie stepeni doktora fiziko-matematicheskih nauk. Kazan’, 2010. 186 s.
  5. Sikhov M.B. Ob ocenkah norm proizvodnyh yadra Dirikhle s garmonikami // Izvestiya NAN RK . ser. Fiziko-matematicheskaya, 2003, №1, s.57-62.

Список литературы