ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ МОДЕЛИ ЗАМАГНИЧЕННОГО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА
ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ МОДЕЛИ ЗАМАГНИЧЕННОГО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА
Аннотация
Данная работа является продолжением работы , в которых в качестве модели солнечной магнитной аркады рассматривался вращающийся замагниченный цилиндрический слой. В отличие от , в данном случае мы в качестве модели рассматриваем не цилиндрический слой, а сплошной цилиндр. Как показал анализ, ситуация отличается от результатов в , а именно как и прежде развивается два семейства мод. Многомодовый характер развития неустойчивости можно объяснить наличием границы в исходной модели цилиндрического слоя, что приводит к гироскопическому и фазовому резонансу собственных мод вращающегося цилиндра. Однако в отличие от результатов в , мода БМЗВ всюду устойчива, а гироскопическая мода, обусловленная центробежными эффектами — имеет неустойчивый характер и может в результате приводить к формированию магнитных аркад.
1. Введение
В данной работе предлагается рассмотреть модификацию модели, предложенной в
, , , а именно перейти от рассмотрения цилиндрического слоя к сплошному цилиндру. Такая геометрическая конфигурация, на наш взгляд, более естественна и может, например, возникать в результате всплывания вещества плазмы на границах ячеек супергрануляции . Численное моделирование процессов, протекающих в активных областях на Солнце, в частности в солнечных магнитных аркадах, является актуальной задачей в теоретической физике Солнца. В большинстве современных работ, посвящённых моделированию солнечных магнитных аркад, основное внимание уделяется процессам магнитного пересоединения и формированию магнитных жгутов. Одним из важнейших направлений является моделирование всплытия магнитного потока из конвективной зоны Солнца в корону. Предполагается, что именно сдвиговые движения фотосферы, образование токовых слоёв и последующее магнитное пересоединение определяют эволюцию аркадных структур, их неустойчивость и развитие эруптивных процессов , , , . Мы же в данной работе предлагаем механизм формирования магнитных аркад, основанный на действии центробежной неустойчивости, возникающей во вращающейся цилиндрической конфигурации вещества.Как и в работах
, , , мы проводим линейный анализ устойчивости модели в рамках уравнений идеальной магнитной гидродинамики. В работе краевые условия на нижней границе цилиндрического слоя были найдены в результате решения соответствующих дифференциальных уравнений во внешней области r<R1. При переходе к сплошному цилиндру приходится задавать краевые условия в точке r=0 вручную, исходя из естественных предположений. Как и в полученная задача типа Штурма-Лиувилля решается численно, методом стрельб на ЭВМ.Численный метод стрельбы
, является одним из методов численного решения краевых задач. Рассмотрим, например, краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядкаТребуется подобрать такой параметр стрельбы γ, чтобы решение u(x,γ) в точке x=b совпало с uright. Итак, по параметру γ мы находим решение задачи Коши u(x), далее рассматриваем |u(b)-uright|, то есть имеется функция
Целью является решить уравнение F(γ)=0. В нашем случае уравнения такого типа мы решаем классическим методом касательных, а соответствующую систему дифференциальных уравнения для заданной частоты — методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
Отметим, что солнечные магнитные аркады, корональные полости и спокойные протуберанцы являются важными объектами изучения в солнечной физике, а понимание механизмов их формирования на начальной стадии и динамики развития имеет большое значение в теоретической астрофизике. В этом контексте модель замагниченного вращающегося цилиндра представляет интерес для исследования физических механизмов магнитной структуры различных объектов в солнечной фотосфере и нижней хромосфере. Кроме того, исследование устойчивости моделей физических систем требует разработки и применения математических методов, таких как, например, численные методы и моделирование, что безусловно, может оказаться полезным в целом для математической физики.
2. Методы и принципы исследования
Как уже отмечалось, в качестве модели рассматриваем вращающийся замагниченный газовый цилиндр. Во внутренней области цилиндра предполагаем, что скорость и магнитное поле вещества азимутальны. Во внешней области считаем, что магнитное поле направлено вдоль образующей цилиндра, а вещество изначально покоится.
Схематическое изображение модели
Здесь B, V, ρ, Ω магнитное поле, скорость вещества, плотность и угловая скорость сооответственно. При этом не учитываем силу тяжести. Кроме того, исходя из физических соображений, должно выполняться условие баланса сил:
3. Основные уравнения
Рассмотрим систему уравнений магнитной гидродинамики:
Будем проводить линейный анализ устойчивости данной модели. Для этого, применим стандартную процедуру линеаризации системы, смысл которой состоит в отбрасывании нелинейных членов в разложении в ряд Тейлора соответствующих функции в системе. Все величины представляем в виде суммы равновесного значения и малого возмущения:
при 0<r<R и
При 0<r<R получим систему:
Применим к полученной линейной системе дифференциальных уравнений в частных производных метод нормальных мод с целью сведения ее к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого решение f ̃(r,φ,z,t) представляем в виде:
В результате получим систему
Здесь
а она, в свою очередь, сводится к модифицированному уравнению Бесселя:
где Km(χ⋅rb) — функция Макдональда
.4. Алгоритм
1.Задаем начальное значение безразмерной комплексной частоты α
2. Вручную задаем значение безразмерного давления в точке r=0:pin(0). В качестве основного значение будем считать, что pin(0) =1.
3. Вручную задаем значение безразмерного смещения в точке r=0:ξin(0). В качестве основного значения будем считать, что ξin(0) =0.
4.Методом Рунге-Кутта интегрируем систему (1) от 0 до
5. Так как
6. Из второго уравнения системы (2) находим амплитудную постоянную B1, а из уравнения (3) находим pex(R)
7. Добиваемся с использованием метода Ньютона выполнения условия для выполнения баланса возмущенных сил на границе r=R:
5. Основные результаты
Поставленная краевая задача на собственные значения частоты решалась численно, методом стрельб на ЭВМ. Параметры численных расчетов совпадают с параметрами из
и приводятся в подписях для рисунка.
Безразмерная частота в единицах угловой скорости вращения (слева) и инкремент (справа) в зависимости от безразмерного волнового числа d=kz⋅R для осесимметричной моды
m=0; M=1,5; s=6.0; F=0,475; Aex2=0,01, Ain2=0,375
Безразмерная частота в единицах угловой скорости вращения (слева) и инкремент (справа) в зависимости от безразмерного волнового числа d=kz⋅R для осесимметричной моды
m=0; пунктирной линией показана гироскопическая асимптотика; M=1,5; s=6.0; F=0,475; Aex2=0.01, Ain2=0,375
То же, что и на рис. 2, но при для азимутальной моды m=2
пунктирной линией показана асимптотика для гироскопической моды Re ω=(m+ 2)⋅Ω
То же, что и на рис. 2, но при для азимутальной моды m=2
пунктирной линией показана асимптотика для гироскопической моды Re ω=(m- 2)⋅Ω
То же, что и на рис. 2, но при для азимутальной моды m=8
пунктирной линией показана асимптотика для гироскопической моды Re ω=(m- 2)⋅Ω
То же, что и на рис. 2
пунктирной линией показана асимптотика БМЗВ
То же, что и на рис. 6
пунктирной линией показана асимптотика БМЗВ
6. Обсуждение
Отметим, что численные расчеты проводились при следующих значениях безразмерных параметров рассматриваемой задачи: M=1,5; s=6.0; F=0,475; Aex2=0.01, Ain2=0,375; Также отметим, что мы использовали следующие значения безразмерных давления и смещения: pin(0) =1 , ξin(0) =0. Такие значения были выбраны исходя из требования регулярности решения на оси цилиндра.
Как и в работе
, мы видим, что развивается неустойчивая гироскопическая мода Re ω≃(m±2)⋅Ω , однако, в отличие от , в данном случае нет многомодового характера развития неустойчивости для данного семейства мод. Как видно, для азимутальной моды m=2 одна из веток для гироскопической моды всюду устойчива, а для второй ветки Re ω=(m-2)⋅Ω неустойчивость затухает. Аналогичная ситуация наблюдается и для других азимутальных мод m, кроме m=0: одна ветка гироскопической моды — всюду устойчива, а вторая ветка (Re ω=(m- 2)⋅Ω) неустойчива, но при этом в некоторых случаях инкремент не затухает. Например, как видно на рисунке 6, инкремент достаточно стабилен. Помимо неустойчивой гироскопической моды, развивается и мода БМЗВ, однако, в отличие от ситуации, рассмотренной в , в данном случае БМЗВ всюду устойчивы, причем также отсутствует многомодовость. В основной вклад в развитие неустойчивости вносили именно БМЗВ, а в данном случае — вносит именно гироскопическая мода, обусловленная развитием центробежной неустойчивости , . Отметим, что в данном случае отсутствие внутренней границы может являться основной причиной того, что БМЗВ — становятся устойчивыми. Именно внутренняя граница обычно является источником дополнительной свободы для резонансного обмена энергией между модами. В сплошном цилиндре — осевая область может, как бы подавлять радиальные деформации, вследствие чего БМЗВ-мода энергетически ослабевает в сравнении с ситуацией с двумя границами. На наш взгляд именно отсутствие резонанса между внутренней и внешней поверхностями приводит к подавлению моды БМЗВ. При этом отсутствие внутренней границы цилиндра не повлияло на формирование неустойчивой гироскопической моды, поскольку в данном случае она связана с центробежными вращательными эффектами сплошного цилиндра. Многомодовый характер развития неустойчивости в можно объяснить наличием двух границ в исходной модели цилиндрического слоя, что приводило к гироскопическому и фазовому резонансу собственных мод вращающегося цилиндра. Если экстраполировать полученные результаты на условия фотосферы и хромосферы, то можно предположить, что во внутренних слоях фотосферы, где магнитное вещество аркады только формируется и имеет конфигурацию, близкую к сплошному цилиндру, преимущественно развивается гироскопическая (центробежная) неустойчивость. По мере подъёма вещества в хромосферу и корону магнитная структура расширяется и разрежается, вследствие чего конфигурация становится ближе к цилиндрическому слою. Одновременно возрастает роль вращательных эффектов, что создаёт условия не только для дальнейшего развития центробежной неустойчивости, но и для возбуждения БМЗВ-мод, устойчивых в сплошном цилиндре. Совместное развитие этих механизмов может приводить к фрагментации исходной цилиндрической структуры на отдельные магнитные арки.7. Заключение
Таким образом, полученные в работе результаты могут интерпретироваться как один из возможных механизмов формирования фрагментированной структуры на линейной стадии развития таких объектов как магнитные аркады, корональные полости и спокойные протуберанцы, что впоследствии может приводить уже на нелинейной фазе к фрагментации на отдельные арки и формированию солнечных магнитных аркад.