2303-9868 2227-6017 Международный научно-исследовательский журнал 2303-9868 ООО Цифра 10.60797/IRJ.2026.168.93 Brief communication ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ МОДЕЛИ ЗАМАГНИЧЕННОГО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА Бисенгалиев Ренат Александрович rinus5637@mail.ru 1 Тугульчиева Виктория Станиславовна tugvicky@yandex.ru 1 Калмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовикова 17 06 2026 2026 8 168 1 8 30 05 2024 05 06 2026 Copyright: © 2022 The Author(s) 2022 This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited. See http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ .

Данная работа является продолжением работы [1], в которых в качестве модели солнечной магнитной аркады рассматривался вращающийся замагниченный цилиндрический слой. В отличие от [1], в данном случае мы в качестве модели рассматриваем не цилиндрический слой, а сплошной цилиндр. Как показал анализ, ситуация отличается от результатов в [1], а именно как и прежде развивается два семейства мод. Многомодовый характер развития неустойчивости можно объяснить наличием границы в исходной модели цилиндрического слоя, что приводит к гироскопическому и фазовому резонансу собственных мод вращающегося цилиндра. Однако в отличие от результатов в [1], мода БМЗВ всюду устойчива, а гироскопическая мода, обусловленная центробежными эффектами — имеет неустойчивый характер и может в результате приводить к формированию магнитных аркад.

 магнитные аркады магнитная гидродинамика центробежная неустойчивость линейный анализ устойчивости HTML-content

1. Введение

В данной работе предлагается рассмотреть модификацию модели, предложенной в

[1][2][3][4][11][12][13][15]

Как и в работах

[1][2][3][1][1]

Численный метод стрельбы

[5][6]

u ′ ′ = f ( u , u ′ , x ) , x ∈ ( a ,   b ] u ( a ) = u left  , u ′ ( a ) = γ

Требуется подобрать такой параметр стрельбы γ, чтобы решение u(x,γ) в точке x=b совпало с urightMissing Mark : sub. Итак, по параметру γ мы находим решение задачи Коши u(x), далее рассматриваем |u(b)-uright⁡Missing Mark : sub|, то есть имеется функция

F ( γ ) = | u ( b ) − u right  |

Целью является решить уравнение F⁡(γ)=0. В нашем случае уравнения такого типа мы решаем классическим методом касательных, а соответствующую систему дифференциальных уравнения для заданной частоты — методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Отметим, что солнечные магнитные аркады, корональные полости и спокойные протуберанцы являются важными объектами изучения в солнечной физике, а понимание механизмов их формирования на начальной стадии и динамики развития имеет большое значение в теоретической астрофизике. В этом контексте модель замагниченного вращающегося цилиндра представляет интерес для исследования физических механизмов магнитной структуры различных объектов в солнечной фотосфере и нижней хромосфере. Кроме того, исследование устойчивости моделей физических систем требует разработки и применения математических методов, таких как, например, численные методы и моделирование, что безусловно, может оказаться полезным в целом для математической физики.

2. Методы и принципы исследования

Как уже отмечалось, в качестве модели рассматриваем вращающийся замагниченный газовый цилиндр. Во внутренней области цилиндра предполагаем, что скорость и магнитное поле вещества азимутальны. Во внешней области считаем, что магнитное поле направлено вдоль образующей цилиндра, а вещество изначально покоится.

Схематическое изображение модели

Схематическое изображение модели [LATEX_FORMULA]\mathbf{B}=B_{i n}(r) \cdot \mathbf{e}_{\varphi}, 0<r<R[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]\mathbf{B}=B_{e x}(r) \cdot \mathbf{e}_{z}, r>R[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]\mathbf{V}=V_{i n}(r) \cdot \mathbf{e}_{\varphi}, 0<r<R[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]\mathbf{V}=0, r>R[/LATEX_FORMULA] ρ in  =  const  ρ e x =  const  ∂ V ∂ r = V r = Ω = c o n s t ∂ B ∂ r = B r =  const 

Здесь

P i n ( R ) + B i n 2 ( R ) 8 π = P e x ( R ) + B e x 2 ( R ) 8 π = c o n s t

3. Основные уравнения

Рассмотрим систему уравнений магнитной гидродинамики:

∂ 𝐕 ∂ t + ( 𝐕 ∇ ) 𝐕 = − 1 ρ ∇ P − 1 8 π ρ ∇ 𝐁 2 + 1 4 π ρ ( 𝐁 ∇ ) 𝐁 , ∂ 𝐁 ∂ t = ( 𝐁 ∇ ) 𝐕 − ( 𝐕 ∇ ) 𝐁 − 𝐁 div 𝐕 , div 𝐁 = 0 , ∂ ρ ∂ t + ( 𝐕 ∇ ) ρ + ρ div 𝐕 = 0 ∂ P ∂ t + ( 𝐕 ∇ ) P = c i 2 [ ∂ ρ ∂ t + ( V ∇ ) ρ ] , 5 3 P i n = c i n 2 ρ i n , 5 3 P e x = c e x 2 ρ e x

Будем проводить линейный анализ устойчивости данной модели. Для этого, применим стандартную процедуру линеаризации системы, смысл которой состоит в отбрасывании нелинейных членов в разложении в ряд Тейлора соответствующих функции в системе. Все величины представляем в виде суммы равновесного значения и малого возмущения:

ρ ( r , φ , z , t ) = ρ i ( r ) + ρ ~ ( r , φ , z , t ) P ( r , φ , z , t ) = P i ( r ) + p ~ ( r , φ , z , t ) 𝐕 ( r , φ , z , t ) = V i n ( r ) · 𝐞 φ + 𝐯 ~ ( r , φ , z , t ) , 𝐁 ( r , φ , z , t ) = B i n ( r ) · 𝐞 φ + 𝐛 ~ ( r , φ , z , t )

при 0<r<R и

[LATEX_FORMULA]\mathbf{V}(r, \varphi, z, t)=\tilde{\mathbf{v}}(r, \varphi, \mathrm{z}, \mathrm{t}), \mathrm{r}&gt;\mathrm{R}[/LATEX_FORMULA] [LATEX_FORMULA]\mathbf{B}(r, \varphi, z, t)=B_{e x}(r) \cdot \mathbf{e}_{z}+\tilde{\mathbf{b}}(r, \varphi, \mathrm{z}, \mathrm{t}), \mathrm{r}&gt;\mathrm{R}[/LATEX_FORMULA]

При 0<r<R получим систему:

∂ 𝐯 ~ ∂ t + ( 𝐕 i n ∇ ) 𝐯 ~ + ( 𝐯 ~ ∇ ) 𝐕 i n = − 1 ρ i n ∇ p ~ − 1 4 π ρ i n ∇ ( 𝐁 i n 𝐛 ~ ) + + 1 4 π ρ i n ( 𝐁 i n ∇ ) 𝐛 ~ + 1 4 π ρ i n ( 𝐛 ~ ∇ ) 𝐁 i n + ρ ~ 4 π ρ i n 2 · B i n 2 r · 𝐞 𝐫 , ∂ 𝐛 ~ ∂ t = ( 𝐁 i n ∇ ) 𝐯 ~ − ( 𝐛 ~ ∇ ) 𝐕 i n − ( 𝐕 i n ∇ ) 𝐛 ~ − ( 𝐯 ~ ∇ ) 𝐁 i n − 𝐁 i n d i 𝐯 ~ div 𝐛 ~ = 0 , ∂ ρ ~ ∂ t + ( 𝐕 i n ∇ ) ρ ~ + ( 𝐯 ~ ∇ ) ρ i n + ρ i n div 𝐯 ~ = 0 ∂ p ~ ∂ t + ( 𝐕 i n ∇ ) p ~ + ( 𝐯 ~ ∇ ) P i n = c i n 2 [ ∂ ρ ~ ∂ t + ( 𝐕 i n ∇ ) ρ ~ + ( 𝐯 ~ ∇ ) ρ i n ] , 5 3 P i n = c i n 2 ρ i n , 5 3 P e x = c e x 2 ρ e x

Применим к полученной линейной системе дифференциальных уравнений в частных производных метод нормальных мод с целью сведения ее к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого решение f ̃(r,φ,z,t) представляем в виде:

f ~ ( r , φ , z , t ) = f ^ ( r ) · exp ( i · m · φ + i · k z · z − i · ω · t )

В результате получим систему

{ d ξ d r b = C 1 ( r b ) · p + C 2 ( r b ) · ξ d p d r b = C 3 ( r b ) · p + C 4 ( r b ) · ξ

Здесь

ξ = ξ ^ R p = p ^ ρ e x c e x 2 r b = r R ξ ^ v ^ r = − i · ω ^ · ξ ^ ω ^ = ω − m · Ω

[1][1]

{ d ξ d r b = C 5 ( r b ) · p − ξ r b d p d r b = C 6 ( r b ) · ξ

а она, в свою очередь, сводится к модифицированному уравнению Бесселя:

r b 2 d 2 p d r b 2 + r b d p d r b − ( m 2 + χ 2 r b 2 ) p = 0 p e x = B 1 · K m ( χ · r b )

где

[7]

4. Алгоритм

1.Задаем начальное значение безразмерной комплексной частоты α

2. Вручную задаем значение безразмерного давления в точке r=0:pinMissing Mark : sub(0). В качестве основного значение будем считать, что pinMissing Mark : sub(0) =1.

3. Вручную задаем значение безразмерного смещения в точке r=0:ξinMissing Mark : sub(0). В качестве основного значения будем считать, что ξinMissing Mark : sub(0) =0.

4.Методом Рунге-Кутта интегрируем систему (1) от 0 до

5. Так как

ξ ^ e x = ξ ^ i n ξ ^ e x ( R )

6. Из второго уравнения системы (2) находим амплитудную постоянную B1Missing Mark : sub, а из уравнения (3) находим pexMissing Mark : sub(R)

7. Добиваемся с использованием метода Ньютона выполнения условия для выполнения баланса возмущенных сил на границе r=R:

p ^ e x + 1 4 π ( 𝐁 e x , 𝐛 ^ ) = p ^ i n + 1 4 π ( 𝐁 i n , 𝐛 ^ ) + Ω 2 · R · ξ ^ i n · ρ i n

5. Основные результаты

Поставленная краевая задача на собственные значения частоты решалась численно, методом стрельб на ЭВМ. Параметры численных расчетов совпадают с параметрами из

[1]

Безразмерная частота в единицах угловой скорости вращения (слева) и инкремент (справа) в зависимости от безразмерного волнового числа d=kz⋅R для осесимметричной моды

Безразмерная частота в единицах угловой скорости вращения (слева) и инкремент (справа) в зависимости от безразмерного волнового числа d=kz⋅R для осесимметричной моды

Безразмерная частота в единицах угловой скорости вращения (слева) и инкремент (справа) в зависимости от безразмерного волнового числа d=kz⋅R для осесимметричной моды

Безразмерная частота в единицах угловой скорости вращения (слева) и инкремент (справа) в зависимости от безразмерного волнового числа d=kz⋅R для осесимметричной моды

То же, что и на рис. 2, но при для азимутальной моды m=2

То же, что и на рис. 2, но при для азимутальной моды m=2

То же, что и на рис. 2, но при для азимутальной моды m=2

То же, что и на рис. 2, но при для азимутальной моды m=2

То же, что и на рис. 2, но при для азимутальной моды m=8

То же, что и на рис. 2, но при для азимутальной моды m=8

То же, что и на рис. 2

То же, что и на рис. 2

То же, что и на рис. 6

То же, что и на рис. 6

6. Обсуждение

Отметим, что численные расчеты проводились при следующих значениях безразмерных параметров рассматриваемой задачи: M=1,5; s=6.0; F=0,475; AexMissing Mark : sub2=0.01, AinMissing Mark : sub2Missing Mark : sup=0,375; Также отметим, что мы использовали следующие значения безразмерных давления и смещения: pinMissing Mark : sub(0) =1 , ξinMissing Mark : sub(0) =0. Такие значения были выбраны исходя из требования регулярности решения на оси цилиндра.

Как и в работе

[1][8][1][1][1][9][10][1]

7. Заключение

Таким образом, полученные в работе результаты могут интерпретироваться как один из возможных механизмов формирования фрагментированной структуры на линейной стадии развития таких объектов как магнитные аркады, корональные полости и спокойные протуберанцы, что впоследствии может приводить уже на нелинейной фазе к фрагментации на отдельные арки и формированию солнечных магнитных аркад.

 Additional File

The additional file for this article can be found as follows:

Further description of analytic pipeline and patient demographic information. DOI: https://doi.org/10.60797/IRJ.2026.168.93

Acknowledgements

Competing Interests

Бисенгалиев Р.А. Резонансно-центробежные эффекты как фактор формирования солнечных магнитных аркад / Р.А. Бисенгалиев, В.В. Мусцевой // Астрономический журнал. —2010. —№ 5. — Т. 87. — С. 513–523. Бисенгалиев Р.А. Центобежные эффекты и неустойчивость Кельвина-Гельмгольца в корональных кавернах / Р.А. Бисенгалиев, В. В. Мусцевой, А. А. Соловьев // Астрономический журнал. — 2014. — № 4. — Т. 91. —С. 308–319. Бисенгалиев Р.А. Резонансно-центробежные эффекты как фактор формирования солнечных магнитных аркад. Учет влияния динамического охлаждения высвечиванием / Р.А. Бисенгалиев, В.В. Мусцевой // Астрономический журнал. — 2013. — № 6. — Т. 90. — С. 512–528. Григорьев В.М. Появление магнитного потока на солнечной поверхности и рождение активных областей / В.М. Григорьев, Л. В. Ермакова, А. И. Хлыстова // Астрономический журнал. — 2009. — № 9. — Т. 86. — С. 935–944. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. — Москва: Наука, 1978. — 512 с. Михаляев Б.Б. Компьютерное моделирование в механике сплошных сред: учебное пособие / Б.Б. Михаляев, В.В. Мусцевой, Н.М. Кузьмин. — Элиста: Изд-во КалмГУ, 2012. — 78 с. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / М. Абрамовиц, И. Стиган. — Москва: Наука, 1979. — 832 с. Ландау Л.Д. Курс теоретической физики / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — Mосква: Наука, 1986. — Т. VI. Гидродинамика. — 736 с. Fridman A.M. Centrifugal instability in rotating shallow water and the problem of the spiral structure in galaxies / A.M. Fridman, M.G. Morozov, M.V. Nezlin [et al.] // Physics Letters A. —1985. — Vol. 109. — № 5. — P. 228–231. Морозов А.Г. Генерация спиральной структуры в плоских галактиках с двугорбыми кривыми вращения / А.Г. Морозов // Астрономический журнал. —1979. — Т. 56. — С. 498–507. Choe G. Evolution of Solar Magnetic Arcades. I. Ideal MHD Evolution under Footpoint Shearing / G. Choe, L.C. Lee // The Astrophysical Journal. — 1996. — № 472. — P. 360–371. — DOI: 10.1086/178069. Choe G. Evolution of Solar Magnetic Arcades. II. Effect of Resistivity and Solar Eruptive Processes / G. Choe, L.C. Lee // The Astrophysical Journal. — 1996. — № 472. — P. 372–388. — DOI: 10.1086/178070. MacTaggart D. On magnetic reconnection and flux rope topology in solar flux emergence / D. MacTaggart, A.L. Haynes // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2014. — Vol. 438. — Iss. 2. — P. 1500–1506 Janvier M. Three-dimensional magnetic reconnection and its application to solar flares / M. Janvier // Journal of Plasma Physics. — 2017. — № 83 (1). Bardakov V.M. A prominence model in a simple magnetic arcade / V.M. Bardakov // Solar Physics. — 1998. — № 179. — P. 327–347.