Методы вычисления второго вертикального градиента аномалий силы тяжести

В настоящее время очевидными являются успехи в моделировании характеристик ГПЗ различными методами на основе гармонических коэффициентов современных глобальных моделей геопотенциала.

На протяжении нескольких десятилетия гармонический анализ и синтез занимает ведущее место при обработке глобальных данных о гравитационном поле Земли. Он используется для изучения структуры гравитационного поля и его трансформант, выявляет особенности полученных результатов.

Однако остается нерешенной задача определения аномалий силы тяжести, высот квазигеоида и уклонений отвесной линии с высокой точностью, порядка 1 см, 1 мГал и 0,1'' соответственно, на территории Российской Федерации. Исследование современных моделей ГПЗ показало неудовлетворительные по точности и разрешающей способности результаты определения перечисленных характеристик. Особые проблемы вызывает создание помехозащищенных навигационных систем и навигационных гравиметрических карт высокого разрешения

Учитывая перечисленные сложности, растущий рост исследований и необходимость повышения точности вычисления характеристик гравитационного поля Земли глобального, регионального и локального масштаба, возобновлен интерес к новым решениям получения характеристик гравитационного поля: первого и второго градиентов потенциала, первого и второго вертикальных градиентов аномалий силы тяжести (ВГАСТ)

В физической геодезии значение второго ВГАСТ используется для вычисления поправочного члена второго порядка теории М. С. Молоденского

В данной работе сравниваются два метода получения второго градиента. В первом используется конечноразностная схема трехточечного шаблона вычисления АСТ на разные высоты, в котором значения расположены вдоль вертикальной оси симметрично относительно результативной точки. Во втором методе вычисление выполняется с помощью гармонического синтеза по данным модели геопотенциала EIGEN-6C4

В условиях плоской аппроксимации аномалия силы тяжести удовлетворяет уравнению Лапласа

Для определения второго вертикального градиента

При преобразовании вторых производных Δg к горизонтальной плоскости xyo необходимо перейти от прямоугольных координат к полярным, т. е.

x=r cos⁡A и y=r sin⁡A, где r — радиус-вектор и A — азимут.

Подставляя в формулу (1) выражения (3) и (4) получим

Однако вычисление интеграла в формуле (5) затруднено тем, что при r=0 подынтегральное выражение обращается в бесконечность. В связи с этим формула (5) нуждается в преобразовании.

Наиболее простым и широко применяемым для приближенного вычисления второго ВГАСТ является метод численного дифференцирования уравнения (1) путем применения конечноразностных формул

В этом случае производные в формуле (1) заменяются приближенными алгебраическими конечноразностными соотношениями.

Для вычисления второго градиента, используется конечноразностная схема трехточечного шаблона, в котором аномалии силы тяжести Δg расположены вдоль вертикальной оси симметрично относительно результативной точки P(0,0,0) с шагом по высоте h, в интервале [(0,0,-h)<(0,0,0)<(0,0,+h)].

В соответствии с этим шаблоном второй градиент вычисляется как первая производная от первой производной следующим образом:

Окончательная расчетная формула примет вид

Для вычисления Δg, расположенных вдоль вертикальной оси в точкахP(0,0,-h), P(0,0,0) и P(0,0,+h), использовано разложение в ряд:

где fM — геоцентрическая гравитационная постоянная;

N — предельная степень разложения;

ae — экваториальный радиус Земли;

r=R+H — радиус-вектор точки P(0,0,0) на земной поверхности с координатами φ и λ (геоцентрическая широта и долгота точки);

R — средний радиус Земли;

H — высота точки ;

Вычисления Δg по формуле (8) определяются в сферической системе координат (φ,λ,r), поэтомуи в конечноразностной схеме трехточечного шаблона использована та же система координат. Тогда формулу (7) для вычисления второго градиента методом численного дифференцирования представим в следующем виде

где Δr — изменение r, которое соответствует шагу по высоте h в схеме трехточечного шаблона в прямоугольной системе координат (7).

В результате вычисления по формуле (8), используя коэффициенты модели EIGEN-6C4, при Δr=0 получены глобальные Δg (рисунок 1)

[11]

,

[12]

. Вычисления выполнены по программе, разработанной в лаборатории физической геодезии СГУГиТ

[13]

.

Рисунок 1 - Глобальные Δg, вычисленные по формуле (8) при Δr=0

DOI:10.60797/IRJ.2025.156.81.1

Изменив радиус-вектор r на Δr=±1 метр, по формуле (8) вычислены глобальные значенияΔg: Δg(φ,λ,r-Δr)и Δg(φ,λ,r+Δr).

Визуализация результатов вычисления ВГАСТ, полученных по формуле (9), в которой использованы значения: Δg(φ,λ,r-Δr) при Δr=-1 м, Δg(φ,λ,r) при Δr=0 и Δg(φ,λ,r+Δr) при Δr=+1 м, вычисленные по формуле (8), показана на рисунке 2.

Изменения значений 

Рисунок 2 - Визуализация результатов, полученных по формуле (9)

Примечание: изменения значений (∂2Δg(P))/(∂r2) ограничены диапазоном от -0,5 ⋅ 10-12 м-1с-2 до +5,0 ⋅ 10-12 м-1с-2

DOI:10.60797/IRJ.2025.156.81.2

Изменения значений

$\frac{{\delta }^2\Delta g(P)}{\delta r^2}$

 ограничены диапазоном от -0,5 ⋅ 10-12 м-1с-2 до +5,0 ⋅ 10-12 м-1с-2.

В горных областях земной поверхности значения

Далее рассмотрен метод определения второго градиента АСТ с помощью разложения в ограниченный ряд по сферическим функциям, в котором использованы коэффициенты модели геопотенциала EIGEN-6C4 до степени N=2190

Так как второй вертикальный градиент АСТ является третьим градиентом от аномального потенциала, то:

где T(P) — аномальный потенциал (разность между реальным и нормальным потенциалами Земли).

Изменения третьего градиента от аномального потенциала

На рисунке 3 представлена визуализация результатов вычисления второго вертикального градиента АСТ (третьего градиента от аномального потенциала), полученных по формуле (10) с помощью программы, разработанной в лаборатории СГУГиТ

[14]

.

Рисунок 3 - Визуализация результатов вычисления (∂3T(P))/(∂r3), полученных по формуле (10)

Примечание: изменения (∂3T(P))/(∂r3) ограничены диапазоном от -0,5 ⋅ 10-12 м-1с-2 до +5,0 ⋅ 10-12 м-1с-2

DOI:10.60797/IRJ.2025.156.81.3

Сравнительный анализ позволяет сделать вывод об идентичности результатов, представленных на рисунках 2 и 3. На рисунке 4 представлено распределение разности ΔG на земной поверхности между вторыми вертикальными градиентами Δg, полученными по формулам (9) и (10):

Рисунок 4 - Распределение разности ΔG между вторыми вертикальными градиентами, полученными по формулам (9) и (10)

DOI:10.60797/IRJ.2025.156.81.4

Анализируя рисунок 4, можно сделать вывод, что модальные значения распределения разностей ΔG, полученных по формуле (11), находятся в диапазоне от -2,0 ⋅ 10-14 м-1с-2 до +2,0 ⋅ 10-14 м-1с-2.

Гистограмма распределения значений (рисунок 5) по характеру соответствует почти нормальному закону: 79% значений находится в диапазоне от -1,0 ⋅ 10-14 м-1с-2 до +1 ⋅ 10-14 м-1с-2.

Рисунок 5 - Гистограмма распределения значений ΔG

DOI:10.60797/IRJ.2025.156.81.5

Анализ статистического распределения значений показал, что максимальное абсолютное значение ΔG равно 65,7178 ⋅ 10-14 м-1с-2 и составляет 0,4% от максимального абсолютного значения второго вертикального градиента АСТ (равного 15 600 ⋅ 10-14 м-1с-2), полученного по формулам (9) и (10). Среднее арифметическое значение ΔG равно 0,005554 ⋅ 10-14 м-1с-2, а стандартное отклонение – σ=1,523213 ⋅ 10-14 м-1с-2.

Для решения фундаментальных и прикладных задач, связанных с определением высокоточных характеристик гравитационного поля, получен второй вертикальный градиент АСТ.

Сравнение результата конечноразностной схемы трехточечного шаблона, в котором расположены вдоль вертикальной оси оz симметрично относительно результативной точки, с результатами гармонического синтеза показало расхождение в 0,4% от максимальных значений второго градиента по аномалии.

Определение данной характеристики гравитационного поля возможно любым из рассмотренных методов. Применение гармонического анализа приводят к уменьшению затрат машинного времени в 10 раз.