СИММЕТРИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений (ДГА ОДУ) был разработан В. Ф. Зайцевым в конце 20-го века. Он открыл дискретные группы преобразований дифференциальных уравнений.

Основой ДГА ОДУ является поиск преобразований, замкнутых в исследуемом классе уравнений. (До В. Ф. Зайцева были известны лишь простейшие из таких преобразований, например ,  и т.д.) Важным приложением ДГА ОДУ является алгоритмизированный поиск их точных решений.

Первая наиболее полная работа, в которой изложены основы ДГА ОДУ и приведены точные решения сотен новых разрешимых уравнений, полученных В. Ф. Зайцевым, его коллегой А. Д. Поляниным и их научными школами – это справочник-монография

В последующих справочниках-монографиях этих же авторов содержатся точные решения уже тысяч новых интегрируемых уравнений, найденных методом «размножения» по дискретным группам (см. далее).

К сожалению, в настоящее время дискретным группам преобразований ОДУ математическим сообществом уделяется незаслуженно мало внимания: считанное число математиков занимается исследованием ОДУ с помощью дискретных групп преобразований. Большинство «групповиков» занимаются непрерывными группами преобразований, причём в основном, для уравнений с частными производными.

Данной статьёй, так же как и прошлыми работами

В данной работе рассматриваются дискретные симметрии мультипликативного класса обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 2-го порядка:

(1)

Исследование симметрий этого класса уравнений было начато В. Ф. Зайцевым с подкласса (1) при

(2)

причём, со случая степенных функций K, L, M:

(3)

(класс уравнений (3) называется классом обобщённых уравнений Эмдена-Фаулера).

В работах

(4)

– для достижения замкнутости некоторых дискретных преобразований.

В статьях

Наличие дискретной группы преобразований, замкнутых в рассматриваемом классе уравнений, позволяет находить новые разрешимые случаи в этом классе уравнений с помощью метода «размножения» по данной дискретной группе: если известно решение, частное или общее, хотя бы одного уравнения, соответствующего некоторой вершине графа группы, то с помощью преобразований данной дискретной группы можно получить решения всех остальных уравнений, соответствующих остальным вершинам графа.

В статье используются, в частности, следующие термины: дискретная группа преобразований, порождающий (образующий) элемент и определяющие соотношения дискретной группы, код дискретной группы, группа диэдра и т.д., с определениями которых можно ознакомиться в работах

Для класса уравнений (1) с произвольными функциями была построена

(5)

(E – тождественное преобразование), где r и h – образующие группы (5);

(6)

(7)

Граф группы D6 изображён на рис. 1.

Рисунок 1 - Граф группы D6

DOI:10.60797/IRJ.2024.144.177.1

Рассмотрим мультипликативный класс уравнений с экспонентой и степенными функциями в правых частях:

(8)

Поскольку (8) является спецификацией класса уравнений (1), то к нему можно применить группу преобразований D6 (5). В результате получается ещё 11 уравнений. Пусть уравнению (8) соответствует вершина (1) на рис. 1, тогда уравнениям, полученным из (8), будут соответствовать 11 остальных вершин: 2-6, 1’-6’. Все 12 уравнений помещены в таблицу 1.

Таблица 1 - Уравнения-вершины графа на рис. 1

DOI:10.60797/IRJ.2024.144.177.2

Примечание: вершина 1 соответствует (8)

Представляет интерес тот факт, что в таблице 1 уравнения 1.1, 1.1’, 1.2’, 1.6’ содержат соответственно , , и .

Для класса уравнений (2) была построена

(9)

где r и g – образующие дискретной группы D3;

(10)

(11)

(показатель «-1» в (11) означает обратную функцию).

Граф группы D3 (9) 6-го порядка изображён на рис. 2. Вершина 1.1 соответствует (2).

Рисунок 2 - Граф группы D3

DOI:10.60797/IRJ.2024.144.177.3

Рассмотрим подкласс класса уравнений (8) при n=0:

(12)

Так как (12) является представителем класса уравнений (2), то к нему можно применить группу преобразований D3 (9). В результате получим уравнения, соответствующие вершинам графа на рис. 2, которые помещены в таблицу 2.

Таблица 2 - Уравнения-вершины графа на рис. 2

DOI:10.60797/IRJ.2024.144.177.4

Примечание: вершина 1.1 обозначает (12)

В таблице 2 , .

Преобразование g зависит от функций K, L, M преобразуемого уравнения, поэтому при каждом следующем применении уравнение g имеет другой вид.

С помощью (11) можно вычислить преобразование g на каждом шаге:

Так как преобразования g и r замкнуты в классе уравнений (2), то все уравнения таблицы 2 имеют вид (2).

Удивительным фактом является то обстоятельство, что только уравнения 1.1 и 1.1’ содержат экспоненты. Остальные 4 уравнения являются степенными. Уравнения 1.1 и 1.1’ являются сингулярными элементами степенного класса уравнений (3), соответствующими в (3) случаям k=∞ и l=∞ для 1.1’.

Если одно из уравнений таблиц 1, 2, 3 при некоторых значениях параметров является интегрируемым, то это же можно сказать обо всех остальных уравнениях в этих таблицах. Метод «размножения» разрешимых случаев в рассматриваемых классах уравнений основан на том, что преобразования дискретных групп (здесь 6-го, 12-го и 36-го порядков), связывающие уравнения, связывают и их решения. Кроме того, если решение исходного уравнения выражается через некоторые элементарные или специальные функции, то и решения уравнений его орбиты (здесь остальных уравнений таблиц 1, 2, 3) выражаются через эти же функции. Указанные выше преобразования легко установить по графам на рис. 1, 2, 3 – они являются композициями образующих g, h, r.

С помощью метода «размножения» известный справочник Камке по ОДУ

Пример 1. Рассмотрим уравнение (12) при , :

(13)

оно имеет номер 1.1 на рис. 1 и в таблице 1.

Его общее решение в параметрическом виде

(14)

Найдём, к примеру, решение уравнения 1.3’:

(15)

Согласно рис. 3, уравнение 1.3’ (15) приводится к уравнению 1.1 (13) преобразованием h2r; с помощью (6) и (7) его легко вычислить:

(16)

Композиция (16) и (14) является общим решением уравнения 1.3’ (15):

.

Пример 2. Аналогично вычислим решение, например, уравнения 1.2’:

(17)

Это немного сложнее, так как уравнение 1.2’ (17) приводится к уравнению 1.1 (13) не с помощью точечного преобразования, а с помощью касательного преобразования:

(18)

Заметим, что преобразование hr оказалось известным касательным преобразованием Лежандра, в котором x и y зависят от производной. Дополнительно необходимо в решении (14) уравнения 1.1 (13) вычислить  и :

(19)

Таким образом, композиция преобразования hr (18) и общего решения (14, 19) уравнения 1.1 (13) является общим решением уравнения 1.2’ (17):

(20)

Замечание. С помощью операции масштабирования можно вычислить решения всех уравнений орбиты исходного уравнения (13) с произвольными коэффициентами в правых частях.

Обыкновенные дифференциальные уравнения нередко возникают в различных разделах естествознания, особенно при решении уравнений математической физики и механики

В данной статье дискретные группы преобразований 6-го, 12-го и 36-го порядков применены к мультипликативному классу ОДУ 2-го порядка, содержащему в правой части степенные и экспоненциальный сомножители.

Найдена орбита исходного дифференциального уравнения, состоящая из 36-ти мультипликативных уравнений, содержащих в правых частях экспоненциальные функции. Приведён метод «размножения» разрешимых случаев исходного дифференциального уравнения: если при некоторых параметрах исходное уравнение интегрируется, то интегрируются также все уравнения его орбиты, причём их решения выражаются через те же функции, что и решение исходного уравнения.

Рассмотрены примеры, иллюстрирующие получение точных решений уравнений, содержащих экспоненциальные функции, через решение исходного дифференциального уравнения.

В дальнейшем можно в (12) рассмотреть ekx вместо ex, а также расширить дискретную группу 36-го порядка для интегрируемых подклассов класса уравнений (12).