О ВОЗМОЖНОСТИ СОЗДАНИЯ СИСТЕМЫ ВЕЛИЧИН МЕХАНИКИ, ЛИШЁННОЙ ОДНОИМЁННЫХ ВЕЛИЧИН (ЧАСТЬ I)

Терещенко В.Г.

Доцент, кандидат технических наук,

Северо-Кавказский федеральный университет

О ВОЗМОЖНОСТИ СОЗДАНИЯ СИСТЕМЫ ВЕЛИЧИН МЕХАНИКИ, ЛИШЁННОЙ ОДНОИМЁННЫХ ВЕЛИЧИН (ЧАСТЬ I)

Аннотация

Проведены исследования в области теоретической метрологии, механики и геометрии. Цель – усовершенствование системы величин механики, достижение взаимного однозначного соответствия между размерностью и родом величины. Предложено добавить основную величину «направление». Найдёт применение в метрологии, образовании, компьютерных вычислениях. Ключевые слова: метрология, система величин, размерность, механика, геометрия.

Tereshchenko V.G.

Associate professor, PhD in Engineering,

North-Caucasus Federal University

ABOUT POSSIBILITY OF CREATION OF SYSTEM OF QUANTITIES OF THE MECHANICS DEPRIVED OF THE QUANTITIES OF THE SAME NAME (PART I)

Abstract

Researches in the field of theoretical metrology, mechanics and geometry are conducted. Goal – improvement of the system of mechanics quantities, the achievement of mutual-one correspondence between a dimension and a kind of quantity. It is proposed to add a base quantity "direction". Will applications in metrology, education, computer calculations. Keywords: metrology, system of quantities, dimension, mechanics, geometry. Практические расчёты, метрологическое обеспечение, эксперименты и научные исследования невозможны без правильного использования качественных характеристик измеряемых величин. «Формализованным отражением качественного различия между измеряемыми физическими величинами служит их размерность» [1]. Но, к сожалению, в Международной системе величин размерности не обеспечивают однозначного взаимного соответствия между формальным обозначением и физическим смыслом величин. «Однородные величины в рамках данной системы величин имеют одинаковую размерность величины. Однако величины одинаковой размерности не обязательно будут однородными [2]». «Одноимёнными физическими величинами называются величины, имеющие одинаковую размерность, но различный физический смысл» [3]. Наличие одноимённых величин создаёт определённые трудности в научно-технических разработках, автоматизации расчётов, преподавании и обучении. Не формализована идентификация рода величины. Дополнительный контроль правильности формул с помощью размерностей не эффективен. Формальное использование и сокращения единиц порой приводят к искажению смысла единицы величины [4, 5]. Вопросам совершенствования системы обеспечения единства измерений, теории размерностей уделяется большое внимание. Ещё во время введения СИ указывались её недостатки, связанные с многозначностью [4, 5]. Но пока не предложена система величин, лишённая одноимённых физических величин. Цель проведённого исследования – выявить возможность и пути создания такой системы величин механики, в которой одинаковой размерностью обладали бы только однородные величины. Для того чтобы понять, как могут появиться одноимённые величины в системе, пойдём от обратного. Представим, что создана некая идеальная система величин ABC, в которой нет одноимённых величин, и размерность любой физической величины однозначно определяется уравнением размерности A^aB^bC^c. Заменим одну из основных размерностей, например, С на безразмерную величину. Т.е. примем показатель её степени всегда равным нулю. Получим размерности A^aB^b и одноимённые величины в такой системе. Одноимёнными станут величины, которые отличаются друг от друга значением степени c, в которую возводится величина C, переведённая нами из основных размерностей в безразмерные величины. Множество образовавшихся одноимённых величин теоретически бесконечно. Например, если c имеет значения -2, -1, 0, 1, 2, то вместо разных размерностей                                                                          A^aB^bC^-2,   A^aB^bC^-1,   A^aB^bC⁰,   A^aB^bC,   A^aB^bC²                                                           (1) получим одну размерность

                                                                                                       A^aB^b.                                                                                                     (2)

Каждая формула (1) и формула (2) дают теоретически бесконечное множество пар одноимённых величин при варьировании значений a, b. В частности, при a=b=0 и потере величины C все формулы размерности (1) образуют безразмерные величины. Какая же основная величина (или величины) оказалась потеряна в Международной системе единиц? Для ответа на этот вопрос мы рассмотрели известные нам примеры одноимённых величин механики. К ним относятся: работа, момент силы относительно точки и момент силы относительно оси (L²MT^-2); полное, нормальное и касательное механические напряжения в сечении твёрдого тела (L^-1MT^-2); объём и статический момент плоского сечения (L³M⁰T⁰); и другие. Анализируя различия физического смысла некоторых одноимённых величин, мы приходим к выводу, что природа этих различий геометрическая. Так, совпадение размерностей механической работы и момента силы происходит из-за игнорирования отличий синуса угла от косинуса, векторного или скалярного характера величины и, в общем, геометрических особенностей формирования каждой из этих величин. Геометрические величины образуются в Международной системе единиц при помощи одной основной размерности – длины L. Но для геометрических построений, воспроизведения геометрических фигур требуется ещё учитывать направления измерений длины. Это делается с помощью измерения и указания углов между направлениями. Использование единиц измерения углов в СИ и замена радиана на 1 подвергались критике [4, 5]. Однако на уровне основных величин проблема не рассматривалась и не была решена. Наша основная гипотеза заключается в том, что проблема одноимённых величин может быть полностью или частично решена, если в систему величин механики добавить в качестве независимой величины величину направления. Влияние направления учитывается в физических формулах при помощи векторных величин и действий с ними, или путём записи формул в проекциях на оси координат. Физические формулы иллюстрируются графикой, поясняющей геометрические соотношения. В [6] на основе [7, 8] и др. сделано некоторое обобщение современных форм выражения направлений в физических уравнениях. Известно деление физических величин на скаляры первого и второго рода и векторы истинные и псевдовекторы. Одночлены могут быть получены умножением скаляров, скаляра на вектор, скалярного умножения векторов и векторного умножения векторов. В [6, 9] показано, что этого набора групп величин и действий с ними не достаточно, чтобы отразить всё многообразие направленных и ненаправленных величин и действий с ними. Возникает задача упорядочения и систематизации отражения направлений в уравнениях связи и адекватного переноса в формулу размерности величин и математических действий. В результате теоретических исследований было предложено дополнить классификацию скаляров группой скаляров третьего рода [6], а к действиям добавить получение угла между направлениями [9]. Размерность направления не может быть выражена через принятые в Международной системе величин основные величины. (Отношение длин L/L даёт одинаково безразмерные величины для относительного удлинения, относительного сдвига и угла.) Её можно ввести как четвёртую основную величину механики. До сих пор это не было сделано, как мы считаем, по причине существенных отличий понятия направления от остальных величин. Существующая система физических величин построена исключительно на скалярных величинах, векторам приписывают размерности их модулей. Для того чтобы добавить размерность направления, нужно разработать, а точнее – выяснить и формализовать, правила взаимодействия направлений с модулями величин и взаимодействия направлений между собой. Направление задаётся осью. У оси, также как у вектора, может быть широкое понятие, включающее все параллельные и одинаково направленные оси. Пространство, состоящее из таких параллельных сонаправленных осей, мы и представляем себе как направление. Направление может быть задано относительно другого направления при помощи величины угла между ними. Такая задача рассматривается как плоская, в плоскости двух заданных направлений. С появлением в задаче третьего независимого направления (не параллельного этой плоскости) она становится пространственной и для указания направления понадобится значение второго угла, характеризующего поворот плоскости вокруг первого направления. Т.е. система отсчёта строится последовательно на самих объективно заданных направлениях. Мы выбрали в качестве обозначения для размерности направления латинскую букву D, от английского слова «Direction» (направление). Исторически и логически понятие направления непосредственно связано только с понятием длины. Эти два понятия (две физические величины) вместе составляют основу геометрии. Вместе они характеризуют геометрический вектор, т.е. направленный отрезок в пространстве [8]. Это истинный вектор. Для действия объединения величин направления и длины математика и физика не предложили пока формального описания. Направление – то, что осталось от вектора после удаления модуля. Нынешняя математика не приспособлена к оперированию такими величинами. В настоящее время в физических формулах, записанных в векторной форме, используют не величину направления, а единичный безразмерный вектор (орт), указывающий направление. Т.е. возвращают направлению модуль, хотя бы единичный и безразмерный. Но он позволяет производить с ортом все математические операции, предусмотренные для векторов. В предлагаемой нами системе величин [9] размерность орта  (ныне называемого единичным безразмерным вектором) равна размерности направления D, объединённой с размерностью L⁰ ныне безразмерного единичного модуля.

,                                                             (3)

где символом ◦ обозначено объединение размерности направления с безразмерной единицей. Знак ◦ нам пришлось выбрать из существующего стандартного набора. Даже если мы в сжатой форме записи длинной формулы размерности сократим единицу, то знак ◦ останется, как знак имеющейся связи направления с модулем. В соответствии с известным [7] представлением вектора  через произведение его модуля A на единичный вектор  получим размерность объективного радиус-вектора точки или вектора перемещения

                                                         (4)

Запись сокращена во втором варианте, но смысл не должен меняться. Вектор с такой размерностью является геометрическим [8], изображает сам себя, относится к истинным векторам. Его направление объективно и совпадает с направлением измерения другой геометрической величины – длины. Другие истинные векторы получаются последовательным умножением или делением геометрического вектора на скалярные величины. Приведём примеры размерностей истинных векторов в новой системе размерностей. Размерность скорости D◦1LT ^-1, количества движения D◦1LMT ^-1, ускорения  D◦1LT ^-2, силы D◦1LMT ^-2. Изначальное, непосредственное объединение величины направления с величиной массы или времени невозможно. Скалярное произведение векторов    представим как

,                                         (5)

откуда следует, что  – косинус угла между двумя векторами или их направлениями представляет собой скалярное произведение единичных векторов этих направлений. Размерность косинуса угла

.                                                    (6)

В соответствии с определением скалярного произведения размерность косинуса угла – скалярная. Скалярное умножение направлений – это геометрическое действие с направлениями, возвращающее проекцию одного направления на другое. Каждый из единичных векторов может быть умножен на длину или не умножен. Величина с размерностью  обладает асимметрией и представляет собой проекцию геометрического вектора на направление единичного вектора. Величины с размерностями   – симметричные, т.е. допускают двоякое толкование о том, что на что проецируется. Это распространяется на производные величины, полученные умножением на модули размерностей M^β и T^γ. Величины с размерностью D◦1L•D◦1M^βT^γ – асимметричны и представляют собой проекции истинного вектора на ось. Они соответствуют определению скаляра второго рода. Величины с размерностью D◦1L•D◦1LM^βT^γ – симметричны, и мы [6] предлагаем их считать скалярами третьего рода. Пример скаляра третьего рода – физическая величина – работа получает размерность D◦1L•D◦1LM¹T ^-2. Операция скалярного умножения векторов ставит в соответствие двум векторам скалярную величину. Но в записи размерности символы направлений не исчезают, что позволяет различать скаляры первого, второго и третьего рода. Мы не видим возможности более краткого изложения всей поднятой здесь темы. А формат статьи имеет ограниченные размеры. Поэтому мы предполагаем продолжить изложение темы в следующих номерах этого журнала. Промежуточные выводы. Выявлена проблема обеспечения однозначности физического смысла величин, составляющих систему величин. Определена причина появления одноимённых величин. Предложен способ усовершенствования системы величин и намечены основные положения новой системы. Полученную систему величин механики можно обозначить как LMTD. В ней использованы несколько новых понятий.

Литература

1. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология. Часть 1. Общая теория измерений: Учебник для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. – СПб.: Питер, 2010. – 192 с.
2. РМГ 29-2013 ГСИ. Метрология. Основные термины и определения. – Введ. 01.01.2015. – М.: Стандартинформ, 2014. – 56 с.
3. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. Для инженеров и студентов вузов. М.: Наука, 1977. – 944 с.
4. Padelt, E.: Bemerkungen zu einigen Definitionen von Einheiten des SI. messtechnik 78 (1970) H.9, S. 178-181.
5. Хофманн Д. Техника измерений и обеспечение качества: Справочная книга/Пер. с нем. под ред. Л.М. Закса, С.С. Кивилиса. – М.: Энергоатом издат, 1983. – 472 с.
6. Терещенко В.Г., Азотова Е.Н. Геометрические свойства физических величин // Актуальные проблемы строительства, транспорта, машиностроения и техносферной безопасности: материалы III-eй ежегодной научно-практич. конф. Северо-Кавказского федерального университета «Университетская наука – региону». – Ставрополь: ООО ИД «ТЭСЭРА», 2015. – С. 221-227.
7. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика. Берклеевский курс физики: Учебник для вузов. 3-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 480 с.
8. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике: Учебное пособие. 6-е изд., испр. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 688 с.
9. Терещенко В.Г. О возможности учёта геометрических свойств физической величины в формуле размерности // Актуальные проблемы строительства, транспорта, машиностроения и техносферной безопасности: материалы III-eй ежегодной научно-практич. конф. Северо-Кавказского федерального университета «Университетская наука – региону». – Ставрополь: ООО ИД «ТЭСЭРА», 2015. – С. 227-233.

References

1. Shishkin I.F. Teoreticheskaja metrologija. Chast' 1. Obshhaja teorija izmerenij: Uchebnik dlja vuzov. 4-e izd., pererab. i dop. – SPb.: Piter, 2010. – 192 s.
2. RMG 29-2013 GSI. Metrologija. Osnovnye terminy i opredelenija. – Vved. 01.01.2015. – M.: Standartinform, 2014. – 56 s.
3. Javorskij B.M., Detlaf A.A. Spravochnik po fizike. Dlja inzhenerov i studentov vuzov. M.: Nauka, 1977. – 944 s.
4. Padelt, E.: Bemerkungen zu einigen Definitionen von Einheiten des SI. messtechnik 78 (1970) H.9, S. 178-181.
5. Hofmann D. Tehnika izmerenij i obespechenie kachestva: Spravochnaja kniga/Per. s nem. pod red. L.M. Zaksa, S.S. Kivilisa. – M.: Jenergoatom izdat, 1983. – 472 s.
6. Tereshchenko V.G. Azotova E.N. Geometricheskie svojstva fizicheskih velichin // Aktual'nye problemy stroitel'stva, transporta, mashinostroenija i tehnosfernoj bezopasnosti: materialy III-ej ezhegodnoj nauchno-praktich. konf. Severo-Kavkazskogo federal'nogo universiteta «Universitetskaja nauka – regionu». – Stavropol': OOO ID «TJeSJeRA», 2015. – S. 221-227.
7. Kittel' Ch., Najt U., Ruderman M. Mehanika. Berkleevskij kurs fiziki: Uchebnik dlja vuzov. 3-e izd., ster. – SPb.: Izdatel'stvo «Lan'», 2005. – 480 s.
8. Myshkis A.D. Lekcii po vysshej matematike: Uchebnoe posobie. 6-e izd., ispr. – SPb.: Izdatel'stvo «Lan'», 2009. – 688 s.
9. Tereshchenko V.G. O vozmozhnosti uchjota geometricheskih svojstv fizicheskoj velichiny v formule razmernosti // Aktual'nye problemy stroitel'stva, transporta, mashinostroenija i tehnosfernoj bezopasnosti: materialy III-ej ezhegodnoj nauchno-praktich. konf. Severo-Kavkazskogo federal'nogo universiteta «Universitetskaja nauka – regionu». – Stavropol': OOO ID «TJeSJeRA», 2015. – S. 227-233.