АЗИМУТАЛЬНОЕ РАЗРЕШЕНИЕ ЦЕЛЕЙ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Пешегорин Е.Е.¹, Пахотин В.А.², Мялковский В.В.³

¹Магистр; ²доктор физико-математических наук, профессор, Балтийский федеральный университет им. И.Канта; ³заместитель начальника Инновационного дизайн-центра, Научно-исследовательский институт дальней радиосвязи

АЗИМУТАЛЬНОЕ РАЗРЕШЕНИЕ ЦЕЛЕЙ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Аннотация

Представлен    метод максимального правдоподобия в приложении к обработки азимутальных реализации в системах локации со сканированием диаграммой направленности в азимутальном секторе. Выведены основные уравнения, определяющие алгоритм обработки. Обсуждаются вопросы однозначности минимизации функционала правдоподобия. Представлен преобразованный функционал правдоподобия. Получены выражения для дисперсии азимутов и амплитуд сигналов от двух целей.   С помощью модельных расчетов показаны возможности метода максимального правдоподобия в сравнении с классической методикой, основанной на оценках по максимуму диаграммы направленности.

Ключевые слова: теория оптимального приема, метод максимального правдоподобия, азимут.

Peshegorin E.E.¹, Pakhotin V.A.², Myalkovsky V.V.³

¹Magistr; ²doktor physical and mathematical sciences, professor, I. Kant Baltic Federal University; ³Deputy Head of the Innovation Design Center, Research Institute of distant radio

AZIMUTHAL RESOLUTION OF TARGETS MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD

Adstract

The method of maximum likelihood in the annex to the azimuth processing systems implemented in locations with scanning radiation pattern in azimuth. We derive the basic equations defining the processing algorithm. The questions of the uniqueness of the minimization of the functional plausibility. Presented converted likelihood functionality. The expressions for the variance of azimuths and amplitudes of the signals from the two targets. With the help of model calculations, show the possibility of the maximum likelihood method in comparison with the classical method based on estimates of the maximum radiation pattern.

Key words: theory of optimum detection, maximum likelihood method, azimuth.

Введение.

Развитие методов, увеличивающих разрешение близко расположенных целей является одной из основных задач в системах локации. При ее даже частичном решении увеличивается точность и достоверность, получаемой с помощью радиолокатора информации. Использование широкополосных и сверхширокополосных сигналов / 1 / существенно повышает разрешение целей по дальности. Однако разрешение целей по азимуту и углу места остается ограниченным полушириной диаграммы направленности. Ширина диаграммы направленности в современных локаторах в азимутальном и угломестном направлениях приемной антенны достигает значения долей градусов. Это приводит при дальности более 10 километров к расстоянию между целями более сотни метров. Для современных локационных систем эти оценки уже недостаточны.

В работах /2,3/ рассмотрен вопрос о возможности повышения азимутального разрешения целей в локационных системах при использовании новой технологии обработки сигналов, основой которой являются положения теории оптимального приема. Отличительной особенностью этой технологии является преобразование логарифма функции правдоподобия за счет уравнений правдоподобия, которые рассматриваются в качестве дополнительных условий. Функции правдоподобия, являясь условной плотностью распределения, позволяет оптимально решать задачи оценки параметров для одиночного сигнала, задачи обнаружения сигнала, задачи фильтрации сигнала. Однако, при наличии двух или нескольких не ортогональных сигналов в принятой реализации, приводит к неоднозначности решения задачи оценки параметров. В этом случае переход к преобразованному логарифму функции правдоподобия позволяет получить однозначное решение. Разрешение целей по азимуту в этом случае может быть значительно увеличено.  В работе /4/ рассмотрена теория вопроса и приведены результаты предварительных модельных исследований. В настоящей работе продолжено исследование вопросов обработки азимутальных реализаций, получаемых при сканировании параболической диаграммой направленности антенной системы локатора в заданном секторе углов.

Теоретические положения.

Возможность применения положений теории оптимального приема к азимутальным реализациям обосновывается линейностью преобразований при получении диаграммы направленности /2, 3/. Диаграмма направленности плоско - параболической антенной системы с прямоугольным раскрывом определяется выражением (5), которое можно получить с помощью углового преобразования Фурье

               (1)

Где L- апертура антенной системы.

        λ- длина волны.

        Û₀ -комплексная амплитуда сигнала.

        α₀ - азимутальное положение цели.

Полуширина диаграммы направленности Δα определяется размером зеркала L, точнее отношением длины волны к размеру зеркала антенны.

Если цели разнесены по азимуту достаточно далеко, тогда отмечаются два максимума с азимутами на первую и вторую цели. Если азимутальное различие не превышает полуширины диаграммы направленности, тогда два максимума сливаются в один и классическими методами их разделить невозможно.

Рассмотрим решение задачи азимутального разрешения двух целей методом максимального правдоподобия. Аналитическое выражения для логарифма функции правдоподобия при наличии двух целей с разными азимутами можно записать в виде

               (2)

m=1,2.

Û′₁,Û′₂ - оценочные значения амплитуд двух сигналов.

α′₁,α′₂ - оценочные азимуты на первую и вторую цели.

При наличии в принятом сообщении двух не ортогональных сигналов (две цели) логарифм функции правдоподобия достигает своего экстремума при разных наборах оценочных параметров. Это приводит к неоднозначности решения задачи оценки параметров. Продифференцируем (2) по комплексным амплитудам Û′₁,Û′₂ и приравнивая дифференциалы нулю. Получим систему уравнений правдоподобия в виде

               (3)

При возведении в квадрат логарифма функции правдоподобия с учетом (3) получим преобразованный логарифм функции правдоподобия.

               (4)

Оценочные амплитуды Û′₁,Û′₂ находятся при этом из уравнений правдоподобия. В результате преобразованный логарифм функции правдоподобия зависит лишь от оценочных азимутов  α′₁,α′₂ и его минимизация может проводиться методом перебора оценочных азимутов.  Преобразованный логарифм функции правдоподобия является в этом случае поверхностью в пространстве оценочных параметров α′₁,α′₂. Экстремум этой поверхности является критерием отбора решений: Û′₁=Û₁, Û′₂=Û₂, α′₁=α₁, α′₂=α₂. Для удобства графического представления на основании (4) запишем функционал правдоподобия, максимум поверхности которого определяет решение.

              (5)

На рис. 1 показана поверхность функционала Δ(α′₁,α′₂). Отмечается наличие двух максимумов. Первый максимум дает решение α′₁,α′₂. Второй зеркальный максимум дает решение α′₁,α′₂. Таким образом, принимая во внимание один из максимумов можно получить сразу два азимутальных направления на цели и две соответствующие комплексные амплитуды. Классического понятия разрешающей способности здесь не требуется. Ширина основания максимума поверхности функционала правдоподобия зависит лишь от отношения сигнал/шум и не связана с апертурой антенной системы. Значение максимума уменьшается с уменьшением отношения сигнал/шум и связано с дисперсией шума σ².

Рис.1. Поверхность функционала правдоподобия в пространстве оценочных азимутов.

Максимум поверхности (или зеркальный максимум) определяет оценки параметров сигналов от двух целей. Оценим дисперсии параметров сигналов от двух целей. Для этого получим элементы информационной матрицы Фишера в соответствии с выражением (6) / 2,3/.

              (6)

Где ᾱ^T= (U_1, α₁, U_2, α₂) - вектор параметров сигнала.

Для оценки дисперсии амплитуд продифференцируем логарифм функции правдоподобия по параметрам U­­­₁ и U₂ два раза. Получим элементы информационной матрицы Фишера

                      (7)

Где 

Черта сверху определяет интегрирование по азимуту. Определяя диагональные элементы матрицы, обратной к информационной матрице Фишера, получим дисперсии амплитуд сигналов от обеих целей D_u1, D_u2.

               (8)

При коэффициенте корреляции R1=0 дисперсии амплитуд будут минимальные. Обозначим эти дисперсии при равенствезначением D₀­. В этом случае относительные дисперсии будут иметь простой вид.

                 (9)

Эта зависимость представлена на рис.2. В области изменений коэффициента корреляции менее 0.9 относительная дисперсия меняется достаточно медленно и не превышает значения 7 дБ. Следовательно эту область изменений коэффициента корреляции можно определить в качестве рабочей области решений.

Рис.2.Относительная дисперсия амплитуд в зависимости от коэффициента корреляции. Рабочая область ограничена значением R1=0.9.

В области изменений коэффициента корреляций от 0.9 до единицы решение задачи оценки параметров при двух и более сигналов в принятом сообщении возможно, но требует высоких значений сигнал/шум.

Аналогично можно получить дисперсии оценок азимутов двух целей. В этом случае информационная матрица Фишера будет

                                      (10)

Где 

Определяя диагональные элементы обратной матрицы, получим

                                           (11)

Зависимость дисперсий азимутов от коэффициента корреляции производных функции, определяющая рабочую область остается прежней.

Результаты модельных расчетов.  

В соответствии с представленным алгоритмом обработки азимутальных реализаций проведен ряд модельных расчетов, иллюстрирующих возможности метода. На рис.3 показан интерференционный эффект при приеме двух близких по азимуту целей.

Рис.3. Эффект интерференции азимутальных реализаций, содержащих две близкие по азимутам диаграммы направленности.

В этом случае диаграммы направленности в направлении на первую и вторую цели частично перекрываются и в зависимости от разности фаз, они или усиливают друг друга (Ряд 1) или ослабляют друг друга (ряд 2).  В любом случае информация об азимутах и амплитудах двух целей будет недостоверная.  Эффект интерференции будет проявлять себя и в случае достаточного (по критерию Рэлея) азимутального удаления двух целей. Боковые лепестки диаграммы направленности на вторую цель будут искажать оценки азимутов и амплитуд первой цели. Это один из основных источников ошибок в оценке параметров сигналов при классической обработке азимутальных реализаций по максимуму диаграммы направленности. Предлагаемая методика обработки азимутальных реализаций полностью исключает данный источник погрешностей в оценке параметров сигналов. Дисперсии как азимутов, таки амплитуд находятся на уровне дисперсий Рао-Крамера.  В качестве примера на рис.4 показаны оценки азимутов сигналов от двух целей в зависимости от изменения разности фаз, полученные методом максимального правдоподобия. Интерференционных эффектов не отмечается.

Рис.4.Метод максимального правдоподобия.   Рис.5. Классический метод.

На рис. 5 показана аналогичная зависимость азимутов от разности фаз, полученная по максимуму диаграммы направленности (классически). Интерференционные изменения азимутов существенны. Разрешающая способность в методе максимального правдоподобия существенно превышает Рэлеевскую разрешающую способность (классика)

 

На рис.5 показаны оценки азимутов на две цели в зависимости от азимута на вторую цель, полученные методом максимального правдоподобия. Азимут на первую цель постоянен и равен 21 градус. Азимут на вторую цель меняется от нуля градусов до 50 градусов. Из рисунка ясно, что разрешение целей возможно в пределах углового различия азимутов. При увеличении отношения сигнал/шум допустимое угловое различие азимутов уменьшается. На рис. 4 показано аналогичное построение для классического способа обработки сигналов. Классический метод обработки позволяет разрешать азимуты на две цели в пределах. Таким образом, метод МП позволяет увеличить разрешение целей по азимуту в 6 раз по сравнению с классическим методом обработки.

Динамический диапазон классического метода оценки параметров по максимуму диаграмм направленности ограничен уровнем боковых лепестков. В методе максимального правдоподобия динамический диапазон ограничен уровнем шума. На рис показаны изменения амплитуд сигналов от двух целей. Первая амплитуда равна 1, а вторая линейно меняется от 11 до нуля. Как видно из рисунка оценки амплитуд вполне удовлетворительные вплоть до амплитуды второго сигнала, равной 0.1 (уровень шума). На рис. показана аналогичная зависимость для азимутов на цели. Оценки азимутов удовлетворительные до значения амплитуды второго сигнала, равной 0.1.

Заключение.

В настоящей работе представлен метод максимального правдоподобия, предназначенный для обработки азимутальных реализаций, получаемых в локационных станциях со сканированием диаграммой направленности в азимутальном секторе.   По результатам модельных расчетов можно сделать следующие выводы.

1. Метод позволяет увеличить разрешение целей по азимуту по сравнению с Рэлеевским разрешением в 6 раз.
2. Метод увеличивает точности оценок параметров сигналов, исключая эффекты интерференции между диаграммами направленности от двух целей.
3. Динамический диапазон оценки параметров двух сигналов ограничен уровнем шума и превосходит динамический диапазон классического метода обработки азимутальных реализаций.

Литература

1. В.Г.Радзиевский, П.А.Трифонов. Обработка сверхширокополосных сигналов и помех. -М.: «Радиотехника», 2009.-288 с.:ИЛ.
2. В.А.Пахотин, В.А.Бессонов,С.В.Молостова, К.В.Власова. Теоретические основы оптимальной обработки сигналов: Курс лекций для радиофизических специальностей. – Калининград: Изд-во РГУ им.И Канта, 2008.- 189 с.
3. Перов А.И. Статистическая теория радиотехнических систем: Учебн.пособие для вузов. М.:Радиотехника, 2003.
4. В.А.Бессонов, К.В.Власова, В.В.Мялковский. Разработка метода цифровой обработки азимутальной реализации в системах локации. 15-я международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение-DSPA-2013». Москва,Россия, доклады. С.226-300.
5. А.Л.Драбкин, В.Л.Зузенко,А.Г.Кислов. Антенно – фидерные устройства. Изд.2-е.М., «Сов.радио», 1974.536 с.

 References

1. V.G.Radzievskij, P.A.Trifonov. Obrabotka sverhshirokopolosnyh signalov i pomeh. -M.: «Radiotehnika», 2009.-288 s.:IL.
2. V.A.Pahotin, V.A.Bessonov,S.V.Molostova, K.V.Vlasova. Teoreticheskie osnovy optimal'noj obrabotki signalov: Kurs lekcij dlja radiofizicheskih special'nostej. – Kaliningrad: Izd-vo RGU im.I Kanta, 2008.- 189 s.
3. Perov A.I. Statisticheskaja teorija radiotehnicheskih sistem: Uchebn.posobie dlja vuzov. M.:Radiotehnika, 2003.
4. V.A.Bessonov, K.V.Vlasova, V.V.Mjalkovskij. Razrabotka metoda cifrovoj obrabotki azimutal'noj realizacii v sistemah lokacii. 15-ja mezhdunarodnaja konferencija «Cifrovaja obrabotka signalov i ee primenenie-DSPA-2013». Moskva,Rossija, doklady. S.226-300.
5. A.L.Drabkin, V.L.Zuzenko,A.G.Kislov. Antenno – fidernye ustrojstva. Izd.2-e.M., «Sov.radio», 1974.536 s.