МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОСФОРЕНА МЕТОДОМ КЛАССИЧЕСКОЙ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГЛУБОКОГО ОБУЧЕНИЯ

Фосфорен является двумерным материалом, который может быть синтезирован из чёрного фосфора

Множество работ

Известно, что глубокое обучение широко распространено в современных технологиях

Дополнительно, мы определим коэффициент теплопроводности фосфорена в компьютерной модели и сравним его с экспериментальными данными

Первым шагом для построения компьютерной модели фосфорена является получение данных для обучения нейронной сети, такими данными выступают результаты первопринципного моделирования.

В 1985 году Кар и Парринелло предложили метод МД

Пусть после проведения моделирования методом молекулярной динамики Кара-Парринелло (МДКП) системы, состоящей из N атомов, мы имеем информацию о системе в разные моменты времени: координаты атомов , полную энергию системы E, силы, действующие на i-й атом Fi и т.д.

Метод DeePMD

(1)

Здесь  – матрица относительных координат – расстояний от атома i до атома j внутри некоторого радиуса взаимодействия rc:

(2)

Зависимость энергий Es(i) от матрицы относительных координат выстраивается в два шага: сначала по матрице  строится матрица признаков, в оригинале называемая дескриптором , с целью сохранения поступательной, вращательной и перестановочной симметрии системы; затем подгоняется такая нейронная сеть, что , она называется подгоночной (FNN).

В данном методе дескриптор строится также через нейронную сеть , называемую вложением (ENN).

Обе сети (ENN  и FNN ) являются обычными нейронными сетями с прямой связью, содержащие несколько скрытых слоёв.

В методе классической МД задача движения атомов решается путем вычисления траектории движения r(t) с помощью уравнений Ньютона:

(3)

где Fi(r) – суммарная сила, действующая на i-ю частицу:

(4)

U(r) – потенциальная энергия межатомного взаимодействия

Так как энергия U(r) задана численно нейронными сетями, уравнения (3) просто решаются численными методами.

Определим коэффициент теплопроводности листа фосфорена, который задан с периодическими границами, с размерами [2L×10] нм2 и [10×2L] нм2 – в направлении x (armchair) и y (zigzag) соответственно. Здесь 2L – продольная длина листа фосфорена (рисунок 1) в направлении, в котором определяется коэффициент теплопроводности.

Рисунок 1 - Схема распределения тепла в листе фосфорена размером [2L×10] нм2

DOI:10.60797/IRJ.2024.143.168.1

Для нахождения коэффициента теплопроводности фосфорена мы используем оригинальную модификацию метода Мюллера-Плате

[13]

: выделим две тонких области на расстоянии L друг от друга, охватывающие всё поперечное сечение. Один регион будет нагреваться с мощностью W, а другой – охлаждаться с мощностью W (на рисунке 1 – регионы H и C соответственно). Таким образом, возникнет температурный градиент от области H к области C в двух направлениях, так как введены периодические условия.

Согласно закону теплопроводности Фурье:

(5)

где ϰ – коэффициент теплопроводности, T – температура, q – вектор плотности теплового потока, скаляр которого описывается уравнением

(6)

здесь dQτ – пройденное количество тепла через единицу площади dS поперечного сечения за единицу времени dτ.

Примем, что пройденное через поперечное сечение количество теплоты Qτ за всё время (или за какой-то промежуток времени) Δt моделирования равно теплоте, переданной нагревающейся области за это же время:

(7)

Величина W делится на 2, поскольку тепло распространяется в двух направлениях.

Модуль градиента температуры можно представить как среднюю разность температур тёплого и холодного регионов, отнесённую к расстоянию L:

(8)

где N – количество взятых разностей в различные промежутки времени.

После некоторого времени t с начала моделирования устанавливается постоянный температурный градиент, тогда-то и будем вычислять коэффициент теплопроводности, который, учитывая соотношения (5), (6), (7) и (8), выразим в следующем виде:

(9)

В предположении с изменением длины образца 2L пропорционально изменяется время t, за которое установится неизменный со временем температурный градиент. То есть, пропорционально изменится и разность температур 〈ΔT〉. Таким образом, предполагается, что отношение 〈ΔT〉/L не изменяется для различных расстояний L.

Сперва, как было ранее обозначено, проведём моделирование методом МДКП при помощи пакета программ Quantum-ESPRESSO, который использует специальные скрипты в качестве входных файлов

При проведении моделирования методом МДКП необходимо задать термостат. В данной работе был использован термостат Ноуза. Частота осцилляции термостата должна быть по порядку равна фононной частоте (заданное значение частоты равно 100 ТГц). Температура термостата – 300 К.

Рисунок 2 - Элемент кристаллической решётки фосфорена, участвующий в моделировании методом молекулярной динамики Кара-Парринелло

DOI:10.60797/IRJ.2024.143.168.2

После проведения моделирования, длящегося ≈ 100 пс (7∙105 шагов), проводится моделирование, продолжающее предыдущее, с 1000-ю шагами, причём информация о системе теперь записывается на каждом временном шаге (δt≈1,2∙10-16 с). Результирующее значение температуры системы должно колебаться вблизи целевого значения (рисунок 3). Это говорит о том, что можно приступать к построению и обучению нейронной сети на полученных данных.

Рисунок 3 - Изменение температуры со временем в обучающей выборке

DOI:10.60797/IRJ.2024.143.168.3

Одноимённый методу пакет глубокого обучения DeePMD-kit

[15]

принимает в качестве входных данных результаты ab initio моделирования. В результате обучения нейронных сетей создаётся модель потенциалов межатомного взаимодействия.

Скрытые слои нейросетей и количество нейронов в них задавалось следующим: ENN: [10,20,40]; FNN: [200,100,60,30,10].

Максимальный радиус взаимодействия принят равным rc=6 Å.

Количество шагов обучения: 100000.

Программа LAMMPS

[16]

обеспечивает проведение моделирования методом классической молекулярной динамики. В ней была создана компьютерная модель фосфорена, состоящего из 1296 атомов, взаимодействие между которыми описывалось построенной ранее моделью.

Рисунок 4 - Изменение плотности фосфорена со временем в моделировании методом классической молекулярной динамики

DOI:10.60797/IRJ.2024.143.168.4

Как видно из графика, среднее значение плотности фосфорена в компьютерной модели примерно равно 2,72 г/см3, что близко к значению плотности реального материала (2,69 г/см3).

Для вычисления коэффициента теплопроводности фосфорена мы провели моделирование по описанной схеме (рисунок 1, уравнения 6-10) несколько раз, изменяя при этом длину образца 2L={20,30,40,50,60,70,80} нм. Результаты вычислений показаны на рисунке 5.

Средние значения коэффициента теплопроводности равны ϰx≈1,685 и ϰy≈2,552 Вт/(м·К) в направлениях armchair (x) и zigzag (y) соответственно.

Рисунок 5 - Значения коэффициента теплопроводности фосфорена при его различной продольной длине 2L в разных направлениях

DOI:10.60797/IRJ.2024.143.168.5

Экстраполяция экспериментальной зависимости (рисунок 6), полученной в работе

[7]

, коэффициента теплопроводности от толщины образца чёрного фосфора показывает, что полученные величины с достаточной точностью вписываются в эту зависимость (толщина фосфорена примерно равна 0,55 нм).

Рисунок 6 - Зависимость коэффициента теплопроводности от толщины образца чёрного фосфора

Примечание: по ист. [7]

DOI:10.60797/IRJ.2024.143.168.6

Рисунок 7 - Зависимость отношения ϰy/ϰx от толщины образца чёрного фосфора

Примечание: по ист. [7]

DOI:10.60797/IRJ.2024.143.168.7

Отношение полученных величин ϰy/ϰx ≈1,51 показывает, что анизотропия коэффициента теплопроводности фосфорена в компьютерной модели сопоставима с реальным значением (рисунок 7).

Результаты вычислений, проведённых в работе, показывают высокую стабильность фосфорена в полученной компьютерной модели, а извлечённые физические свойства с достаточной точностью повторяют свойства реального материала.