1. Введение
Фосфорен является двумерным материалом, который может быть синтезирован из чёрного фосфора
[1]
Множество работ
[2][3][4]
Известно, что глубокое обучение широко распространено в современных технологиях
[5][6]
Дополнительно, мы определим коэффициент теплопроводности фосфорена в компьютерной модели и сравним его с экспериментальными данными [7].
2. Метод построения компьютерной модели фосфорена
Первым шагом для построения компьютерной модели фосфорена является получение данных для обучения нейронной сети, такими данными выступают результаты первопринципного моделирования.
В 1985 году Кар и Парринелло предложили метод МД
[8][9][10]
Пусть после проведения моделирования методом молекулярной динамики Кара-Парринелло (МДКП) системы, состоящей из
Метод DeePMD [11] позволяет установить зависимость полной энергии от позиций атомов друг относительно друга:
[LATEX_FORMULA]E=\sum_i E_i=\sum_i E_{s(i)}\left(\boldsymbol{\mathcal{R}}^i\right).[/LATEX_FORMULA]
Здесь [LATEX_FORMULA]\boldsymbol{\mathcal{R}}^i[/LATEX_FORMULA] – матрица относительных координат – расстояний от атома i до атома j внутри некоторого радиуса взаимодействия rc:
[LATEX_FORMULA]\boldsymbol{\mathcal{R}}^i=\left\{\boldsymbol{r}_{1 i}^T, \ldots, \boldsymbol{r}_{j i}^T, \ldots, \boldsymbol{r}_{N_i i}^T\right\}^T, \boldsymbol{r}_{j i}=\left(x_{j i}, y_{j i}, z_{j i}\right).[/LATEX_FORMULA]
Зависимость энергий
В данном методе дескриптор строится также через нейронную сеть
Обе сети (ENN
В методе классической МД задача движения атомов решается путем вычисления траектории движения
[LATEX_FORMULA]m_i \frac{d^2 \boldsymbol{r}_i(t)}{d t^2}=\boldsymbol{F}_i(\boldsymbol{r}),[/LATEX_FORMULA]
где
[LATEX_FORMULA]\boldsymbol{F}_i(\boldsymbol{r})=-\frac{\partial U(\boldsymbol{r})}{\partial \boldsymbol{r}_i},[/LATEX_FORMULA]
[12]
Так как энергия U(r) задана численно нейронными сетями, уравнения (3) просто решаются численными методами.
3. Метод определения коэффициента теплопроводности
Схема распределения тепла в листе фосфорена размером [2L×10] нм2
Определим коэффициент теплопроводности листа фосфорена, который задан с периодическими границами, с размерами [2L] нм2 и [10] нм2 – в направлении x (armchair) и y (zigzag) соответственно. Здесь 2L – продольная длина листа фосфорена (рисунок 1) в направлении, в котором определяется коэффициент теплопроводности.[13]
Согласно закону теплопроводности Фурье:
[LATEX_FORMULA]\boldsymbol{q}=-\varkappa\; gradT,[/LATEX_FORMULA]
где
[LATEX_FORMULA]q=\frac{dQ_\tau}{dSd\tau},[/LATEX_FORMULA]
здесь
Примем, что пройденное через поперечное сечение количество теплоты
[LATEX_FORMULA]Q_\tau=\frac{W\Delta t}{2}.[/LATEX_FORMULA]
Величина
Модуль градиента температуры можно представить как среднюю разность температур тёплого и холодного регионов, отнесённую к расстоянию
[LATEX_FORMULA]|gradT|=\frac{1}{LN}\sum^N_{i=1}|T^{(i)}_H-T^{(i)}_C|=\frac{\langle\Delta T\rangle}{L},[/LATEX_FORMULA]
где
После некоторого времени t с начала моделирования устанавливается постоянный температурный градиент, тогда-то и будем вычислять коэффициент теплопроводности, который, учитывая соотношения (5), (6), (7) и (8), выразим в следующем виде:
[LATEX_FORMULA]\varkappa=\frac{|q|}{|gradT|}=\frac{1}{S\delta t}\frac{W\Delta t}{2}\frac{L}{\langle\Delta T\rangle}=\frac{WL}{2S\langle\Delta T\rangle}[/LATEX_FORMULA]
В предположении с изменением длины образца
4. Проведение моделирования
Сперва, как было ранее обозначено, проведём моделирование методом МДКП при помощи пакета программ Quantum-ESPRESSO, который использует специальные скрипты в качестве входных файлов
[14]
Элемент кристаллической решётки фосфорена, участвующий в моделировании методом молекулярной динамики Кара-Парринелло
Изменение температуры со временем в обучающей выборке
При проведении моделирования методом МДКП необходимо задать термостат. В данной работе был использован термостат Ноуза. Частота осцилляции термостата должна быть по порядку равна фононной частоте (заданное значение частоты равно 100 ТГц). Температура термостата – 300 К.[15]
Скрытые слои нейросетей и количество нейронов в них задавалось следующим: ENN: [10,20,40]; FNN: [200,100,60,30,10].
Максимальный радиус взаимодействия принят равным
Количество шагов обучения: 100000.
Программа LAMMPS
Изменение плотности фосфорена со временем в моделировании методом классической молекулярной динамики
[16]
Для вычисления коэффициента теплопроводности фосфорена мы провели моделирование по описанной схеме (рисунок 1, уравнения 6-10) несколько раз, изменяя при этом длину образца
Средние значения коэффициента теплопроводности равны
Значения коэффициента теплопроводности фосфорена при его различной продольной длине 2L в разных направлениях
Зависимость коэффициента теплопроводности от толщины образца чёрного фосфора
Зависимость отношения ϰy/ϰx от толщины образца чёрного фосфора
[7]
5. Заключение
Результаты вычислений, проведённых в работе, показывают высокую стабильность фосфорена в полученной компьютерной модели, а извлечённые физические свойства с достаточной точностью повторяют свойства реального материала.