Алгебраический критерий и робастность запаса устойчивости дискретной динамической системы
Алгебраический критерий и робастность запаса устойчивости дискретной динамической системы
Аннотация
В работе рассмотрена задача об определении робастности запаса устойчивости дискретной динамической системы. Для решения задачи предложено использовать схему возмущения коэффициентов в алгебраическом критерии устойчивости дискретных систем. Подобное решение задачи представит интерес при построении в пространстве параметров дискретной системы (в том числе и численном) области соответствующей заданному запасу устойчивости в условиях неопределенности в задании всех или части параметров системы. Запас устойчивости характеризуется параметром, явно входящим в пересчитанные коэффициенты характеристического полинома. Приведен пример определения робастности запаса устойчивости в конкретном случае для характеристического полинома четвертого порядка с интервальными коэффициентами.
1. Введение
Задача определения запаса устойчивости любой конкретной реальной системы (т.е. степень удаления параметров системы от границы устойчивости) является очень важной задачей, т.к. позволяет определить область работоспособности системы в пространстве ее параметров. К настоящему времени большинство работ, посвященных определению запасов устойчивости, в основном связаны с исследованием непрерывных динамических систем , , . Однако решение подобной задачи для случая динамических систем с дискретным временем является не менее актуальным, поскольку дискретные системы встречаются в самых различных областях: в экологии , , , в экономике , в радиотехнике , и т.д. А поскольку точное определение параметров реальной системы часто бывает затруднительно, возникает задача оценивания запаса устойчивости систем с интервальными параметрами , .
В настоящей работе рассматривается задача об определении робастности запаса устойчивости в пространстве параметров для дискретных систем с использованием алгебраического критерия устойчивости, что является возможным благодаря пересчету параметра, характеризующего запас устойчивости, в коэффициенты характеристического полинома. Рассмотрен пример установления робастности запаса устойчивости в случае характеристического полинома четвертого порядка.
2. Запас устойчивости дискретных систем и алгебраический критерий устойчивости
Запас устойчивости дискретных динамических систем может быть охарактеризован параметром таким, что
, где
– корни характеристического полинома
Поскольку устойчивость (1) имеет место при , задача обеспечения заданного запаса устойчивости является более общей задачей по отношению к определению условий устойчивости характеристического полинома. Параметр
можно ввести формально в (1) за счет замены
. В этом случае при любом
корни полинома должны лежать в единичном круге, т.е. так, как это имеет место при исследовании устойчивости. При таком подходе
где
Наличие простых соотношений (3) позволяет воспользоваться схемой , возмущения коэффициентов характеристического полинома в алгебраическом критерии устойчивости дискретных систем.
Поскольку необходимо исследовать вопрос об устойчивости интервального полинома , нам потребуется решить вопрос о расположении его корней относительно единичного круга. Вообще говоря, сведения о расположении корней характеристического полинома относительно единичного круга являются исходными при решении многих прикладных проблем, в частности, задачи о длительности переходных процессов в дискретной динамической системе. В случае числового задания коэффициентов полинома для решения этого вопроса могут быть использованы как алгебраические критерии устойчивости , , так и системы детерминантных неравенств . Мы будем использовать критерий работы .
В работе рассмотрена задача о расположении корней двух полиномов с действительными и взаимно близкими коэффициентами относительно единичного круга. Требуется установить расположение корней оного из них, если для другого таковое известно. Решение этой задачи, естественно, представляет интерес при численном построении в пространстве параметров дискретной динамической системы областей, соответствующих одинаковому расположению корней характеристического полинома относительно единичного круга. Мы же воспользуемся предложенным алгебраическим критерием в удобной для конкретных вычислений форме для установления робастности запаса устойчивости, т.е. запаса устойчивости полинома с интервально неопределенными коэффициентами.
При опорные значения коэффициентов
, при которых будет проводиться счет, могут быть заданы соотношениями
, а погрешность
–
Из теоремы работы следует следующее утверждение:
Теорема. При выполнении условий
где задается формулой (4), а для остальных
(j= 1,2,...,n-1) имеют место рекуррентные формулы
где ,
,
, а величины
определяются рекуррентными соотношениями
полином имеет столько же корней внутри и вне единичного круга, сколько и полином
с коэффициентами
.
Следствие. При выполнении условий теоремы полином имеет столько же корней внутри и вне круга радиуса
, сколько и полином
с коэффициентами
.
Приведенные утверждения означают, что если полином устойчив (а значит, полином
имеет запас устойчивости
), то и все семейство полиномов (1) имеет тот же запас устойчивости. Конечно, оба приведенных выше утверждения носят достаточный характер. Если условия их не выполняются, то мы не можем утверждать, что число корней полиномов
и
внутри единичного круга различно (т.е. число корней полиномов
и
внутри и вне круга радиуса
различно). Но в этом случае можно воспользоваться более детальными теоремами , или использовать другие признаки устойчивости относительно единичного круга .
Пример. Рассмотрим в качестве примера интервальный полином
где ,
,
,
,
. Тогда полином
будет иметь вид
Корнями (10) являются ,
,
. То есть полином (10) удовлетворяет ограничению
. Проверим, будет ли
запасом устойчивости для всего семейства полиномов (9).
Введем значение параметра в (10) за счет замены
. Получим полином
Значение будет равно 0,01.
Проверку выполнения условий теоремы можно сделать более наглядной, если, подобно , расположить необходимые для проверки величины, полученные по приведенным формулам, порядке, приведенном в таблице 1.
Из приведенной таблицы видно, что если величина (предпоследний столбец таблицы), то условия теоремы выполняются и, следовательно, для любого полинома семейства (9) будет обеспечен запас устойчивости
.
Таблица 1 - Таблица значений величин, входящих в условия теоремы
j | βj | αj | Mj | βj-αj | ε(1)j | ε(2)j |
0 | 0,4096 | 0,12 | 0,5920 | 0,2704 | 0,0100 | 0,0200 |
1 | 0,3744 | 0,25 | 0,4186 | 0,1244 | 0,0259 | 0,0665 |
2 | 0,6981 | 0,2075 | 0,6981 | 0,4906 | 0,0983 | 0,2856 |
3 | 0,6364 | 0,0425 | 0,6364 | 0,5939 | 0,3773 | 1,5937 |
Замечание
Если бы величина была равна
, т.е. рассматривался интервальный полином (9), где
,
,
,
,
(последний столбец таблицы), то условия теоремы были бы не выполнены, т.к.
, и нельзя было бы сделать вывод о запасе устойчивости семейства полиномов.
3. Заключение
Представленная работа посвящена вопросу о сохранении запаса устойчивости интервально неопределенной дискретной системы в случае, если этот запас устойчивости обеспечен для системы с конкретными значениями параметров. Это означает не только заданную степень удаленности параметров систем всего семейства, определяемого интервальностью коэффициентов, от границы области устойчивости, но и ограничение на длительность переходных процессов в линеаризованных системах семейства. При этом в работе получены условия, при выполнении которых все полиномы интервально неопределенного семейства будут иметь одинаковое число корней внутри и вне круга радиуса (и, в частности, единичного круга). Также приведены достаточные условия, при выполнении которых запас устойчивости некоторого конкретного характеристического полинома для дискретной системы может обеспечиваться и для семейства полиномов, определяемых интервальностью коэффициентов. При получении этих условий был использован алгебраический критерий устойчивости относительно единичного круга, доказанный в работе и накладывающий ограничения на ширину интервалов, в которых определяются коэффициенты полиномов интервального семейства. Для наглядности результаты вычислений предложено, подобно , представлять в виде таблиц. Распространение известного критерия на случай исследования корней интервального семейства полиномов позволило делать выводы о робастности существующего запаса устойчивости. Результаты апробированы на примере полинома четвертой степени с интервальными коэффициентами.