НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ПО ИЗЛОЖЕНИЮ МЕТОДА ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ПО ИЗЛОЖЕНИЮ МЕТОДА ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ

Научная статья

Антоновская О.Г.^1, *, Бесклубная А.В.²

¹ ORCID: 0000-0002-5688-7996,

^{1, 2} Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород, Россия

* Корреспондирующий автор (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Аннотация

В настоящей работе рассматривается вопрос об изложении темы «Построение функций Ляпунова» раздела «Теория устойчивости» в курсах, посвященных динамике систем, дифференциальным уравнениям и т.д., для студентов математических и технических специальностей. Предлагается к изложению методика построения функций Ляпунова в виде положительно определенных квадратичных форм, обладающих заданными свойствами, определенными особенностями исходной задачи. В частности, рассматривается возможность определения коэффициентов квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющей условию ограниченности величины ее первой производной (первой разности) на ее поверхности уровня, удобной для использования в прикладных динамических задачах.

Ключевые слова: профессиональная деятельность обучаемого, профориентационная деятельность вуза, теория устойчивости движения, нелинейная динамическая система, состояние равновесия, прямой метод Ляпунова, функция Ляпунова, положительно определенная квадратичная форма.

SOME PROPOSALS FOR DESCRIBING THE METHOD OF LYAPUNOV FUNCTIONS IN EDUCATIONAL PROCESS

Research article

Antonovskaya O.G.^1, *, Besklubnaya A.V.²

¹ ORCID: 0000-0002-5688-7996,

^{1, 2} Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, Russia

* Corresponding author (olga.antonovsckaja[at]yandex.ru)

Abstract

This paper addresses the issue of presenting the topic of “Constructing Lyapunov Functions” in the “Theory of Stability” section in the courses on system dynamics, differential equations, etc., for students of mathematical and technical specialties. It is proposed to present the methodology for constructing Lyapunov functions in the form of positively defined quadratic forms with given properties, certain features of the original problem. In particular, the possibility of determining the coefficients of a quadratic Lyapunov function satisfying the condition of finiteness of the value of its first derivative (first difference) on its surface level, convenient for use in applied dynamic problems, is considered.

Keywords: trainee's professional activities, professional orientation activities of a university, theory of motion stability, nonlinear dynamic system, equilibrium state, direct Lyapunov method, Lyapunov function, positive definite quadratic form.

Введение

В настоящее время перед высшими учебными заведениями особенно остро стоит задача обеспечения подготовки компетентных профессионально мобильных кадров, способных продуктивно работать в высокотехнологичных отраслях, развивать отечественную науку и производство с учетом современных достижений в моделировании [1]. Значительную роль здесь играют математические дисциплины. Причем важно строить курсы обучения студентов не только математических, но и технических специальностей с учетом аспектов  будущей профессиональной деятельности обучаемого [1], [2]. В связи с этим, с одной стороны, все большее значение приобретает профориентационная деятельность вуза [3], [4], поскольку должны быть созданы условия для реализации старшими школьниками своих интересов, способностей и дальнейших (послешкольных) жизненных планов. Таким образом, не вызывает сомнений важность профориентационных практик вузов по поиску и отбору способных и подготовленных молодых людей, способных к освоению программ высшего профессионального образования [5], из которых со временем получатся технически грамотные специалисты. С другой стороны, возникает необходимость в изучении в вузах математических методов исследования, которые могут быть полезны при исследовании динамики технических систем [1]. Одним из таких методов является метод функций Ляпунова.

В современных условиях метод функций Ляпунова [6], [7, С. 17] начинает играть все большую роль в теории устойчивости. Что очень важно, для применения этого метода не нужно знать самих решений системы, т.к. он опирается на исследование поведения вспомогательных функций (функций Ляпунова) вдоль решений системы. Сам факт устойчивости или неустойчивости положения равновесия связывается с наличием вспомогательной функции, производная по времени (или разность) которой взятая в силу системы обладает определенными свойствами. Таким образом,  речь идет о получении информации о поведении множества решений вблизи положения равновесия системы при помощи подходящим образом построенной вспомогательной функции, причем делается это без предварительного (точного или приближенного) нахождения решений системы. Ранее этот метод незаслуженно получил репутацию метода, имеющего главным образом теоретическое значение  [8, С. 7], поскольку построение вспомогательных функций считалось весьма трудной задачей. Однако в настоящее время метод функций Ляпунова находит все более широкие применения в различных областях естествознания, техники и экономики [8, C. 5], и продолжает интенсивно разрабатываться. Проблема построения подходящей функции Ляпунова всегда играла важную роль в методе функций Ляпунова [8, С. 124-131]. Поэтому при изучении этого метода в образовательном процессе следует уделять ей больше внимания [9], поскольку будущие специалисты в дальнейшем могут не раз столкнуться с необходимостью применения функций Ляпунова для изучения динамики конкретных систем (скажем, в задачах построения областей притяжения рабочих режимов [10], [11], в задачах определения времени установления рабочего режима [12] и т. д.).

Вопросам построения функций Ляпунова всегда уделялось большое внимание [8, С.124-134]. Однако нельзя указать точный алгоритм построения подходящей функции Ляпунова в каждом конкретном случае. При практическом применении этого метода имеет смысл строить функции Ляпунова самого простого вида. Так при анализе устойчивости нелинейных непрерывных (дискретных) динамических систем, допускающих линеаризацию вблизи состояния равновесия, и для получения их качественных характеристик могут использоваться функции Ляпунова квадратичного вида, построенные для соответствующих линейных систем [8, С. 124-131], [13]. Более того, можно поставить задачу построения квадратичной функции Ляпунова, обладающей свойствами, определяемыми особенностями решаемой задачи. В частности, можно установить взаимосвязь между коэффициентами квадратичной формы, матрица которой имеет заданный спектр [14], отношение наибольшего и наименьшего собственных значений минимально [15], [16] и т. д.

При решении прикладных динамических задач, когда интерес представляют как качественные, так и количественные характеристики системы, возникает необходимость использования иных ограничения на свойства квадратичных функций Ляпунова. В частности, при качественно-численном способе оценки областей притяжения асимптотически устойчивых множеств, соответствующих рабочим режимам реальных систем [13, С.89-90], [17, с.45-47] с помощью определения знака первой производной (первой разности) квадратичной функции Ляпунова существенным является такой выбор ее коэффициентов, при котором выполнение неравенства  ( ) обеспечивается с заданным [18] запасом. В работе [19] показано, что такой выбор можно осуществить с помощью известных аналитических соотношений.

О построении квадратичной функции Ляпунова с заданными свойствами для  непрерывной линейной динамической  системы

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений вида [18]

   (1)

Выберем функцию Ляпунова для системы в классе положительно определенных квадратичных форм

    (2)

так, чтобы она была функцией Ляпунова (1) и обеспечивала выполнение неравенства  с заданным запасом, т.е. удовлетворяла условию [18] , где

первая производная (2) в силу системы (1), а , – собственные числа матрицы системы . Основные случаи получения коэффициентов (2), обладающей заданными свойствами, рассмотрены в работе [19]. В частности, в случае, когда все корни характеристического уравнения, соответствующего состоянию равновесия, действительны и различны , всегда существует линейное невырожденное преобразование координат [19]

   (3) приводящее систему к каноническому виду Но тогда условию  будет удовлетворять функция    (4)

Возвращаясь назад к переменным  получим искомую квадратичную функцию Ляпунова.

О построении квадратичной функции Ляпунова с заданными свойствами для дискретной линейной динамической  системы

Рассмотрим линейное отображение вида [18]

   (5)

Будем искать функцию Ляпунова в классе положительно определенных квадратичных форм (2) так, чтобы она была функцией Ляпунова (5) и обеспечивала выполнение неравенства  с заданным запасом, т.е. удовлетворяла условию [18] где

первая разность (2) в силу отображения (5), а  – собственные числа матрицы отображения . Основные случаи получения коэффициентов (2) с заданными свойствами рассмотрены в работе [19]. В частности, в случае, когда все корни характеристического уравнения, соответствующего состоянию равновесия, действительны и различны, , всегда существует линейное невырожденное преобразование координат (3), приводящее точечное отображение к каноническому виду

(Столбцы матрицы  отображения (3) являются собственными векторами, соответствующими собственным значениям ). Но тогда условию  будет удовлетворять функция (4), где

Возвращаясь назад к переменным  получим искомую квадратичную функцию Ляпунова.

Заключение

Изучение в образовательном процессе вопроса о построении функций Ляпунова квадратичного вида с заданными свойствами позволит будущим выпускникам не только быть в курсе современного состояния вопроса, но и позволит быть готовыми к решению практических задач исследования устойчивости реальных технических систем (в том числе и компьютерными методами). Особую роль при этом играет построение функций Ляпунова в случае точечных  отображений [13, С. 117-142], и их использование в задачах качественно-численного определения быстродействия систем. При решении задач динамики методом точечных отображений важно учитывать особенности дискретной математической модели. Прежде всего, это связано с возможностью существования разнообразных по виду колебательных процессов в системе [13, С. 40-51], в том числе и не имеющих аналогов среди непрерывных динамических систем. Кроме того, критерием окончания переходных процессов в системе может служить факт попадание на некоторое σ-множество, содержащее состояние равновесия, соответствующее рабочему режиму реальной системы. Это σ-множество определяется техническими условиями установления рабочего режима и не обязательно является ограниченным (скажем, в работе [12], посвященной исследованию динамики синтезатора частоты, это полоса, центром симметрии которой является неподвижная точка описывающего отображения). А значит факт первого попадания итерации точечного отображения на σ-множество не гарантирует того факта, что траектория в дальнейшем его не покинет. Таким образом, для определения времени установления рабочего режима системы необходим достаточно общий алгоритм определения минимального номера итерации, начиная с которого траектория системы более не покидает заданное σ-множество [12]. Например сам факт вхождения траектории в σ-множество  можно фиксировать с помощью численного счета, а признаком его окончания считать выполнение условий попадания дальнейших итераций точечного отображения внутрь сечения функции Ляпунова, вписанного в это σ-множество [12]. (В случае исследования динамики для точечных отображений нельзя воспользоваться непосредственной проверкой знака первой разности на поверхности уровня функции Ляпунова из-за дискретности траекторий модели.) Однако вполне естественно могут ставиться задачи построения функций Ляпунова [20], удобных для использования в задачах определения быстродействия реальных технических систем математическими и компьютерными методами.

Кроме того следует отметить, что метод функций Ляпунова в последнее время становится инженерным инструментом не только анализа устойчивости движения технических систем и исследования их различных динамических свойств, таких как точность, время регулирования, управляемость и т. д. Этот метод наиболее приспособлен для синтеза устойчивых или обладающих другими заданными свойствами технических систем [21], а значит его изложение в образовательном процессе является чрезвычайно важным.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

1. Малыгина О. А. Совершенствование обучения высшей математике в технических университетах / О. А. Малыгина // Международный научно-исследовательский журнал. – –  3(69). –  С. 170-174.
2. Розанова С. А. Математическая культура студентов технических университетов. / С. А. Розанова. – М.: Физматлит, 2003. – 176 с.
3. Бесклубная А.В. Особенности профессионального самоопределения современных старшеклассников / А. В. Бесклубная // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. – Самара, 2011. – Т. 13. – № 2(4). – С. 768-770.
4. Бесклубная А. В. Формирование готовности старшеклассников к выбору профессии на современном этапе модернизации школьного образования / А. В. Бесклубная, Е. Е. Щербакова / Приволжский научный журнал / Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. – Н. Новгород, 2012. – № 3. – С. 226-230.
5. Шафранов-Куцев Г. Ф. Профориентационные практики вуза. / Г. Ф. Шафранов-Куцев, С. Н. Толстогузов. – М.: Логос, 2014. – 196 с.
6. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. / А. М. Ляпунов. – М.-Л.: Изд-во техн.-теор. лит., 1950. –  472 с.
7. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. / Н. Г. Четаев. – М.: Наука, 1965. –  207 с.
8. Руш Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. – М.: Мир, 1980. – 304 с.
9. Antonovskaya O. G. On quadratic Lyapunov function for applied dynamic problems / O. G. Antonovskaya, V. I. Goryunov // Preprints of the 9-th Symposium Advances in Control Education. – The International Federation of Automatic Control. Nizhny Novgorod, 2012. – P. 484-486.
10. Веретенников В. Г. Второй метод Ляпунова. Оценки областей устойчивости и притяжения. / В. Г. Веретенников, В. В. Зайцев. – М.: Изд-во МАИ, 1986. – 71 с.
11. Каменецкий В. А. Построение областей притяжения методом функций Ляпунова / В.А. Каменецкий // Автоматика и телемеханика. – – № 6. –   С.10-26.
12. Антоновская О. Г. К анализу формы и длительности переходных процессов при переключениях синтезатора с делителем частоты и пропорционально-интегрирующим фильтром по диапазону / О. Г. Антоновская, В. И. Горюнов, Н. И. Лобашов // Динамика систем: Межвуз. сб. Горький: Изд-во ГГУ, 1989. – С.59-72.
13. Косякин А. А. Колебания в цифровых автоматических системах. / А. А. Косякин, Б. М. Шамриков. – М.: Наука, 1983. – 336 с.
14. Сарыбеков Р.А. Экстремальные квадратичные функции Ляпунова систем уравнений второго порядка. / Р. А. Сарыбеков // Сиб. матем. хурн. – – Т. 18. – № 5. – С. 1159-1167.
15. Хусаинов Д. Я. Об одном методе нахождения решения матричного уравнения Ляпунова / Д. Я. Хусаинов, Д. А. Юнькова // Укр. мат. журн. – 1984. – Т.36. – № 4. – С.528-531.
16. Комаров Ю. А. Некоторые замечания об экстремальной функции Ляпунова для линейных систем / Ю. А. Комаров, Д. Я. Хусаинов // Укр. мат. журн. – – Т.35. – № 6. – С.750-753.
17. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. / Е. А. Барбашин. – М. Наука, 1970. – 240 с.
18. Антоновская О. Г. О построении квадратичной функции Ляпунова с заданными свойствами / О. Г. Антоновская // Дифференциальные уравнения. – 2013. – Т.49. – № 9. – С. 1220-1224.
19. Антоновская О. Г. Об определении коэффициентов квадратичной функции Ляпунова с заданными свойствами / О. Г. Антоновская // Дифференциальные уравнения. – 2016. – Т.52. – № 3. – С. 276-281.
20. Антоновская О. Г. О построении и применении условно-экстремальной функции Ляпунова при изучении динамики системы с помощью точечного отображения плоскости в плоскость / О. Г. Антоновская, В. И. Горюнов // Математическое моделирование и оптимальное управление. Вестник ННГУ. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. – – №3(32). –  С. 110-117.
21. Кунцевич В. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. / В. М. Кунцевич, М. М. Лычак. – М. Наука, 1977. – 400 с.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Malygina O. A. Sovershenstvovanie obucheniya vyschey matematike v tekchnitcheskom universitete [Improvement of teaching higher mathematics in technical university] / O. A. Malygina // International research journal. – 2018. – No. 3(69). – P. 170-174. [in Russian]
2. Rosanova S. A. Matematicheskaya kul’tura studentov tekchnitcheskikch universitetov [Mathematical culture of students of technical universities] / S. A. Rosanova. – Moscow: Fizmatlit, 2003. – 176 p. [in Russian]
3. Besklubnaya A. V. Osobennosti professional’nogo samoopredeleniya sovremennykh starsheklassnikov [Features of professional self-determination of modern senior pupils] / A. V. Besklubnaya // Izvestia of Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences – Samara, 2011. – V. 13. – No 2(4). – P. 768-770. [in Russian]
4. Besklubnaya A. V. Formirovanie gotovnosti starsheklassnikov k vyboru professii na sovremennom etape modernizatsii shkol’nogo obrazovaniya [Generation of preparedness of senior pupils to profession choice on modern stage of modernization of school education] / A. V. Besklubnaya, E. E. Sherbakhova // Privolzhsky scientific journal. Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering – Nizhny Novgorod, 2012. – No 3. – P. 226-230. [in Russian]
5. Shafranov-Kutsev G. F. Proforientatsionnye praktiki vuza [Professional-orientation practices of high school] / G. F. Shafranov-Kutsev, S. N. Tolstoguzov Rosanova. – Moscow: Logos, 2014. – 196 p. [in Russian]
6. Lyapunov A. M. Obshchaya zadacha ob ustoychivosti dvizheniya [General problem of the stability of motion]. / A. M. Lyapunov. – Moscow–Leningrad: Izdat. Nthn.-teor. Lit., 1950. 472 p. [in Russian]
7. Chetaev G. Ustoychivost’ dvizheniya [Stability of motion]. / N. G. Chetaev. – Moscow: Nauka, 1966. 207 p. [in Russian]
8. Rouche N. Stability theory by Liapunov’s direct method. / N. Rouche, P. Habets, M. Laloy. – New York: Springer-Verlag, 1977. – 304 p.
9. Antonovskaya O. G. On quadratic Lyapunov function for applied dynamic problems / O. G. Antonovskaya, V. I. Goryunov // Preprints of the 9-th Symposium Advances in Control Education. – The International Federation of Automatic Control. Nizhny Novgorod, 2012. – P. 484-486.
10. Veretennikov V. G., Zaytsev V. V. Vtoroy metod Lyapunova. Otsenky oblastey ustoytchivosty i prityazheniya [Second Lyapunov method. Evaluations of stability regions and regions of attraction]. / V. G. Veretennikov. – Moscow: Izd-vo MAI, 1986. – 71 p. [in Russian]
11. Kamenetsky V. A. Postroeniye oblastey prityazheniya metodom funktsiy Lyapunova [Construction of regions of attraction by Lyapunov functions method] / V. A. Kamenetsky // Automation and remote control. – 1994. – No. 6. – P. 19-26. [in Russian]
12. Antonovskaya O. G. K analizu formy I dlitelnosti perehodnyh processov pri pereklyucheniyah sintezatora s delitelem chastity I proportsionalno-integrtiruyushim filtrom po diapazonu [On the analysis of form and duration of transient processes when switching over a range in the synthesizer with counter and proportional-integrating filter] / O. G. Antonovskaya, V. I. Goryunov, N. I. Lobashov // Dinamika system: Mezhvuz. sbornik [System dynamics: Inter-university Collection]. – Gorky: Izd-vo GGU, 1989. P. 59–72. [in Russian]
13. Kosiakin A. A. Kolebaniya v tsifrovych avtomaticheskikch systemakch [Vibrations in digital automatic systems]. / A. A. Kopsiakin, B. M. Shamrikov. – Moscow: Nauka, 1983. – 336 p. [in Russian]
14. Sarybekov R.A. Ekstremal’nye kvadratichnye funktsii Lyapunova system uravneniy vtorogo poryadka [Extremal quadratic Lyapounov functions for systems of second order] / R.A. Sarybekov // Matem. Zhyrn. [Siberian Mathematical Journal] – 1977. – V. 18. – No 5. – P. 1159-1167. [in Russian]
15. Khusainov D. Ya. Ob odnom metode nakhozhdeniya resheniya matrichnogo uravneniya Lyapunova [On one method of matrix Lyapunov equation solution] / D. Ya. Khusainov, D. A. Yun’kova // Ukr. Matem. Zhyrn. [Ukraine Mathematical Journal] – 1984. – V. 36. – No 4. – P. 528-531. [in Russian]
16. Komarov Yu. A. Nekotorye zamechaniya ob ekstremal’noy funktsii Lyapunova dlya lineynykh system [Some notes on extremal Lyapunov function for linear systems] / Yu. A. Komarov, D. Ya. Khusainov // Ukr. Matem. Zhyrn. [Ukraine Mathematical Journal] – 1983. – V. 35. – No 6. – P. 750-753. [in Russian]
17. Barbashin E.A. Funktsii Lyapunova [Lyapunov functions]. / E. A. Barbashin. – Moscow: Nauka, 1970. – 240 p. [in Russian]
18. Antonovskaya O. G. On the construction of quadratic Lyapunov function with given properties / O. G. Antonovskaya // Differential equations. – 2013. – V. 49. – No 9. – P. 1187-1191.
19. Antonovskaya O. G. Determination of coefficients of a quadratic Lyapunov function with given properties / O. G. Antonovskaya // Differential equations. – 2016. – V. 52. – No 3. – P. 275-261.
20. Antonovskaya O. G. O postroenii I primenenii uslovno-extremalnoy funktsii Lyapunova pri izuchenii ddinamiki sistemy s pomoshyu tochechnogo otobrazheniya ploskosti v ploskost’ [On a construction and use of extreme-conditional Lyapunov function when studying system dynamics by poinj mapping plane to plane] / O. G. Antonovskaya // Matematicheskoe modelirovanie I optimal’noe upravlenie [Mathematical modeling and optimal control] Vestnik NNGU. N. Novgorod: Izd-vo NNGU. – 2006. – No 3(32). – P. 110-117. [in Russian]
21. Kuntsevich V. M. Sintez system avtomaticheskogo upravleniya s pomosh’u funktsiy Lyapunova [Synthesis of automatic control systems by Lyapunov functions]. / V. M. Kuntsevich, M. M. Lytchak. – Moscow: Nauka, 1977. – 400 p. [in Russian]