О ПРЕЕМСТВЕННОСТИ СОДЕРЖАНИЯ В ИЗУЧЕНИИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ШКОЛЕ И В ВУЗЕ

Мансурова Е.Р.¹, Сергеева И.Н.²

¹ ORCID: 0000-0002-1825-0023, кандидат физико-математических наук, доцент, Марийский государственный университет; ² ORCID: 0000-0002-1825-0097, Марийский государственный университет

О ПРЕЕМСТВЕННОСТИ СОДЕРЖАНИЯ В ИЗУЧЕНИИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ШКОЛЕ И В ВУЗЕ

Аннотация

В статье уделяется внимание проблеме преемственности изучения теории вероятностей и статистики в школе и в вузе, выявлены особенности изучения темы в школе и в вузе, приводится сравнительный анализ содержания этих разделов в школьных учебниках разного профиля, построены схемы введения понятий, формул, теорем по теме, помогающие учителю в обзоре и ориентации в изучаемом материале. Материал статьи будет полезен школьным учителям и преподавателям вуза.

Ключевые слова: статистика, комбинаторика, теория вероятностей, школа, вуз.

Mansurova E. R¹., Sergeeva I. N².,

¹ORCID: 0000-0002-1825-0023, PhD in Physics and mathematics, associate professor, Mary State University, ²ORCID: 0000-0002-1825-0097, Postgraduate student; Mari State University

ABOUT CONTINUITY OF THE CONTENTS IN STUDYING OF PROBABILITY THEORY AT SCHOOL AND IN HIGHER EDUCATION INSTITUTION

Abstract

In article the attention is paid to a problem of continuity of studying of probability theory and statistics at school and in higher education institution, features of studying of a subject at school and in higher education institution are revealed, the comparative analysis of contents of these sections is provided in school textbooks of a different profile, the schemes of introduction of concepts, formulas, theorems on a subject helping the teacher with the review and orientation in the studied material are constructed. Material of article will be useful to school teachers and teachers of higher education institution.

Keywords: statistics, combination theory, probability theory, school, higher education institution.

Актуальность исследования обусловлена усилением в последние годы стохастической линии в преподавании математики в школе и в вузе, включением элементов теории вероятностей и статистики в стандарт школьного образования, многообразием школьных учебных пособий, отсутствием традиций их преподавания в школе [15], единого подхода[14], недостаточной методической разработкой. В основном, представлены рекомендации введения тех или иных понятий, например [17,23], приложения, например, статистики [13,16]. Отчасти, помогают разрешить эти трудности курсы повышения квалификации учителей. Пример одного из таких образовательных модулей, прочитанных авторами учителям школ Республики Марий Эл, представлен в [18]. Заметим, что обеспокоенность уровнем математического образования имеет место и за рубежом, например, с 2008 года началось внедрение новой программы довузовской подготовки и аттестации школьников Великобритании [25], где теория вероятностей присутствует как  приложение математики. В статистике, кроме изучаемого в нашей школе, заявлены понятия: асимметрия, регрессия, ковариация, коэффициент корреляции, в теории вероятностей – числовые характеристики случайных величин.

Цель статьи – выявление особенностей изучения этих разделов в школе и в вузе, сравнительный анализ содержания в различных учебниках разного профиля, построение схем введения понятий, формул теорем в школе, указание рекомендаций.

При построении теории в школьных учебниках учитываются возрастные особенности учащихся, уровень их математической подготовки. Изложение теории проводится на элементарном уровне. На первых порах менее строго, далее предполагается более высокий теоретический уровень. Об этом указывают и авторы учебников, например, [3]. В [7], где совмещены базовый и профильный уровни, выделен материал необязательный для базового уровня. В [9] представлены пункты «Для тeх, кoму интeресно». В статье анализируются учебники, по которым работают учителя школ Республики Марий Эл.

Основная школа

Анализируется содержание темы по учебникам математики 5-9 классов [8-12,19,20].

Первое знакомство со статистическими понятиями начинается в [19]. Учащиеся знакомятся с чтением таблиц и диаграмм (столбчатые и линейные), их составлением и построением. Вводятся понятия случайных, достоверных, невозможных, равновероятных событий.

В [20] строятся и круговые диаграммы, повторяется построение дерева вариантов, вводится понятие кодирования, рассматривается на примере правило комбинаторики – правило умножения, вводится понятие «теория вероятностей». К этой главе указаны задания для самопроверки обязательных результатов обучения.

В [8] вводятся статистические характеристики (среднее арифметическое, мода), понятия: размах выборки, частота и вероятность случайного события; рассматривается дополнительный материал – теорема сложения вероятностей (для несовместных событий).

В [9] указывается на использование линейных функций для аппроксимации данных в статистике. Повторяются как ранее известные понятия, так вводятся и новые: медиана, таблица частот. На примере впервые вводится геометрическое определение вероятности. Понятия «размещения» и «сочетания» рассматриваются для любознательных.

В [10] вводится впервые понятие биномиальных коэффициентов с указанием формулы их вычисления и их применения в разложении бинома Ньютона, рассматриваются понятия: математическая статистика, выборочный метод, генеральная совокупность, репрезентативная выборка, ранжирование, относительная частота, абсолютная частота. Помимо известной характеристики – среднего арифметического, вводятся характеристики разброса значений: дисперсия (среднее арифметическое квадратов отклонений), стандартное отклонение. Рассматриваются интервальный ряд, полигон частот, гистограмма.

В [11] рассматриваются основные понятия и формулы комбинаторики, в том числе, треугольник Паскаля. Вводятся статистическое, далее классическое определение вероятности события, понятие достоверного и противоположного событий, теорема сложения для несовместных событий и теорема умножения для независимых событий.

Завершая обзор материала по теме в основной школе, заметим что в [12] классическое определение предваряет статистическое. Вводятся понятие «факториал», формула числа перестановок, рассматриваются понятия: варианта, кратность, объем измерения, сгруппированный ряд, многоугольник распределения, гистограмма; дается определение частоты, определяются числовые характеристики (мода, размах, среднее арифметическое). На примере вводятся понятия равновозможных исходов, благоприятствующих событию исходов, противоположных и несовместных событий, даются классическое определение вероятности и теоремы сложения для несовместных событий и противоположных событий. Рассматривается статистическое определение вероятности, сравнивается на примере с теоретическим, формируется понятие статистической устойчивости. В конце главы выделены основные результаты обучения.

Базовый уровень

Анализируется содержание темы по учебнику [6].

В [6] наряду с новым материалом, повторяются понятия, определения, теоремы, введенные ранее в основной школе. Вводятся новые понятия: меры центральной тенденции, медиана, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, комбинаторный анализ. Приводится исторический экскурс. Определяются число сочетаний и размещений, рассматривается треугольник Паскаля, формула бинома Ньютона. Вводятся понятия произведения событий, независимых событий и статистической устойчивости; определяются вероятность произведения независимых событий, геометрическая вероятность, рассматриваются теоремы о сумме вероятностей любых двух событий и произведения двух независимых событий, теорема Бернулли (фактически формула Бернулли).

Профильный уровень

Анализируется содержание в [1-5,7].

В [1] статистическое определение вероятности предваряет классическое определение. На примере вводится понятие дискретной случайной величины, составляется таблица равномерно распределенной случайной величины, впервые вводится аксиоматическое определение вероятности, приводится историческая справка.

В [2] впервые вводятся понятие «соединения с повторениями» с указанием формулы их вычислений, понятие «условная вероятность», рассматривается в общем случае теорема умножения, а также формула Бернулли и одна из форм закона больших чисел (теорема Бернулли), геометрическая вероятность.

В [3] закрепляются ранее рассматриваемые понятия, формулы, свойства, теоремы.

В [4] рассматриваются правило умножения комбинаторики, определяются понятия «сочетания», «перестановки» и «размещения», указываются формулы их вычислений, приводится бином Ньютона, дается классическое определение вероятности, теоремы о вероятности суммы событий и вероятности наступления события, хотя бы один раз в схеме Бернулли.

В [5] выделим §§23, 24, 25. В этих параграфах рассматриваются схема Бернулли, биномиальное распределение случайной величины, многоугольник распределения, наивероятнейшее число успехов, вводится понятие статистической устойчивости и сходимости по вероятности (закон больших чисел), строится гауссова кривая – кривая нормального распределения, задается ее аналитическое выражение, приводится пример с доской Гальтона, рассматриваются фактически локальная и интегральная теоремы Лапласа, меры центральной тенденции, статистические методы обработки информации. В приложении даются таблицы значений φ(х) и Φ(х).

[7] совмещает базовый и профильный уровни. Указывается, что учебник нацелен на подготовку учащихся в вуз, и по нему можно работать независимо от учебника, по которому учащиеся обучались в предыдущие годы. Рассматриваются комбинаторика, треугольник Паскаля, понятие вероятности события и свойства вероятностей событий, для профильного уровня даются понятия относительной частоты события, условной вероятности, теорема умножения в общем случае, аксиоматическое определение вероятности и понятие статистической устойчивости относительных частот, вводятся математическое ожидание (среднее взвешенное), закон больших чисел(теорема Бернулли) и приводится историческая справка.

Высшая школа

Нужно отметить, что существуют разные подходы в изучении теории вероятностей: первый подход – статистика предваряет теорию вероятностей; второй подход – наоборот. Первый подход в вузе видим на математических специальностях, например, на педагогическом отделении: сначала на первом курсе изучается предмет «Основы математической обработки информации» и только на третьем курсе – теория вероятностей. Второй подход – при изучении основ на нематематических специальностях. Здесь в разделе «Основы теории вероятностей» (12 часов) изучаются случайные события и одномерная случайная величина (дискретная и непрерывная) с числовыми характеристиками. Школьный материал по случайным событиям дополнен формулой полной вероятности, теоремой гипотез. В схеме Бернулли рассматриваются все предельные теоремы: локальная и интегральная теоремы Лапласа, теорема Бернулли, теорема Пуассона.

Схемы

Представлены схемы изучения в школе основных понятий, теорем по теории вероятностей (схемы 1,2), по комбинаторике (схема 3), по статистике (схема 4). В скобках указан класс первого знакомства с этими понятиями, теоремами; звездочкой отмечены профильные классы или «для тех кому интересно».

Схема 1

Схема 2

Схема 3

Схема 4

Таким образом, исходя из анализа содержания школьных учебников и программ, учебных планов вуза, просматриваются:

• принципы построения теории вероятностей и статистики в школе: повтор ранее изученного и введение нового или углубление ранее введенного;
• подходы в изучении теории вероятностей в школе и вузе: статистика предваряет теорию вероятностей или наоборот. Сторонники первого подхода в школе, например, [14,15,24], в вузе – на математических специальностях, второго подхода в школе [21,22], в вузе – на нематематических специальностях;
• недооценка в связи с многочисленными приложениями, например, в методе статистических испытаний, геометрической вероятности: сведение ее только к возможности повторения курса геометрии и укреплению навыков формализации текстовых вероятностных задач [23];
• введение в профильных классах аксиоматического определения вероятности, что, несомненно, нужно приветствовать.

Литература

1. Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов, с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев; Под ред. Н. Я. Виленкина. — М.: Просвещение, 2009. — 84 с.: ил.
2. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 2014. — 312 с.: ил.
3. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 2014. — 288 с.: ил.
4. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2011. — 424 с.: ил.
5. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М.: Мнемозина, 2011. — 287 с.: ил.
6. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013. — 399 с.: ил.
7. Алгебра и начала математического анализа10 класс. Учебник. Базовый и профильный уровни Никольский С.М. и др. - М.: Просвещение, 2009. - 430 с.
8. Алгебра. 7 класс Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. Учебник. - М.: Просвещение, 2010. — 256 с.: ил.
9. Алгебра. 8 класс. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. Учебник. — Под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Просвещение, 2009. — 288 с.: ил.
10. Алгебра. 9 класс. Учебник Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. - М.: 2009, - 304 с.
11. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. - М.: Мнемозина, 2010. — 447 с.: ил.
12. Алгебра 9 класс учебник для общеобразоват. учреждений/ Мордкович А.Г., Семенов П.В.- М.: 2013 - 224с.
13. Багишова О.А. Изучение основ статистики на лингвистических примерах// Математика в школе. 2009. № 9. С. 19–22.
14. Бунимович Е. А, Булычев В. А, Тюрин Ю. Н. О теории вероятностей и статистике в школьном курсе // Математика в школе. 2009. № 7. С. 3-13.
15. Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Типичные ошибки в преподавании теории вероятностей и статистики // Математика в школе. 2014. № 5. С. 32–43.
16. Гольдфаин И.И. Статистические законы и понятия в современной школьной программе// Математика в школе. 2009. № 7. С. 59–64.
17. Демина Т. Ю. Вероятность события // Математика в школе. 2011. № 5. С. 27–33.
18. Мансурова Е.Р. Преемственность обучения математики в школе и в вузе на примере темы «Вероятность и статистика» (из опыта работы).// Физика и ее преподавание в школе и в вузе. XII Емельяновские чтения. Материалы всероссийской науч.-практ. конф. Мар.гос.ун-т. 2014. С.134-137.
19. Математика. 5 класс. Учебник в 2 частях Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. - М.: 2009. Часть 1 - 176с, Часть 2 - 240с.
20. Математика. 6 класс. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. 11-е изд. - М.: 2009. - 303 с.
21. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Об интеграции стохастической линии в сложившийся курс математики основной школы // Математика в школе. 2009. № 7. С. 38–45.
22. Реньи А. Заметки о преподавании теории вероятностей // Математика в школе 2013. №4. с.64-69.
23. Тюрин Ю.Н., Макаров А.Л., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Преподавание теории вероятностей и статистики в школе по учебному пособию Ю.Н.Тюрина и др. «Теория вероятностей и статистика» // Математика в школе. 2009. № 7. С. 14–31.
24. Фалин Г. И. Преподавание теории вероятностей в школе. Часть 1. Предмет теории вероятностей // Математика в школе. 2014. № 2. С. 28–36.
25. Фалин Г. И., Фалин А. И. Описательная статистика на ГИА // Математика в школе. 2011. № 7. С. 21–30.

References

1. Bagisheva, O.A. (2009). Learning the basics of statistics on linguistic examples. Mathematics in School, 9, 19 – 22.
2. unimovich, E. A., Bulychev, V. A., Tyurin, Y. N., Makarov, A. A., Vysotsky, I. R., Yaschenko, I. V., Semenov,  P.V. ( 2009 ). About the theory of probability and statistics in the school course. Mathematics in School, 7, 3 – 13.
3. Demina, T.Y. (2011). The probability of events. Mathematics in School, 5, 27 – 33.
4. Dorofeeva, G. V., Suvorov, S. B., Sharygin, I. F., Bunimovich, E. A., and etc. (2009). Mathematics. Grade 5. Grade 6. Textbook for educational institutions. – Moscow M.: Enlightenment.
5. Dorofeeva, G. V., Suvorov, S. B., Bunimovich, E. A., Kuznetsova, L. V., and etc. (2009). Mathematics. Grade 7. Grade 8.  Grade 9. Textbook for educational institutions. – Moscow M.: Enlightenment.
6. Filin, G. I., Filin A. I. (2011). The new system of pre-university training and certification of graduates of schools in the UK. Mathematics in School, 10, 59 – 65.
7. Falin, G. I. (2014). The teaching of the theory of probability in school. Part 1. Subject of probability theory. Mathematics in School, 2, 28 – 36.
8. Goldfain, I. I. (2009). Statistical  laws and concepts in modern school.  Mathematics in School, 7, 59 – 64.
9. Mansurova, E. R. (2014). Continuity of teaching mathematics at school and in high school on an example of the topic "Probability and Statistics" (from experience). XII Yemelyanovsky reading: Materials All-Russia scientific - practical conference. Yoshkar –Ola, Mari State University, 134 – 137.
10. Mordkovich , A. G., Semenov, P. V. (2009). On the integration of the stochastic lines to the prevailing rate of primary school mathematics.  Mathematics in School, 7, 38 – 45.
11. Renyi, A (2013). Notes on the teaching of the theory of probability.  Mathematics in School, 7, 64 – 69.
12. Vysotsky, I. R., Yaschenko, I. V. (2014). Typical errors in the teaching of the theory of probability and statistics. Mathematics in School, 5, 32 – 43.
13. Makarychev, U. N., Mindyuk,  N. G.,  Neshkov, K. I., Feoktistov, I. E. (2010).  Algebra. Grade 9. Textbook for educational institutions. – Moscow M.: Mnemosyne.
14. Mordkovich , A. G., Semenov, P. V., and etc.  (2013). Algebra. Grade 9. Textbook for educational institutions. – Moscow M.: Mnemosyne.
15. Mordkovich , A. G., Semenov, P. V., and etc.  (2011).  Algebra and mathematical analysis. Grade 10. Grade 11. Textbook for educational institutions (profile level). – Moscow M.: Mnemosyne.
16. Mordkovich , A. G., Semenov, P. V., and etc. (2013). Algebra and mathematical analysis. Grade 10. Grade 11. Textbook for educational institutions. – Moscow M.: Mnemosyne.
17. Nikolsky, C. M., Potapov, M. K.,  Reshetnikov, N. I.,  Shevkin, A. V. (2009). Algebra and mathematical analysis. Basic and profile level. Grade 10. – Moscow M.: Enlightenment.
18. Tyurin, Y. N., Makarov,  A. A., Vysotsky I. R., Yaschenko I. V. (2009). The teaching of the theory of probability and statistics in school. Mathematics in School, 7, 14 – 31.
19. Vilenkin, N. Y., Survilo, G. S., Smitnov, A. S. Kudryavtsev,  A. I. (2009). Algebra. Grade 8. Grade 9. Teaching aids for schools and classes with in-depth study of mathematics. – Moscow M.: Enlightenment.
20. Vilenkin, N. Y., Ivashov – Musatov, O. S., Shvartsburg, S. I. (2014).  Algebra and mathematical analysis. Grade 10. Grade 11. Textbook for educational institutions. – Moscow M.: Enlightenment.