Оптимизация объёмов испытаний на различных этапах комплексной отработки изделий ракетно-космической техники

Оптимизация объёмов испытаний является важной задачей комплексной отработки изделий ракетно-космической техники, поскольку рост числа испытаний сопровождается увеличением подтверждаемой надёжности и одновременным ростом затрат. В предыдущей работе

была предложена аналитическая модель прогнозирования надёжности на этапе комплексной отработки, основанная на аппроксимационной зависимости вероятности отказа от числа испытаний. Данная модель позволяет количественно описывать изменение надёжности изделия, однако не решает задачу распределения испытаний между этапами комплексной отработки.

Цель настоящего исследования заключается в разработке математического аппарата оптимизации объёмов испытаний на различных этапах комплексной отработки изделий ракетно-космической техники. Актуальность работы обусловлена необходимостью обоснованного выбора числа испытаний при ограниченных ресурсах и заданных требованиях по надёжности, а также отсутствием аналитических методов, позволяющих формально учитывать распределение испытаний по этапам экспериментальной программы.

Научная новизна работы заключается в формировании оптимизационной постановки задачи распределения объёмов испытаний на основе аналитической модели надёжности. В работе введено дисциплинирующее условие надёжности и получены аналитические зависимости, позволяющие определить оптимальные вероятности отказов и соответствующие им объёмы испытаний на каждом этапе комплексной отработки. Разработан алгоритм расчётов, обеспечивающий практическую реализацию предложенного подхода при планировании испытаний.

Планирование комплексных испытаний заключается в определении объёма испытаний на каждом из этапов экспериментальной отработки

. В результате проведения полного цикла испытаний должны быть удовлетворены требования, предъявляемые к надежности, задающиеся соотношением:

где Hk — уровень надёжности транспортного средства (ТС); Qk — cуммарная вероятность отказа.

Суммарная вероятность отказа определяется через следующее выражение:

где qk,j — вероятность отказа, достигаемая на j-ом этапе комплексной отработки; αj, βj, δj — параметры аппроксимационной модели; r — число этапов комплексных испытаний.

Функциональная зависимость вероятности отказа от числа испытаний на этапе комплексной отработки задаётся аппроксимационной моделью, полученной ранее по результатам обработки экспериментальных данных

,

[3]

,

[5]

.

Как видно из соотношения (1) заданные уровни надежности ТС можно обеспечить при различных сочетаниях вероятностей отказа qk,j. Очевидно, что конкретные уровни вероятности отказа qk,j, удовлетворяющие дисциплинирующему условию (1), целесообразно назначать из условия минимизации суммарных затрат на проведение экспериментальной отработки:

где cj — удельные затраты на одно испытание на j-м этапе; ξj — корректирующий множитель. Корректирующий множитель ξj учитывает специфику проведения испытаний на соответствующем этапе, включая дополнительные организационные и технологические факторы, не отражённые непосредственно в аппроксимационной зависимости вероятности отказа.

В рассматриваемой постановке варьируемыми параметрами являются вероятности отказа qk,j, а соответствующие им объёмы испытаний kj определяются из аппроксимационной зависимости.

Для рассматриваемого случая функция Лагранжа имеет вид

:

Таким образом, оптимальные значения вероятностей отказа qk,j и соответствующие им объёмы испытаний kj должны удовлетворять условию:

Раскрывая выражение (5) и приравнивая частные производные функции Лагранжа к нулю, получим систему алгебраических уравнений:

Производя преобразование выражения (6), получим соотношение:

Подставляя полученное соотношение (7) в уравнение (6), получим:

Разрешим уравнение (8) относительно вероятностей отказа

:

После подстановки выражения (9) в дисциплинирующее условие (1) получим:

Отсюда окончательное выражение для вероятностей отказа на этапах комплексной отработки принимает вид:

Знание qk,j позволяет оценить объёмы испытаний на различных этапах комплексной отработки через выражение:

Полученные зависимости позволяют определить оптимальные вероятности отказов и соответствующие объёмы испытаний при заданных ограничениях по надёжности и ресурсам. Формулы (11) и (12) задают основу для их распределения между этапами. Для практического применения необходим последовательный расчёт, включающий нормирование надёжности и определение корректирующего множителя. Ниже приводится соответствующий алгоритм.

Алгоритм определения оптимального объёма испытаний основан на ранее полученных выражениях для распределения вероятностей отказов и расчёта числа испытаний на каждом этапе комплексной отработки

. Последовательность вычислительных процедур включает несколько этапов, позволяющих перейти от исходных параметров надёжности к количественной оценке необходимого объёма испытаний.

Рассмотрим каждый этап алгоритма:

1. Задание исходных данных.

На первом этапе определяются коэффициент вариации

; коэффициент запаса mη,1, mη,2; доверительная вероятность и аппроксимирующие коэффициенты αj, βj, δj, полученные по результатам комплексной отработки , , , . Эти данные используются для дальнейшего построения зависимостей надёжности и определения вероятности отказа на различных этапах комплексных испытаний.

2. Построение аппроксимационной зависимости.

Изменение вероятности отказа в зависимости от числа испытаний на этапе комплексной отработки описывается аппроксимационной зависимостью логарифма вероятности отказа:

На основе экспериментальных данных вычисляются аппроксимирующие коэффициенты α, β, δ. Полученная зависимость позволяет определить вероятность отказа, достигаемую на j-м этапе испытаний:

На рисунке 1 приведено сопоставление экспериментальных значений логарифма вероятности отказа Qj(k), рассчитанных по соотношениям (1) – (4), и аппроксимирующей зависимости f(k), построенной по выражению (13). Сплошной линией показаны расчётные значения Q(k), пунктирной — аппроксимирующая функция. Близость кривых подтверждает корректность выбранной аппроксимационной модели и достаточную точность оценки коэффициентов α, β, δ для дальнейших расчётов

, .

На данном этапе выполняется нормирование требований по надёжности изделия с целью распределения допустимой суммарной вероятности отказа между этапами комплексной отработки. В качестве исходного требования задаётся значение надёжности изделия Hзад, которому соответствует допустимое значение суммарной вероятности отказа

Распределение вероятностей отказа по этапам осуществляется на основе аналитических зависимостей (10) – (11), полученных в предыдущем разделе статьи, с учётом аппроксимационных параметров αj, βj, δj, удельных затрат cj и корректирующих множителей ξj. При этом обеспечивается выполнение дисциплинирующего условия по надёжности, заключающегося в равенстве суммы вероятностей отказа на этапах заданному значению Qзад.

В результате нормирования каждому этапу комплексной отработки сопоставляется нормированное значение вероятности отказа qk,j, согласованное с заданными требованиями по надёжности и ограничениями по ресурсам. Данный подход позволяет учесть неоднородность этапов комплексной отработки и различие их вклада в формирование общей надёжности изделия

.

4. Расчёт объёмов испытаний.

Для каждого этапа комплексной отработки определяется такое значение числа испытаний kj по выражению (12), при котором достигается рассчитанное на предыдущем этапе нормированное значение вероятности отказа qk,j согласно выражению (11). Таким образом обеспечивается выполнение заданных требований по надёжности при минимально необходимом объёме экспериментальных работ.

Полученные значения kj представляют собой оптимальное распределение испытаний между этапами комплексной отработки. Данное распределение согласует требования по надёжности, экономические ограничения и экспериментальные возможности, обеспечивая рациональную организацию программы испытаний в рамках единой оптимизационной модели.

Рассмотрим приближенную оценку потребного числа испытаний для равнонадежных систем. При проведении комплексной отработки объём испытаний будет определяться числом испытаний необходимых для подтверждения заданного уровня надежности всеми агрегатами системы. Моменты окончания испытаний в этом случае соответствуют моментам пересечения случайных траекторий параметра работоспособности

с граничной кривой ηгр(k). Под граничной кривой ηгр(k) понимается зависимость предельного значения коэффициента запаса от числа испытаний, соответствующая заданному уровню надёжности.

Оценка среднего числа испытаний сводится к определению среднего значения момента пересечения случайных траекторий

с граничной кривой ηгр(k). На рисунке 2 представлено типовое поведение случайных траекторий параметра работоспособности и их пересечения с граничной областью. Точка пересечения каждой траектории с кривой ηгр(k) соответствует моменту выхода параметра за допустимую область и, соответственно, моменту завершения испытаний по данному параметру. Усреднение таких моментов по множеству реализаций позволяет получить оценку числа испытаний, необходимых для достижения требуемого уровня надёжности.

где значение коэффициента запаса ηзад, соответствующее заданному уровню надёжности Hзад, определяется по соотношению:

где tγ — аргумент, соответствующий принятому уровню доверительной вероятности γ;

— обозначает квантиль нормированного нормального распределения, определяемый из условия

В условиях комплексной отработки измерения параметров работоспособности выполняются по нескольким контролируемым характеристикам, поэтому требуемый объём испытаний определяется моментом подтверждения надёжности всех параметров. Среднее число испытаний при этом может быть оценено аналогично «горячему» резервированию и выражается через средний объём испытаний для одного параметра

,

[9]

,

[10]

. При наличии n оцениваемых параметров приближённая оценка среднего числа испытаний задаётся выражением:

где kср — средний объём испытаний для подтверждения надёжности одного параметра.

Полученное соотношение позволяет выполнить быструю инженерную оценку объёма испытаний для равнонадёжных систем и может быть использовано на ранних этапах планирования экспериментальной отработки в качестве ориентировочной оценки.

В работе представлена методика оптимизации объёмов испытаний на этапах комплексной отработки изделий ракетно-космической техники. На основе дисциплинирующего условия по надёжности сформирована математическая модель распределения вероятностей отказов между этапами, включающая использование функции Лагранжа и вывод аналитических зависимостей для расчёта числа испытаний. Получены выражения, позволяющие определять оптимальные значения вероятностей отказов и соответствующие им объёмы испытаний при заданных ограничениях по надёжности и удельным затратам.

Разработан алгоритм проведения расчётов, обеспечивающий последовательное определение корректирующего множителя, нормирование требований по надёжности и расчёт объёмов испытаний для каждого этапа комплексной отработки. Предложенный алгоритм дополняет существующие подходы к планированию испытаний

, , , ориентированные преимущественно на фиксированные объёмы экспериментальных работ, и позволяет учитывать неоднородность этапов, различие их вклада в формирование надёжности и экономические ограничения в рамках единой оптимизационной схемы.

Дополнительно в работе предложен приближённый метод оценки необходимого числа испытаний для равнонадёжных систем, основанный на анализе пересечений случайных траекторий параметра работоспособности с граничной кривой. Данный подход может быть использован для быстрой инженерной оценки объёмов испытаний на ранних этапах планирования комплексной отработки и при предварительном обосновании программ испытаний

.

Перспективы дальнейших исследований связаны с развитием предложенной методики в направлении учёта неоднородных систем, включения нескольких ограничений по ресурсам (временным, стоимостным и энергетическим), а также с разработкой процедур оптимизации для адаптивных программ испытаний, предусматривающих уточнение параметров модели по мере накопления экспериментальных данных. Полученные в работе результаты могут служить основой для построения более общего инструментария анализа и оптимизации испытаний многоэлементных и многоразовых систем.