2303-9868 2227-6017 Международный научно-исследовательский журнал 2303-9868 ООО Цифра 10.60797/IRJ.2026.166.76 Brief communication Оптимизация объёмов испытаний на различных этапах комплексной отработки изделий ракетно-космической техники https://orcid.org/0000-0001-9907-260X https://publons.com/researcher/MNO-5843-2025 Пронкин Алексей Андреевич pronkinalex@mail.ru 1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) 17 04 2026 2026 7 166 1 7 28 01 2026 01 04 2026 Copyright: © 2022 The Author(s) 2022 This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited. See http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ .

В статье рассматриваются задачи оптимизации объёмов испытаний на различных этапах комплексной отработки изделий ракетно-космической техники. Цель исследования заключается в определении рационального распределения испытаний между этапами с учётом требований к надёжности и ограничений по ресурсам. На основе дисциплинирующего условия надёжности сформирована математическая постановка задачи оптимизации, включающая использование функции Лагранжа и вывод системы уравнений, позволяющей определить оптимальные значения вероятностей отказов и соответствующие им объёмы испытаний. Представлены аналитические зависимости для расчёта числа испытаний на каждом этапе, учитывающие удельные затраты и аппроксимирующие коэффициенты, полученные на стадии комплексной отработки. Разработан алгоритм проведения расчётов, обеспечивающий поэтапный выбор объёмов испытаний с последующим нормированием требуемого уровня надёжности. Рассмотрена приближённая оценка момента завершения испытаний для равнонадёжных систем, позволяющая определить средний объём испытаний с учётом перехода в область подтверждения надёжности нескольких контролируемых параметров. Полученные результаты обеспечивают возможность формирования экономически обоснованных программ экспериментальной отработки и служат основой для дальнейшего совершенствования методов оптимизации испытаний изделий ракетно-космической техники.

 ракетно-космическая техника оптимизация испытаний комплексная отработка надёжность вероятность отказа экспериментальная отработка равнонадёжные системы математическая модель HTML-content

1. Введение

Оптимизация объёмов испытаний является важной задачей комплексной отработки изделий ракетно-космической техники, поскольку рост числа испытаний сопровождается увеличением подтверждаемой надёжности и одновременным ростом затрат. В предыдущей работе

[1]

Цель настоящего исследования заключается в разработке математического аппарата оптимизации объёмов испытаний на различных этапах комплексной отработки изделий ракетно-космической техники. Актуальность работы обусловлена необходимостью обоснованного выбора числа испытаний при ограниченных ресурсах и заданных требованиях по надёжности, а также отсутствием аналитических методов, позволяющих формально учитывать распределение испытаний по этапам экспериментальной программы.

Научная новизна работы заключается в формировании оптимизационной постановки задачи распределения объёмов испытаний на основе аналитической модели надёжности. В работе введено дисциплинирующее условие надёжности и получены аналитические зависимости, позволяющие определить оптимальные вероятности отказов и соответствующие им объёмы испытаний на каждом этапе комплексной отработки. Разработан алгоритм расчётов, обеспечивающий практическую реализацию предложенного подхода при планировании испытаний.

2. Определение оптимального объёма испытаний на этапах комплексной отработки

Планирование комплексных испытаний заключается в определении объёма испытаний на каждом из этапов экспериментальной отработки

[2]

$ H k = 1 − Q k $ ,

где

Суммарная вероятность отказа определяется через следующее выражение:

$ Q k = ∑ j = 1 r q k , j = ∑ j = 1 r 1 ( k j − β j ) δ j e − α j $ ,

где

Функциональная зависимость вероятности отказа от числа испытаний на этапе комплексной отработки задаётся аппроксимационной моделью, полученной ранее по результатам обработки экспериментальных данных [1], [3], [5].

Как видно из соотношения (1) заданные уровни надежности ТС можно обеспечить при различных сочетаниях вероятностей отказа

Очевидно, что конкретные уровни вероятности отказа , удовлетворяющие дисциплинирующему условию (1), целесообразно назначать из условия минимизации суммарных затрат на проведение экспериментальной отработки:

$ $ C k = ∑ j = 1 r c j k j ξ j $ $ ,

где

ξj ξj

В рассматриваемой постановке варьируемыми параметрами являются вероятности отказа , а соответствующие им объёмы испытаний kj определяются из аппроксимационной зависимости.

Для рассматриваемого случая функция Лагранжа имеет вид

[5]

$ L = C k + λ ( Q k − Q зад ) $ .

Таким образом, оптимальные значения вероятностей отказа

kj

$ ∂ L ∂ k j = 0 $ .

Раскрывая выражение (5) и приравнивая частные производные функции Лагранжа к нулю, получим систему алгебраических уравнений:

$ c j ξ j − λ e − α j δ j ( k j − β j ) δ j + 1 = 0 $ .

Производя преобразование выражения (6), получим соотношение:

$ e − α j δ j ( k j − β j ) δ j + 1 = δ j · q k , j δ j + 1 δ j · e α j δ j $ .

Подставляя полученное соотношение (7) в уравнение (6), получим:

$ c j ξ j − λ · e α j δ j · q k , j δ j + 1 δ j · δ j = 0 $ .

Разрешим уравнение (8) относительно вероятностей отказа [5]:

$ q k , j = ( 1 λ δ j c j ξ j e − α j δ j ) δ j δ j + 1 $ .

После подстановки выражения (9) в дисциплинирующее условие (1) получим:

$ $ Q зад = ( 1 λ ) δ j δ j + 1 ∑ j = 1 r ( 1 δ j c j ξ j e − α j δ j ) δ j δ j + 1 $ $ .

Отсюда окончательное выражение для вероятностей отказа на этапах комплексной отработки принимает вид:

$ q k , j = ( 1 δ j c j ξ j e − α j δ j ) δ j δ j + 1 · Q зад ∑ j = 1 r ( 1 δ j c j ξ j e − α j δ j ) δ j δ j + 1 $ .

Знание позволяет оценить объёмы испытаний на различных этапах комплексной отработки через выражение:

$ k j = ( e − α j q k , j ) 1 δ j + β j $ .

Полученные зависимости позволяют определить оптимальные вероятности отказов и соответствующие объёмы испытаний при заданных ограничениях по надёжности и ресурсам. Формулы (11) и (12) задают основу для их распределения между этапами. Для практического применения необходим последовательный расчёт, включающий нормирование надёжности и определение корректирующего множителя. Ниже приводится соответствующий алгоритм.

3. Алгоритм проведения расчётов

Алгоритм определения оптимального объёма испытаний основан на ранее полученных выражениях для распределения вероятностей отказов и расчёта числа испытаний на каждом этапе комплексной отработки

[1]

Рассмотрим каждый этап алгоритма:

1. Задание исходных данных.

На первом этапе определяются коэффициент вариации

$ k V Σ $ $ γ = 0 , 95 ( t = 2 t γ ; t γ = 1 , 65 ) $

mη,1, mη,2;[1][3][4][5]

2. Построение аппроксимационной зависимости.

Изменение вероятности отказа в зависимости от числа испытаний на этапе комплексной отработки описывается аппроксимационной зависимостью логарифма вероятности отказа:

$ ln Q = δ ln ( k − β ) + α $ .

На основе экспериментальных данных вычисляются аппроксимирующие коэффициенты

$ Q j ( k ) = 1 ( k j − β j ) δ j e − α j $ .

На рисунке 1 приведено сопоставление экспериментальных значений логарифма вероятности отказа

[1][3]

Аппроксимация логарифма вероятности отказа по числу испытаний

Аппроксимация логарифма вероятности отказа по числу испытаний

На данном этапе выполняется нормирование требований по надёжности изделия с целью распределения допустимой суммарной вероятности отказа между этапами комплексной отработки. В качестве исходного требования задаётся значение надёжности изделия Hзад, которому соответствует допустимое значение суммарной вероятности отказа [LATEX_FORMULA]$Q_{\text{зад}} = 1 - H_{\text{зад}}$.[/LATEX_FORMULA]

Распределение вероятностей отказа по этапам осуществляется на основе аналитических зависимостей (10) – (11), полученных в предыдущем разделе статьи, с учётом аппроксимационных параметров

ξjзад

В результате нормирования каждому этапу комплексной отработки сопоставляется нормированное значение вероятности отказа

[7]

4. Расчёт объёмов испытаний.

Для каждого этапа комплексной отработки определяется такое значение числа испытаний

Полученные значения

4. Приближенная оценка объёма испытаний для равнонадежных систем

Рассмотрим приближенную оценку потребного числа испытаний для равнонадежных систем. При проведении комплексной отработки объём испытаний будет определяться числом испытаний необходимых для подтверждения заданного уровня надежности всеми агрегатами системы. Моменты окончания испытаний в этом случае соответствуют моментам пересечения случайных траекторий параметра работоспособности

$ m ^ η ( k ) $

ηгр(k)ηгр(k)

Оценка среднего числа испытаний сводится к определению среднего значения момента пересечения случайных траекторий

$ m ^ η ( k ) $

ηгр(k)ηгр(k)

Оценка моментов окончания испытаний

Оценка моментов окончания испытаний

В случае нормального распределения параметров работоспособности граничные кривые определяются соотношениями, вытекающими из модели прогнозирования надёжности, использованной в работе [1]:

$ η гр = η зад 1 − t γ k k V ( η ) $ ,

где значение коэффициента запаса

ηзадзад

$ η зад = 1 1 − arg F * { H зад } k V ( η ) $ ,

где

$ arg F * ( H зад ) $ $ F ( x ) = H зад $ .

В условиях комплексной отработки измерения параметров работоспособности выполняются по нескольким контролируемым характеристикам, поэтому требуемый объём испытаний определяется моментом подтверждения надёжности всех параметров. Среднее число испытаний при этом может быть оценено аналогично «горячему» резервированию и выражается через средний объём испытаний для одного параметра [6], [9], [10]. При наличии n оцениваемых параметров приближённая оценка среднего числа испытаний задаётся выражением:

$ k ср ,   n = k ср ( 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n ) $ ,

где

Полученное соотношение позволяет выполнить быструю инженерную оценку объёма испытаний для равнонадёжных систем и может быть использовано на ранних этапах планирования экспериментальной отработки в качестве ориентировочной оценки.

5. Заключение

В работе представлена методика оптимизации объёмов испытаний на этапах комплексной отработки изделий ракетно-космической техники. На основе дисциплинирующего условия по надёжности сформирована математическая модель распределения вероятностей отказов между этапами, включающая использование функции Лагранжа и вывод аналитических зависимостей для расчёта числа испытаний. Получены выражения, позволяющие определять оптимальные значения вероятностей отказов и соответствующие им объёмы испытаний при заданных ограничениях по надёжности и удельным затратам.

Разработан алгоритм проведения расчётов, обеспечивающий последовательное определение корректирующего множителя, нормирование требований по надёжности и расчёт объёмов испытаний для каждого этапа комплексной отработки. Предложенный алгоритм дополняет существующие подходы к планированию испытаний

[8][9][10]

Дополнительно в работе предложен приближённый метод оценки необходимого числа испытаний для равнонадёжных систем, основанный на анализе пересечений случайных траекторий параметра работоспособности с граничной кривой. Данный подход может быть использован для быстрой инженерной оценки объёмов испытаний на ранних этапах планирования комплексной отработки и при предварительном обосновании программ испытаний

[2]

Перспективы дальнейших исследований связаны с развитием предложенной методики в направлении учёта неоднородных систем, включения нескольких ограничений по ресурсам (временным, стоимостным и энергетическим), а также с разработкой процедур оптимизации для адаптивных программ испытаний, предусматривающих уточнение параметров модели по мере накопления экспериментальных данных. Полученные в работе результаты могут служить основой для построения более общего инструментария анализа и оптимизации испытаний многоэлементных и многоразовых систем.

 Additional File

The additional file for this article can be found as follows:

Further description of analytic pipeline and patient demographic information. DOI: https://doi.org/10.60797/IRJ.2026.166.76

Acknowledgements

Автор выражает благодарность кафедре 610 «Управление эксплуатацией ракетно-космических систем» Московского авиационного института.

 Competing Interests

Гусев Е.В. Модель обеспечения надежности на этапе комплексной отработки изделий ракетно-космической техники / Е.В. Гусев, А.А. Пронкин // Международный научно-исследовательский журнал. – 2026. – № 1 (163). — DOI: 10.60797/IRJ.2026.163.38. Галеев А.В. Разработка технологии испытаний криогенных ракетных двигателей с имитацией воздействующих факторов : дис. … канд. техн. наук : 05.07.05 / А.В. Галеев. — Москва, 2018. — 126 с. Gusev E. Forecasting of maintenance indicators of complex technical systems during storage / E. Gusev, A. Pronkin // Aerospace Systems. — 2023. — Vol. 6. — № 3. — P. 383–391. — DOI: 10.1007/s42401-023-00225-6. Гусев Е.В. Модель определения оптимального количества запасных элементов и принадлежностей методом динамического программирования / Е.В. Гусев, А.А. Пронкин // Научно-технический вестник Поволжья. — 2024. — № 5. — С. 46–49. Золотов А.А. Прикладные задачи обеспечения надёжности при разработке аппаратов ракетно-космических систем / А.А. Золотов, В.В. Родченко, Е.В. Гусев. — Москва : Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 2023. — 160 с. Абрамов О.В. Управление состоянием сложных технических систем / О.В. Абрамов // Труды Международного симпозиума «Надёжность и качество». — 2010. — Т. 1. — С. 24–26. Гусев Е.В. Разработка математической модели оценки надёжности аппаратуры летательного аппарата на основе метода статистического моделирования / Е.В. Гусев // Научно-технический вестник Поволжья. — 2023. — № 3. — С. 24–27. Федоров В.К. Контроль и испытания в проектировании и производстве радиоэлектронных средств / В.К. Федоров, Н.П. Сергеев, А.А. Кондрашин; под ред. В.К. Федорова. — Москва : Техносфера, 2005. — 502 с. Похабов Ю.П. Подход к конструированию на основе прогнозирования надёжности / Ю.П. Похабов, В.А. Каверин, А.М. Васильев [и др.] // Инженерный журнал: наука и инновации. — 2025. — № 4 (160). — DOI: 10.18698/2308-6033-2025-4-2439. Похабов Ю.П. О надёжности изделий ракетно-космического назначения, содержащих компоненты и элементы с неизвестными показателями надёжности / Ю.П. Похабов // Инженерный журнал: наука и инновации. — 2024. — № 6 (150). — DOI: 10.18698/2308-6033-2024-6-2363.