1/f-шум при рекурсивном взаимодействии носителей тока с квантовыми вакуумными флуктуациями

Фликкер-шум был обнаружен около 100 лет тому назад. С тех пор этот вид шума порождает массу вопросов о природе и механизмах его формирования. Отметим, что к фликкер-шуму относят неравновесные низкочастотные (НЧ) флуктуации, у которых спектральная плотность мощности (СПМ) S(f,I) аппроксимируется зависимостью

где f — частота, I — средний ток через образец, C0 — коэффициент аппроксимации, а для β и индекса СПМ γ выполняются неравенства

Частным случаем фликкер-шума является 1/f-шум

В 1957 году A.L. McWhorter предложил модель, согласно которой в полупроводниках 1/f-шум возникает в результате захвата носителей заряда на медленные поверхностные состояния. Позднее A. Van der Ziel

В 1970-е годы было экспериментально установлено, что 1/f-шум наблюдается не только в физических, но и в самых разнообразных природных, технических, социально-экономических и биологических системах. В связи с этим стало актуальным создание таких теоретических моделей 1/f-шума, которые имеют единый подход для всех природных систем. Одной из первых работ в этом направлении стала квантовая теория P. Handel

В предлагаемой работе впервые рассмотрены механизмы формирования 1/f-шума в результате рекурсивного взаимодействия носителей тока в полупроводниках с НЧ квантовыми вакуумными флуктуациями на фоне сильной аддитивной помехи от теплового шума.

Цель работы: Формулировка и проверка на основе полуэмпирических моделей, аналитических расчетов, компьютерного моделирования и натурного эксперимента SG гипотезы о связи природы 1/f-шума в физических системах с квантовыми вакуумными флуктуациями (далее — квантовыми флуктуациями) или с нулевыми колебаниями вакуума

Для реализации поставленной цели предстоит решить следующие задачи:

1. Рассмотреть особенности обнаружения и изучении 1/f-шума и квантовых флуктуаций на фоне теплового шума.

2. Рассмотреть модели формирования 1/f-шума на высоких частотах.

3. Сформулировать SG гипотезу о том, что НЧ 1/f-шум сопровождает рекурсивное взаимодействие носителей тока с НЧ квантовыми флуктуациями. Предложить полуэмпирические модели 1/f-шума.

4. Изучить рекурсивное взаимодействие квантовых флуктуаций с носителями тока с аттосекундными задержками в цепи обратной связи.

5. Предложить динамические модели 1/f-шума, построенные в рамках авторегрессионной модели 1-го порядка и рекурсивного фильтра нижних частот. Сравнить результаты численных расчетов 1/f-шума с экспериментом.

Объектом исследования в работе являются полупроводники и полупроводниковые приборы. Предметом исследования является 1/f-шум и возможные механизмы его возникновения. В работе используются радиофизические и цифровые методы обнаружения, преобразования и обработки сигналов, порождаемых НЧ квантовыми флуктуациями.

Наблюдение 1/f-шума возможно, если он является избыточным, т.е. превышает по уровню тепловой шум. В настоящее время тепловой шум чаще всего рассматривают совместно с квантовыми флуктуациями (нулевыми колебаниями)

где kB — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, T — абсолютная температура. В замкнутых цепях СПМ SI(f) тепловых флуктуаций тока

При R=1 Ом, (4), (5) можно свести в одну формулу

Анализ (4), (5), (6) показывает, что на высоких частотах при f>>kBT/h тепловой шум не маскирует спектр квантовых флуктуаций. Это позволяет изучать их при комнатных температурах в оптической и УФ области спектра, где СПМ теплового шума (при R=1 Ом) определяется исключительно СПМ квантовых флуктуаций SB(f)

На рисунке 1 приведены расчетные СПМ SW(f) теплового шума.

Расчетные СПМ теплового шума цепи с активным сопротивлением R=1 Ом при температурах:

1 - T=300 К; 2 - T=1 К; 3 - T=0,03 К; 4 - T=0,001 K

DOI:10.60797/IRJ.2026.166.110.1

Видно, что SW(f)∝ f при f>1011T [Гц] Шум с S(f)∝ f, получил название f-шум или «синий шум»

[7]

. В природе синий шум не наблюдается. Связано это с двумя факторами. На частотах f<1011T [Гц] синий шум квантовых флуктуаций маскируется тепловым белым шумом. На частотах f>1011T [Гц] синий шум преобразуется в другой вид шума (см. далее).

Рассмотрим в субмикронных системах атипичный, высокочастотный (ВЧ), равновесный 1/f-шум, особенность которого обусловлена двумя факторами: ВЧ диапазоном и равновесным характером шума.

Согласно флуктуационно-диссипационной теореме (ФДТ)

где

где τ=L/R. На рисунке 2 приведены рассчитанные по (9) СПМ теплового шума проводника с R=1 Ом, τ=1 нс.

Расчетные с учетом ФДТ СПМ тепловых флуктуаций тока в проводнике при различных температурах:

1 - T=300 К; 2 - T=1 К; 3 - T=0,03 К; 4 - T=0,001 K

DOI:10.60797/IRJ.2026.166.110.2

На частотах f>1011T [Гц]

и СПМ ВЧ участка спектра приобретает зависимость вида 1/f. Полученный результат сопряжен с рядом ограничений, связанных с приближением для цепей с сосредоточенными параметрами и с идеализаций элементов R и L, поскольку при f>3 ГГц сложно обеспечить частотно независимые характеристики R и L. Тем не менее, такой расчет полезен при поиске механизмов формирования 1/f-шума, а также — при планировании экспериментов при сверхнизких температурах порядка 1 мК по наблюдению квантовых флуктуаций (нулевых колебаний)

4.1. SG гипотеза об источниках 1/f-шума

В НЧ диапазоне, например на звуковых частотах, при T=300 К СПМ квантовых флуктуаций более чем на десять порядков меньше СПМ тепловых флуктуаций. Поэтому выглядит призрачным формирование 1/f-шума путем пассивного преобразования сигналов квантовых флуктуаций. Попробуем преодолеть такое предубеждение. Заметим, что тепловой шум является равновесным, и поэтому согласно (5), (6) его СПМ ограничена по величине вне зависимости от величины тока. Для неравновесного 1/f-шума нет подобных ограничений.

Обычно в качестве первичного источника 1/f-шума рассматривают белый шум

Предлагается SG гипотеза о природе 1/f-шума, имеющего реализации непрерывного типа. Согласно SG гипотезе в проводнике с током в процессе нерекурсивного или рекурсивного взаимодействия квантовых флуктуаций с взаимно некоррелированными носителями тока с аттосекундными задержками в петле положительной обратной связи за счет интегрирования по времени синего шума (f-шума), создаваемого квантовыми флуктуациями (нулевыми колебаниями), инициализируется 1/f-шум. Отметим, что для SG гипотезы не существенна величина взаимной корреляции квантовых флуктуаций

4.2. Линейная полуэмпирическая модель 1/f-шума

Функциональная схема, соответствующая линейной полуэмпирической модели 1/f-шума, изображена на рисунке 3 (а). На схеме распределённые вдоль проводника N источников квантовых флуктуаций изображены, как генераторы синего шума g1…gk…gN, СПМ Sg(f) каждого из которых

Интегрирование по времени синего шума с g1…gi…gN происходит соответственно в фильтрах нижних частот LP1…LPN. Введем упрощение, от которого далее избавимся. Предположим, что интегрирование по времени синего шума от каждого источника gi с преобразованием его в шумовой ток j(t) происходит за счет инерционности носителей тока со временем релаксации τLP и описывается обобщенным уравнением Ланжевена

Переходя к СПМ Sj(f) флуктуаций тока j(t) и, учитывая (11), имеем

Функциональная схема:

а - преобразований сигналов по моделям 1/f-шума; б - фильтров нижних частот LP1…LPN

DOI:10.60797/IRJ.2026.166.110.3

Будем считать, что полупроводник (проводник) с током представляет собой локально неравновесную среду

[10]

. В одномерном приближении положим, что процессы равновесного обмена энергией каждого носителя тока с источниками g1…gk…gN квантовых флуктуаций происходят на участках проводника, протяженность каждого из которых равна размеру a элементарной ячейки. За время t1 для проводника длиной z по порядку величины число таких процессов обмена N=z∙t1I/(q∙a). В силу аддитивности СПМ флуктуаций некоррелированных носителей тока и пренебрежения в области НЧ малой величиной временных задержек τ1 τ2…τk…τN шумовых сигналов в проводнике неравновесная СПМ полного шумового тока будет равна сумме N слагаемых СПМ (13) квантовых флуктуаций, ретранслируемых в проводник каждым k-м носителем тока.

При f≫1/(2πτLP ) (14) дает для SI(f,I) 1/f зависимость от частоты и линейную зависимость СПМ от тока:

Проведем согласно (15) численные оценки СПМ для следующего примера

R-1=6.6 10-3 См; I=2 10-2 А; f=10 Гц; t1=1 с, τLP =1 с, a=3 10-10 м, z=3 10-3 м.

Результат (16) по порядку величины хорошо согласуется с данными

4.3. Нелинейная полуэмпирическая модель 1/f-шума

Рассмотрим в качестве проводника включенный в прямом направлении полупроводниковый диод с экспоненциальным участком вольт-амперной характеристики (ВАХ)

Малая величина относительных флуктуаций тока позволяет полагать, что они происходят на небольшом квазилинейном участке ВАХ, для которого справедливы полученные ранее в линейном приближении формулы (14), (15) с уточнением о том, что активную проводимость R-1 придется заменить дифференциальной проводимостью Gd(I)=dI/dU

где 1≤ υ ≤2. Подставляя Gd(I) в (14), имеем

При выполнении условия f≫1/(2πτLP ) формула (19) примет вид

С экспоненциальной нелинейностью получена квадратичная зависимость СПМ от величины I, что согласуется с (1), (2). Проведем численные оценки согласно (20) для следующего примера:

Результаты расчетов (21) хорошо согласуются по порядку величины с экспериментальными данными, например,

Недостатком рассмотренных выше моделей 1/f-шума является ограниченность частотного диапазона 1/f-шума в области НЧ. Эксперименты показывают, что 1/f-шум наблюдается до частот 10-3…10-8 Гц

На вход каждого фильтра LP1…LPN поступает сигнал квантовых флуктуаций. С выхода фильтра сигнал возбуждает один из носителей тока. Время задержки τ в петле обратной связи определяется прохождением сигнала со скоростью электромагнитной волны в вакууме c расстояния, равного размеру a типичной элементарной ячейки полупроводника

Не следует опасаться того, что рекордно малая

Модуль коэффициента передачи

С учетом (22) для всех f<<1016 Гц можно приблизительно записать

Положим, что a0=1-b0, а величину b1<1 устремим к 1 с точностью до 25 знака после запятой. С учётом этого (25) примет вид

где τ2=τ/(1-b0). Пусть, например b0=1-10-25. Тогда τ2=2 107 с.

6.1. Компьютерный синтез синего шума

На базе ПК был создан 24-битный генератор сигналов с прямым цифровым синтезом, позволяющий получать электрические сигналы синего, белого и 1/f шума в полосе частот от 10 Гц до 38 кГц. Усредненный индекс СПМ синего шума составлял γ1=0.999±0.001. Усредненные коэффициенты асимметрии и эксцесса по модулю не превышали величину 0.1.

Для компьютерной эмуляции временных рядов {xi} синего шума использовано дифференцирование дробного порядка центрированного белого гауссовского шума. Реализации синего шума записывалась в память в виде массива данных x[i] и содержала 216 – 217 семплов.

6.2. Первая динамическая модель 1/f-шума

В этой модели временные ряды {xi}, состоящие из 217 семплов синего шума, интегрировались численными методами. На рисунке 4 изображены мгновенная (1) и усредненная (2) СПМ 1/f-шума, полученные путем интегрирования по времени соответственно одной и 3000 реализаций f-шума.

Мгновенная (1) (серый цвет) и усредненная по 3000 реализациям (2) (зеленый цвет) СПМ 1/f-шума, полученные из f-шума методом кратного интегрирования

DOI:10.60797/IRJ.2026.166.110.4

Усредненный по четырём частотным декадам индекс γ СПМ 1/f γ-шума составлял 0.99±0.02. Коэффициенты асимметрии и эксцесса по модулю не превышали 0.1. Приведенные результаты подтверждают ту часть SG гипотезы, которая утверждает, что 1/f-шум может формироваться путем интегрирования по времени синего шума (f-шума).

6.3. Вторая динамическая модель 1/f-шума

В этой модели расчет временных рядов {yi} 1/f-шума происходил на основе авторегрессионной модели 1-го порядка для цепей Маркова

Усредненный индекс СПМ γ, рассчитанный по четырем декадам НЧ части частотной оси, равен 0.98±0.04. Коэффициент эксцесса составил -0.02±0.01, коэффициент асимметрии 0.07±0.03.

Данные рисунка 5 важны в двух аспектах. Во-первых, они еще раз подтверждают SG гипотезу о том, что 1/f-шум формируется путем интегрирования по времени синего шума. Во-вторых, использование алгоритма авторегрессионной модели 1-го порядка позволяет реализовать интегрирование по времени синего шума, как минимум, по четырем декадам изменения частоты, что достаточно для большинства приложений.

Мгновенная (1) (серый цвет) и усредненная по 3000 реализациям (2) (зелёный цвет) СПМ 1/f-шума, полученные из f-шума авторегрессионным методом

DOI:10.60797/IRJ.2026.166.110.5

6.4. Фазовые портреты 1/f-шума естественного происхождения

В дополнение к компьютерному моделированию проведены экспериментальные исследования 1/f-шума. В качестве объекта исследования использован реализованный на полупроводниковой микросхеме двухканальный микрофонный усилитель. Для уменьшения влияния помех использована мостовая схема измерения, теоретическое обоснование применения которой дано в

На рисунках 6 (а), 6 (б) приведены полученные различными методами фазовые портреты 1/f-шума естественного происхождения.

Фазовые портреты 1/f-шума, полученные различными методами:

а - модифицированным методом 2048-канального вокодера; б - классическим методом дифференцирования

DOI:10.60797/IRJ.2026.166.110.6

Для рисунка 6 (а) координаты каждой изображающей точки задаются соответствующим отсчетным значением шумового сигнала и этого же сигнала, пропущенного через 2048-канальный цифровой вокодер. Для рисунка 6 (б) координаты каждой k-той изображающей точки задаются классическим методом расчета траекторий на фазовых портретах: соответствующим xk отсчетным значением шумового сигнала и локальной производной, рассчитанной по пяти (xk-2, xk-1, xk, xk+1, xk+2) отсчетным значениям шумового сигнала. Частота кадров фазовых портретов из 2048 изображающих точек, составляла 62.5 Гц.

Установлено, что каждый кадр фазовых портретов, полученных как методом вокодера, так и классическим методом, имеет уникальный вид по конфигурации и по амплитудам флуктуаций, осцилляционного типа. Эллипсовидная форма участков фазовых траекторий на рис.6 (а), (б) хорошо согласуется с тем, что интегральное преобразование формирует квадратурные компоненты 1/f-шума по отношению к исходному сигналу — синему шуму квантовых флуктуаций. Из данных рисунка 6 (а) также следует, что число полных затухающих колебаний в каждом квантовом осцилляторе близко к 1.

В результате выполнения данной работы решены все поставленные задачи. В частности, впервые рассмотрены особенности обнаружения и изучении 1/f-шума и НЧ квантовых флуктуаций на фоне теплового шума; рассмотрены виртуальные модели формирования 1/f-шума на высоких частотах за счет квантовых флуктуаций; предложена SG гипотеза, согласно которой в результате рекурсивного взаимодействия квантовых флуктуаций с некоррелированными носителями тока формируется 1/f-шум; созданы две полуэмпирические модели 1/f-шума; рассмотрено рекурсивное взаимодействие с аттосекундными задержками в петле положительной обратной связи носителей тока с квантовыми флуктуациями, найден универсальный механизм, за счет которого образуются длительные времена релаксации, формирующие 1/f-шум; с помощью разработанных динамических моделей реализован расчет временных рядов 1/f-шума авторегрессионным методом 1-го порядка и численным интегрированием временных рядов синего шума; получено хорошее согласие компьютерных расчетов с экспериментами по статистике, спектральным характеристикам, по динамике изменения формы реализаций и фазовых портретов 1/f-шума.

Особо следует отметить, что впервые путем численных и аналитических расчетов показано, что рекурсивное взаимодействие квантовых флуктуаций с взаимно некоррелированными носителями тока приводит к интегральному преобразованию синего шума, создаваемого квантовыми флуктуациями, что, в свою очередь, приводит к формированию 1/f-шума в широкой полосе частот с нижней граничной частотой до 10-8 Гц.

Результаты работы могут быть использованы для расширения сфер применения радиофизических методов в статистической физике, в квантовой физике, а также в качестве готового и апробированного методического обеспечения в учебных заведениях естественно-научного и технического профиля