2303-9868 2227-6017 Международный научно-исследовательский журнал 2303-9868 ООО Цифра 10.60797/IRJ.2026.166.110 Brief communication 1/f-шум при рекурсивном взаимодействии носителей тока с квантовыми вакуумными флуктуациями Гоц Сергей Степанович g_ss@rambler.ru 1 https://ror.org/02wnaj108 Уфимский университет науки и технологий 17 04 2026 2026 11 166 1 11 11 12 2025 06 04 2026 Copyright: © 2022 The Author(s) 2022 This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited. See http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ .

Предложена и обоснована SG гипотеза, согласно которой 1/f-шум непрерывного типа сопровождает рекурсивное взаимодействие с аттосекундными задержками в положительной обратной связи квантовых вакуумных флуктуаций со взаимно некоррелированными носителями тока. Показано, что указанное взаимодействие приводит к интегральному преобразованию синего шума, создаваемого квантовыми флуктуациями. Рассмотрены две полуэмпирические и две компьютерные динамические модели 1/f-шума. Установлено, что результаты аналитических и численных расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными по спектрам, статистике, динамике изменения формы реализаций и модифицированных фазовых портретов 1/f-шума естественного происхождения в полупроводниковых приборах. Полученные результаты работы могут быть полезны для более широкого и эффективного использования радиофизических методов в статистической и в квантовой физике.

 1/f-шум f-шум белый шум синий шум квантовые вакуумные флуктуации нулевые колебания аттосекундные задержки HTML-content

1. Введение

Фликкер-шум был обнаружен около 100 лет тому назад. С тех пор этот вид шума порождает массу вопросов о природе и механизмах его формирования. Отметим, что к фликкер-шуму относят неравновесные низкочастотные (НЧ) флуктуации, у которых спектральная плотность мощности (СПМ) S(f,I) аппроксимируется зависимостью

S ( f , I ) = C o I β / f γ

где f — частота, I — средний ток через образец, C0 — коэффициент аппроксимации, а для β и индекса СПМ γ выполняются неравенства

0 , 8 ≤ β ≤ 2 ; 0 , 8 ≤ γ ≤ 2 .

Частным случаем фликкер-шума является 1/f-шум [1], [2], [3], впервые обнаруженный в полупроводниках около 70 лет тому назад и имеющий диапазон изменения γ вблизи 1, обычно в пределах

0 , 8 ≤ γ ≤ 1 , 2 .

В 1957 году A.L. McWhorter предложил модель, согласно которой в полупроводниках 1/f-шум возникает в результате захвата носителей заряда на медленные поверхностные состояния. Позднее A. Van der Ziel [1] разработал модифицированный вариант упомянутой модели 1/f-шума. В 1969 году F.N. Hooge [2] предложил полуэмпирическую формулу, описывающую 1/f-шум в физических системах.

В 1970-е годы было экспериментально установлено, что 1/f-шум наблюдается не только в физических, но и в самых разнообразных природных, технических, социально-экономических и биологических системах. В связи с этим стало актуальным создание таких теоретических моделей 1/f-шума, которые имеют единый подход для всех природных систем. Одной из первых работ в этом направлении стала квантовая теория P. Handel [4]. Согласно этой теории, 1/f-шум возникает как результат взаимодействия носителей заряда со свободными от влияния теплового шума квантовыми флуктуациями в инфракрасной области спектра. Перенос спектра флуктуаций в область НЧ происходит за счет частичного рассеяния энергии зарядов на акустических фононах. К сожалению, работа Handel имела ряд серьезных ошибок и противоречий с законом сохранения энергии. Всё это на несколько десятков лет затормозило развитие новых идей по созданию квантовых моделей 1/f-шума [5].

В предлагаемой работе впервые рассмотрены механизмы формирования 1/f-шума в результате рекурсивного взаимодействия носителей тока в полупроводниках с НЧ квантовыми вакуумными флуктуациями на фоне сильной аддитивной помехи от теплового шума.

Цель работы: Формулировка и проверка на основе полуэмпирических моделей, аналитических расчетов, компьютерного моделирования и натурного эксперимента SG гипотезы о связи природы 1/f-шума в физических системах с квантовыми вакуумными флуктуациями (далее — квантовыми флуктуациями) или с нулевыми колебаниями вакуума [6] (далее — нулевыми колебаниями).

Для реализации поставленной цели предстоит решить следующие задачи:

1. Рассмотреть особенности обнаружения и изучении 1/f-шума и квантовых флуктуаций на фоне теплового шума.

2. Рассмотреть модели формирования 1/f-шума на высоких частотах.

3. Сформулировать SG гипотезу о том, что НЧ 1/f-шум сопровождает рекурсивное взаимодействие носителей тока с НЧ квантовыми флуктуациями. Предложить полуэмпирические модели 1/f-шума.

4. Изучить рекурсивное взаимодействие квантовых флуктуаций с носителями тока с аттосекундными задержками в цепи обратной связи.

5. Предложить динамические модели 1/f-шума, построенные в рамках авторегрессионной модели 1-го порядка и рекурсивного фильтра нижних частот. Сравнить результаты численных расчетов 1/f-шума с экспериментом.

Объектом исследования в работе являются полупроводники и полупроводниковые приборы. Предметом исследования является 1/f-шум и возможные механизмы его возникновения. В работе используются радиофизические и цифровые методы обнаружения, преобразования и обработки сигналов, порождаемых НЧ квантовыми флуктуациями.

2. Квантовые флуктуации и 1/f-шум на фоне теплового шума

Наблюдение 1/f-шума возможно, если он является избыточным, т.е. превышает по уровню тепловой шум. В настоящее время тепловой шум чаще всего рассматривают совместно с квантовыми флуктуациями (нулевыми колебаниями) [6]. Для такой совокупности СПМ SU(f) флуктуаций напряжения на участке разомкнутой цепи с активным сопротивлением R

S U ( f ) = 4 R h f exp ( h f k B T ) − 1 + 2 R h f ,

где kB — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, T — абсолютная температура. В замкнутых цепях СПМ SI(f) тепловых флуктуаций тока

S I ( f ) = 4 h f R − 1 exp ( h f k B T ) − 1 + 2 h f R − 1 = 2 h f R − 1 Cth ( h f 2 k B T ) ,

При R=1 Ом, (4), (5) можно свести в одну формулу

S W ( f ) = 2 h f · Cth ( h f 2 k B T )

Анализ (4), (5), (6) показывает, что на высоких частотах при f>>kBT/h тепловой шум не маскирует спектр квантовых флуктуаций. Это позволяет изучать их при комнатных температурах в оптической и УФ области спектра, где СПМ теплового шума (при R=1 Ом) определяется исключительно СПМ квантовых флуктуаций SB(f)

S B ( f ) = 2 h f

На рисунке 1 приведены расчетные СПМ SW(f) теплового шума.

Расчетные СПМ теплового шума цепи с активным сопротивлением R=1 Ом при температурах: 1 - T=300 К; 2 - T=1 К; 3 - T=0,03 К; 4 - T=0,001 K

Расчетные СПМ теплового шума цепи с активным сопротивлением R=1 Ом при температурах: 1 - T=300 К; 2 - T=1 К; 3 - T=0,03 К; 4 - T=0,001 K

Видно, что SW(f) f при f>1011T [Гц] Шум с S(f)∞ f, получил название f-шум или «синий шум» [7]. В природе синий шум не наблюдается. Связано это с двумя факторами. На частотах f<1011T [Гц] синий шум квантовых флуктуаций маскируется тепловым белым шумом. На частотах f>1011T [Гц] синий шум преобразуется в другой вид шума (см. далее).

3. Модель высокочастотного 1/f-шума

Рассмотрим в субмикронных системах атипичный, высокочастотный (ВЧ), равновесный 1/f-шум, особенность которого обусловлена двумя факторами: ВЧ диапазоном и равновесным характером шума.

Согласно флуктуационно-диссипационной теореме (ФДТ) [8] для СПМ теплового токового шума в линейных электрических цепях

S I ( f ) = Cth ( h f 2 k B T ) 2 hfRe ( Y ˙ ( f ) ) ,

где [LATEX_FORMULA]\dot{Y}(f)=G(f)+i B(f)[/LATEX_FORMULA] — адмиттанс. В частности, в эквивалентной схеме с соединенным последовательно резистором R с индуктивностью L

S I ( f ) = Cth ( h f 2 k B T ) 2 h f R − 1 1 + ( 2 π f ) 2 τ 2 ,

где

Расчетные с учетом ФДТ СПМ тепловых флуктуаций тока в проводнике при различных температурах: 1 - T=300 К; 2 - T=1 К; 3 - T=0,03 К; 4 - T=0,001 K

Расчетные с учетом ФДТ СПМ тепловых флуктуаций тока в проводнике при различных температурах: 1 - T=300 К; 2 - T=1 К; 3 - T=0,03 К; 4 - T=0,001 K

На частотах f>1011T [Гц]

S I ( f ) = 2 h f R − 1 1 + ( 2 π f ) 2 τ 2 ,

и СПМ ВЧ участка спектра приобретает зависимость вида 1/f. Полученный результат сопряжен с рядом ограничений, связанных с приближением для цепей с сосредоточенными параметрами и с идеализаций элементов R и L, поскольку при f>3 ГГц сложно обеспечить частотно независимые характеристики R и L. Тем не менее, такой расчет полезен при поиске механизмов формирования 1/f-шума, а также — при планировании экспериментов при сверхнизких температурах порядка 1 мК по наблюдению квантовых флуктуаций (нулевых колебаний) [6], [9]. Заметим, что при соответствующих τ (10) может описывать и НЧ 1/f-шум.

4. SG гипотеза и созданные на ее основе модели НЧ 1/f-шума

4.1. SG гипотеза об источниках 1/f-шума

В НЧ диапазоне, например на звуковых частотах, при T=300 К СПМ квантовых флуктуаций более чем на десять порядков меньше СПМ тепловых флуктуаций. Поэтому выглядит призрачным формирование 1/f-шума путем пассивного преобразования сигналов квантовых флуктуаций. Попробуем преодолеть такое предубеждение. Заметим, что тепловой шум является равновесным, и поэтому согласно (5), (6) его СПМ ограничена по величине вне зависимости от величины тока. Для неравновесного 1/f-шума нет подобных ограничений.

Обычно в качестве первичного источника 1/f-шума рассматривают белый шум [1], [10]. Можно выделить следующие три вида преобразований белого шума в 1/f-шум: дробное интегрирование 0.5 порядка [11]; интегральные преобразования [10]; авторегрессионные марковские модели [12]. В физических системах с низкой плотностью носителей тока, например в слабо легированных полупроводниках, указанные преобразования можно упростить, если выбрать первичный процесс, который при кратном интегрировании по времени даст 1/f-шум.

Предлагается SG гипотеза о природе 1/f-шума, имеющего реализации непрерывного типа. Согласно SG гипотезе в проводнике с током в процессе нерекурсивного или рекурсивного взаимодействия квантовых флуктуаций с взаимно некоррелированными носителями тока с аттосекундными задержками в петле положительной обратной связи за счет интегрирования по времени синего шума (f-шума), создаваемого квантовыми флуктуациями (нулевыми колебаниями), инициализируется 1/f-шум. Отметим, что для SG гипотезы не существенна величина взаимной корреляции квантовых флуктуаций [13], [14].

4.2. Линейная полуэмпирическая модель 1/f-шума

Функциональная схема, соответствующая линейной полуэмпирической модели 1/f-шума, изображена на рисунке 3 (а). На схеме распределённые вдоль проводника N источников квантовых флуктуаций изображены, как генераторы синего шума g1…gk…gN, СПМ Sg(f) каждого из которых

S g ( f ) = 2 h f R − 1 .

Интегрирование по времени синего шума с g1…gi…gN происходит соответственно в фильтрах нижних частот LP1…LPN. Введем упрощение, от которого далее избавимся. Предположим, что интегрирование по времени синего шума от каждого источника gi с преобразованием его в шумовой ток j(t) происходит за счет инерционности носителей тока со временем релаксации τLP и описывается обобщенным уравнением Ланжевена

d j ( t ) d t τ L P + j ( t ) = g i ( t ) .

Переходя к СПМ Sj(f) флуктуаций тока j(t) и, учитывая (11), имеем

S j ( f ) = 2 h f R − 1 1 + ( 2 π f ) 2 τ L P 2 ,

Функциональная схема: а - преобразований сигналов по моделям 1/f-шума; б - фильтров нижних частот LP1…LPN

Функциональная схема: а - преобразований сигналов по моделям 1/f-шума; б - фильтров нижних частот LP1…LPN

Будем считать, что полупроводник (проводник) с током представляет собой локально неравновесную среду [10]. В одномерном приближении положим, что процессы равновесного обмена энергией каждого носителя тока с источниками g1…gk…gN квантовых флуктуаций происходят на участках проводника, протяженность каждого из которых равна размеру a элементарной ячейки. За время t1 для проводника длиной z по порядку величины число таких процессов обмена N=z∙t1I/(q∙a). В силу аддитивности СПМ флуктуаций некоррелированных носителей тока и пренебрежения в области НЧ малой величиной временных задержек τ1 τ2…τk…τN шумовых сигналов в проводнике неравновесная СПМ полного шумового тока будет равна сумме N слагаемых СПМ (13) квантовых флуктуаций, ретранслируемых в проводник каждым k-м носителем тока.

S I ( f , I ) = ∑ k = 1 z t 1 I q a { 2 h f R − 1 [ 1 + ( 2 π f τ L P ) 2 ] } k = 2 h f I z t 1 R − 1 q a [ 1 + ( 2 π f τ L P ) 2 ]

При (14) дает для SI(f,I) 1/f зависимость от частоты и линейную зависимость СПМ от тока:

S I ( f , I ) = 2 h I R − 1 t 1 Z q a ( 2 π τ L P ) 2 f

Проведем согласно (15) численные оценки СПМ для следующего примера

R-1=6.6 10-3 См; I=2 10-2 А; f=10 Гц; t1=1 с, τLP =1 с, a=3 10-10 м, z=3 10-3 м.

S I ( f , I ) ≈ 310 − 14   A 2 /  Гц. 

Результат (16) по порядку величины хорошо согласуется с данными [15].

4.3. Нелинейная полуэмпирическая модель 1/f-шума

Рассмотрим в качестве проводника включенный в прямом направлении полупроводниковый диод с экспоненциальным участком вольт-амперной характеристики (ВАХ)

I ( U ) = I 0 exp ( q U ϑ k B T ) .

Малая величина относительных флуктуаций тока позволяет полагать, что они происходят на небольшом квазилинейном участке ВАХ, для которого справедливы полученные ранее в линейном приближении формулы (14), (15) с уточнением о том, что активную проводимость R-1 придется заменить дифференциальной проводимостью Gd(I)=dI/dU

G d ( I ) = I q ϑ k B T ,

где 1≤ υ ≤2. Подставляя Gd(I) в (14), имеем

S I ( f , I ) = 2 h z f t 1 I 2 ϑ k B T a [ 1 + ( 2 π f τ L P ) 2 ] .

При выполнении условия формула (19) примет вид

S I ( f , I ) = 2 h z t 1 I 2 ϑ k B Taf ( 2 π τ L P ) 2 .

С экспоненциальной нелинейностью получена квадратичная зависимость СПМ от величины I, что согласуется с (1), (2). Проведем численные оценки согласно (20) для следующего примера:

I = 210 − 2 A ; f = 10 Γ u ; t 1 = 1 c , τ L P F = 1 c , a = 310 − 10  м,  z = 310 − 3  м,  T = 300   K , ϑ = 1 , S I ( f , I ) ≈ 310 − 12 A 2 / Γ  ц. 

Результаты расчетов (21) хорошо согласуются по порядку величины с экспериментальными данными, например, [15].

5. Механизм связи носителей тока с квантовыми флуктуациями

Недостатком рассмотренных выше моделей 1/f-шума является ограниченность частотного диапазона 1/f-шума в области НЧ. Эксперименты показывают, что 1/f-шум наблюдается до частот 10-3…10-8 Гц [1]. Для достижения столь низких частот времена релаксации τLP должны составлять величину порядка 102…107 с. Носители тока в полупроводниках не обладают столь большими временами релаксации. Для получения подобных времен чаще всего применяется модель двухуровневой системы локальных энергетических уровней, разделенных туннельно-тонкими барьерами [1], [16]. Нет оснований утверждать, что такая модель верна для взаимодействия квантовых флуктуаций с носителями тока. Проблему с получением τLP порядка 102,,,107 с можно устранить, если усмотреть в качестве связующего звена между квантовыми флуктуациями и каждым носителем тока схему рекурсивного фильтра НЧ 1-го порядка (Рисунок 3 (б)).

На вход каждого фильтра LP1…LPN поступает сигнал квантовых флуктуаций. С выхода фильтра сигнал возбуждает один из носителей тока. Время задержки τ в петле обратной связи определяется прохождением сигнала со скоростью электромагнитной волны в вакууме c расстояния, равного размеру a типичной элементарной ячейки полупроводника

τ = a c ≈ 3 · 10 − 10 M 3 · 10 8 M / c ≈ 10 − 18 c .

Не следует опасаться того, что рекордно малая [17], [18] аттосекундная задержка τ не обеспечит возможность работы фильтра в НЧ области. Действительно, комплексный коэффициент передачи фильтра [19]

K ˙ ( f ) = a 0 1 − b 0 exp ( ι 2 π f τ )

Модуль коэффициента передачи

| K ˙ ( f ) | = a 0 / ( 1 − b 0 ) 1 + 4 b 0 sin 2 ( π f τ ) ( 1 − b 0 ) 2 .

С учетом (22) для всех f<<1016 Гц можно приблизительно записать

| K ˙ ( f ) | ≈ a 0 / ( 1 − b 0 ) 1 + b 0 ( 2 π f τ ) 2 ( 1 − b 0 ) 2 .

Положим, что a0=1-b0, а величину b1<1 устремим к 1 с точностью до 25 знака после запятой. С учётом этого (25) примет вид

| K ˙ ( f ) | ≈ 1 1 + ( 2 π f τ 2 ) 2 ,

где

6. Эксперименты и компьютерный синтез 1/f-шума и синего шума

6.1. Компьютерный синтез синего шума

На базе ПК был создан 24-битный генератор сигналов с прямым цифровым синтезом, позволяющий получать электрические сигналы синего, белого и 1/f шума в полосе частот от 10 Гц до 38 кГц. Усредненный индекс СПМ синего шума составлял γ1=0.999±0.001. Усредненные коэффициенты асимметрии и эксцесса по модулю не превышали величину 0.1.

Для компьютерной эмуляции временных рядов {xi} синего шума использовано дифференцирование дробного порядка центрированного белого гауссовского шума. Реализации синего шума записывалась в память в виде массива данных x[i] и содержала 216 – 217 семплов.

6.2. Первая динамическая модель 1/f-шума

Мгновенная (1) (серый цвет) и усредненная по 3000 реализациям (2) (зеленый цвет) СПМ 1/f-шума, полученные из f-шума методом кратного интегрирования

Мгновенная (1) (серый цвет) и усредненная по 3000 реализациям (2) (зеленый цвет) СПМ 1/f-шума, полученные из f-шума методом кратного интегрирования

В этой модели временные ряды {xi}, состоящие из 217 семплов синего шума, интегрировались численными методами. На рисунке 4 изображены мгновенная (1) и усредненная (2) СПМ 1/f-шума, полученные путем интегрирования по времени соответственно одной и 3000 реализаций f-шума.Усредненный по четырём частотным декадам индекс γ СПМ 1/f γ-шума составлял 0.99±0.02. Коэффициенты асимметрии и эксцесса по модулю не превышали 0.1. Приведенные результаты подтверждают ту часть SG гипотезы, которая утверждает, что 1/f-шум может формироваться путем интегрирования по времени синего шума (f-шума).

6.3. Вторая динамическая модель 1/f-шума

В этой модели расчет временных рядов {yi} 1/f-шума происходил на основе авторегрессионной модели 1-го порядка для цепей Маркова [12]. На рисунке 5 изображены расчетные мгновенная (1) и усредненная по 3000 реализациям (2) СПМ 1/f γ-шума, полученного на основе авторегрессионной модели. Сравнение СПМ рисунков 4 и 5 показывает, что для СПМ на рисунке 4 1/f зависимость выполняется для 16 октав изменения частоты, а для СПМ на рисунке 5 – для 14 низкочастотных октав (4+ декад 1/f-шума), при этом для 15-й и 16-й октав индекс СПМ близок к нулю.

Усредненный индекс СПМ γ, рассчитанный по четырем декадам НЧ части частотной оси, равен 0.98±0.04. Коэффициент эксцесса составил -0.02±0.01, коэффициент асимметрии 0.07±0.03.

Данные рисунка 5 важны в двух аспектах. Во-первых, они еще раз подтверждают SG гипотезу о том, что 1/f-шум формируется путем интегрирования по времени синего шума. Во-вторых, использование алгоритма авторегрессионной модели 1-го порядка позволяет реализовать интегрирование по времени синего шума, как минимум, по четырем декадам изменения частоты, что достаточно для большинства приложений.

Мгновенная (1) (серый цвет) и усредненная по 3000 реализациям (2) (зелёный цвет) СПМ 1/f-шума, полученные из f-шума авторегрессионным методом

Мгновенная (1) (серый цвет) и усредненная по 3000 реализациям (2) (зелёный цвет) СПМ 1/f-шума, полученные из f-шума авторегрессионным методом

6.4. Фазовые портреты 1/f-шума естественного происхождения

В дополнение к компьютерному моделированию проведены экспериментальные исследования 1/f-шума. В качестве объекта исследования использован реализованный на полупроводниковой микросхеме двухканальный микрофонный усилитель. Для уменьшения влияния помех использована мостовая схема измерения, теоретическое обоснование применения которой дано в [20], [21]. Диапазон частот анализа шума составлял 10 Гц – 20 кГц. При анализе спектров тактовая частота 24-битного цифрового сигнала составляла 48 кГц, а при анализе фазовых портретов тактовая частота была равна 192 кГц. Анализируемый 1/f-шум был квазистационарным и в полосе 3-х частотных декад имел индекс СПМ, равный 1.00±0.02, а его коэффициенты асимметрии и эксцесса по абсолютной величине были в пределах 0.1.

Фазовые портреты 1/f-шума, полученные различными методами: а - модифицированным методом 2048-канального вокодера; б - классическим методом дифференцирования

Фазовые портреты 1/f-шума, полученные различными методами: а - модифицированным методом 2048-канального вокодера; б - классическим методом дифференцирования

На рисунках 6 (а), 6 (б) приведены полученные различными методами фазовые портреты 1/f-шума естественного происхождения.Для рисунка 6 (а) координаты каждой изображающей точки задаются соответствующим отсчетным значением шумового сигнала и этого же сигнала, пропущенного через 2048-канальный цифровой вокодер. Для рисунка 6 (б) координаты каждой k-той изображающей точки задаются классическим методом расчета траекторий на фазовых портретах: соответствующим xk отсчетным значением шумового сигнала и локальной производной, рассчитанной по пяти (xk-2, xk-1, xk, xk+1, xk+2) отсчетным значениям шумового сигнала. Частота кадров фазовых портретов из 2048 изображающих точек, составляла 62.5 Гц.

Установлено, что каждый кадр фазовых портретов, полученных как методом вокодера, так и классическим методом, имеет уникальный вид по конфигурации и по амплитудам флуктуаций, осцилляционного типа. Эллипсовидная форма участков фазовых траекторий на рис.6 (а), (б) хорошо согласуется с тем, что интегральное преобразование формирует квадратурные компоненты 1/f-шума по отношению к исходному сигналу — синему шуму квантовых флуктуаций. Из данных рисунка 6 (а) также следует, что число полных затухающих колебаний в каждом квантовом осцилляторе близко к 1.

7. Заключение

В результате выполнения данной работы решены все поставленные задачи. В частности, впервые рассмотрены особенности обнаружения и изучении 1/f-шума и НЧ квантовых флуктуаций на фоне теплового шума; рассмотрены виртуальные модели формирования 1/f-шума на высоких частотах за счет квантовых флуктуаций; предложена SG гипотеза, согласно которой в результате рекурсивного взаимодействия квантовых флуктуаций с некоррелированными носителями тока формируется 1/f-шум; созданы две полуэмпирические модели 1/f-шума; рассмотрено рекурсивное взаимодействие с аттосекундными задержками в петле положительной обратной связи носителей тока с квантовыми флуктуациями, найден универсальный механизм, за счет которого образуются длительные времена релаксации, формирующие 1/f-шум; с помощью разработанных динамических моделей реализован расчет временных рядов 1/f-шума авторегрессионным методом 1-го порядка и численным интегрированием временных рядов синего шума; получено хорошее согласие компьютерных расчетов с экспериментами по статистике, спектральным характеристикам, по динамике изменения формы реализаций и фазовых портретов 1/f-шума.

Особо следует отметить, что впервые путем численных и аналитических расчетов показано, что рекурсивное взаимодействие квантовых флуктуаций с взаимно некоррелированными носителями тока приводит к интегральному преобразованию синего шума, создаваемого квантовыми флуктуациями, что, в свою очередь, приводит к формированию 1/f-шума в широкой полосе частот с нижней граничной частотой до 10-8 Гц.

Результаты работы могут быть использованы для расширения сфер применения радиофизических методов в статистической физике, в квантовой физике, а также в качестве готового и апробированного методического обеспечения в учебных заведениях естественно-научного и технического профиля [22].

 Additional File

The additional file for this article can be found as follows:

Further description of analytic pipeline and patient demographic information. DOI: https://doi.org/10.60797/IRJ.2026.166.110

Acknowledgements

Competing Interests

Ван дер Зил А. Шум. Источники, описание, измерение. Пер. с англ. / А. Ван дер Зил — Москва: Советское радио, 1973. — 178 с. Hooge F.N. 1/f-noise / F.N. Hooge // Physica. — 1976. — Vol. 83. — с. 14–23. DOI: 10.1016/0378-4363(76)90089-9. [in English] Kogan Sh. Electronics noise and fluctuations in solids, Institute of Radio engineering and Electronics / Sh. Kogan — Cambridge: Cambridge University Press, 2008. — 354 с. [in English] Handel P. 1/f Noise An “Infrared” Phenomenon / P. Handel // Phys. Rev. Lett. — 1975. — Vol. 34. — с. 1492–1495. DOI: 10.1103/PhysRevLett.34.1492. [in English] Kazakov K. A. Effect of the charge-carrier–phonon interaction on the fundamental 1/f voltage noise / K. A. Kazakov // Physical Review A. — 2022. — Vol. 106. — с. 062214–062233. DOI: 10.1103/PhysRevA.106.062214. [in English] Tsipenyuk Yu. M. Zero point energy and zero point oscillations: how they are detected experimentally / Yu. M. Tsipenyuk // Physics Advances. — 2012. — Vol. 55. — с. 796–807. DOI: 10.3367/UFNE.0182.201208E.0855. [in English] Yan D. M. A Survey of Blue-Noise Sampling and Its Applications / D. M. Yan, J. W. Guo, B. Wang // J. Comput. Sci. Technol. — 2015. — Vol. 30. — с. 439–452. [in English] Callen H. B. Irreversibility and generalized noise / H. B. Callen , T. A. Welton // Phys. Rev. — 1951. — Vol. 83. — № 1. — с. 34–40. DOI: 10.1103/PhysRev.83.34. [in English] Farley C. Sensing quantum vacuum fluctuations with non-Gaussian electronic noise / C. Farley, E. Pinsolle, B. Reulet // Phys. Rev. Lett. — 2025. — Vol. 134. — с. 166301–166308. DOI: 10.1103/PhysRevLett.134.166301. [in English] Morozov A. N. Flicker Noise in a Locally Nonequilibrium Medium / A. N. Morozov // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. — 2018. — Vol. 107. — с. 798–799. DOI: 10.1134/S002136401812010X. [in English] Учайкин В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. Erland S. Constructing 1/𝜔𝛼 noise from reversible Markov chains / S. Erland , P. E. Greenwood // Phys. Rev. E. — 2007. — Vol. 76. — с. 031114–031128. DOI: 10.1103/PhysRevE.76.031114. [in English] Benea-Chelmus I. C. Electric field correlation measurements on the electromagnetic vacuum state / I. C. Benea-Chelmus, F. F. Settembrirni , G. Scalari, J. Faist // Nature. — 2019. — Vol. 568. — с. 202–206. DOI: 10.1038/s41586-019-1083-9. [in English] Settembrini F. F. Detection of quantum-vacuum field correlations outside the light cone / F. F. Settembrini, F. A. Lindel, M. Herter , S. Buhmann // Nature Communications. — 2022. — Vol. 13. — с. 3383–3387. DOI: 10.1038/s41467-022-31081-1. [in English] Бочкарева Н.И. Прыжковый транспорт в области объемного заряда p−n-структур с квантовыми ямами InGaN/GaN как источник избыточного 1/ f шума и потерь эффективности светодиодов / Н.И. Бочкарева, А.М. Иванов, А.В. Клочков и др. // Физика и техника полупроводников. — 2015. — Т. 49. — С. 847–855. Клюев А. В. Шумы в радиоэлектронных приборах / А. В. Клюев, А. В. Якимов — Нижний Новгород: ННГУ, 2023. — 65 с. Желтиков А.М. В поисках утраченного времени: аттосекундная физика, петагерцовая оптоэлектроника, и предельная скорость квантовой динамики. / А.М. Желтиков // Успехи физических наук. — 2021. — Т. 191. — № 4. — С. 386–403. — DOI: 10.3367/UFNr.2020.11.038884 Jiang W. Ch. Time Delays as Attosecond Probe of Interelectronic Coherence and Entanglement / W. Ch. Jiang, M. Ch. Zhong, Y. K. Fang, S. Donsa // Phys. Rev. Lett. — 2024. — Vol. 133. — с. 163201. DOI: 10.1103/PhysRevLett.133.163201. [in English] Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы / И. С. Гоноровский — Москва: Радио и связь, 1986. — 512 с. Zakharov Yu. A. Bridge method for studying the spectra of current fluctuations in tungsten filaments at the frequency range 1.5∙10–5 – 5∙10–1 Hz. / Yu. A. Zakharov , S. S. Gots, R. Z. Bakhtizin // Measurement Techniques. — 2021. — Vol. 64. — № 5. — с. 364–372. DOI: 10.1007/s11018-021-01942-0. [in English] Zakharov Yu.A. Experimental Study of the Spectral and Correlation Characteristics of Low-Frequency Fluctuations in Tungsten Filaments / Yu.A. Zakharov, S. S. Gots, R. Z. Bakhtizin, T. I. Sharipov // Journal of Communications Technology and Electronics. — 2022. — Vol. 67. — № 10. — с. 1216–1223. DOI: 10.1134/S1064226922100175. [in English] Гоц С.С. Методическое обеспечение лабораторного практикума при изучении квантовых флуктуаций и 1/f-шума в полупроводниковых приборах / С.С. Гоц // Проблемы современного физического образования. Материалы VIII Всероссийской научно-методической конференции. — Уфа: РИЦ УУНиТ, 2025. — С. 40–41.