Journals
Submit manuscript Sign in / Sign up
Advanced search
Article sections
Review

ON THE EVALUATION OF THE GROUP OF EIGENFUNCTIONS AND SPECTRAL FUNCTION OF THE LAPLACE OPERATOR MULTIPLIED BY A PIECEWISE CONSTANT COEFFICIENT AND THE DIRICHLET PROBLEM IN THE THREE-DIMENSIONAL DOMAIN

Research article
Suchkov M. V.
Trifonenkov V. P.
DOI:
https://doi.org/10.60797/IRJ.2025.154.88
Issue: № 4 (154), 2025
Suggested:
26.12.2024
Accepted:
20.03.2025
Published:
17.04.2025
514
4
XML
PDF

Abstract

The article examines the problem on the eigenfunctions of the Laplace operator multiplied by a piecewise constant coefficient and the Dirichlet problem in the three-dimensional domain. The evaluation of the group of eigenfunctions in a closed region (the so-called "bundle" in the terminology of V.A. Ilyin, i.e. a part of the spectral function when both points coincide) and the asymptotics of the spectral function when one point is on the surface of the coefficient discontinuity and the other is outside this surface are obtained. The estimate and asymptotics are found to the accuracy of the logarithmic multiplier. From the proved estimation and asymptotics, a uniform estimation of the group of eigenfunctions in the whole closed region and a uniform asymptotic estimation of the spectral function are obtained.

Keywords:
Laplace operator with discontinuous coefficient, Dirichlet problem, eigenfunctions, spectral function.

1. Введение

В настоящей статье изучаются свойства спектральных разложений, отвечающих самосопряжённому оператору, который получается умножением оператора Лапласа на кусочно-постоянный коэффициент (задача Дирихле). Разрыв коэффициента происходит на достаточно гладкой замкнутой поверхности C, лежащей внутри исходной области g. В работе

показывается, что, если размерность N области g равна 2 или 3, то на области, принадлежащие g и «далёкие» от точек разрыва (т.е. замыкание этих областей не содержит точек разрыва), переносятся классические теоремы В.А. Ильина о локализации и равномерной сходимости спектральных разложений, отвечающих оператору Лапласа и задаче Дирихле
,
,
. Если же N≥5, то ситуация совершенно другая. В той же работе
приведён пример сколь угодно гладкой функции f(x), финитной относительно области g (область g — шар с центром в начале координат), обращающейся в нуль в некоторой окрестности начала координат и такой, что её ряд Фурье по собственным функциям оператора Лапласа, умноженного на кусочно-постоянный коэффициент (задача Дирихле) расходится в начале координат. Разумеется, если рассматривать не гладкие функции, а функции, удовлетворяющие тем же условиям сопряжения, что и разрывные коэффициенты, то классические теоремы будут верны и при N≥5. Случай N=4 до конца не исследован. В работе
рассматривается случай N=2,
, ε>0. С помощью метода интерполяции пространств доказывается абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье по собственным функциям изучаемого оператора Лапласа, умноженного на кусочно-постоянный коэффициент в замкнутой области
(в том числе и в точках разрыва). При этом число ε>0 в классах Соболева убрать нельзя, так как функция из класса
 для N=2 не обязана быть непрерывной и поэтому не может быть равномерной сходимости к ней ряда Фурье по непрерывным собственным функциям. Кроме того, отсутствие разрывов показывает, что для функций из класса
 (даже
) нельзя гарантировать абсолютной сходимости ряда Фурье.

Целью настоящей работы является исследование поведения спектральных разложений для N=3 на поверхности разрыва коэффициента. В ней приведена оценка групп собственных функций («пачки», по терминологии В.А. Ильина), играющая большую роль в его методе и спектральной функции. С помощью этих оценок авторы в дальнейшем надеются получить некоторые результаты, связанные со сходимостью спектральных разложений при N=3 на поверхности разрыва коэффициентов.

2. Основная часть

Пусть трёхмерная область g с границей Γ разбивается некоторой лежащей внутри нее замкнутой поверхностью С на две подобласти g1, лежащую внутри С, и g2. Рассмотрим в (g+Γ) задачу Дирихле

(1)

k1, k2 — положительные постоянные. Символы C-0 и C+0 означают предельные значения, соответственно, с внутренней и внешней стороны поверхности С по отношению к области g1;

C,\;\Gamma\in C^{2,\alpha}(\alpha>0)
.

Классической собственной функцией задачи (1) называется функция u(x) такая, что:

1) 

;

2) 

;

3) 

;

4) 

;

5) u(x) при некотором λ удовлетворяет всем условиям задачи (1).

Из работы

известно, что задача (1) имеет дискретный спектр, состоящий из положительных собственных значений λn (с единственной бесконечно удаленной предельной точкой), которым соответствует полная ортонормированная в L2(g) система собственных функций
. Причём эта система совпадает с системой обобщенных собственных функций задачи (1) (удовлетворяющих некоторому интегральному тождеству).

Работа является продолжением цикла статей авторов, связанного с этим оператором. Так, в работе

доказана равномерная сходимость спектральных разложений в замкнутой области
 для
;
\varepsilon>0
;
;
. В этой теореме по сравнению с отсутствием разрыва требования гладкости завышены на 1/2+ε; (ε>0). Для того чтобы в дальнейшем уменьшить эти требования гладкости, используя метод В.А. Ильина, в статье устанавливается оценка «пачки» собственных функций и асимптотика спектральной функции, когда одна точка принадлежит поверхности разрыва коэффициента, а другая вне этой поверхности.

3. Основные результаты

Теорема. Пусть точка x0∈C. Тогда для любого μ0≥1

(2)

где C1 не зависит ни от μ0, ни от x0∈C.

Доказательство.

Отметим, что при k1=k2 (отсутствие разрыва) оценка (2) даже в замкнутой области

 получена в
. Поэтому, с самого начала будем предполагать, что k1≠k2. Воспользуемся методом Е.И. Моисеева из этой работы
, где устанавливается равномерная сходимость некоторых разложений в замкнутой области. Так как λn не имеет конечных точек сгущения, то оценку (2) нужно доказывать только для достаточно большого μ0. Рассмотрим вспомогательную задачу:

\begin{gathered} k_1 \Delta u_1+\mu^2 u_1=f ; \quad x \in g_1 \\ k_2 \Delta u_2+\mu^2 u_2=f ; \quad x \in g_2 \\ \left.u_1\right|_{C-0}=\left.u_2\right|_{C+0} ;\left.\quad k_1 \frac{\partial u}{\partial n}\right|_{C-0}=\left.k_2 \frac{\partial u}{\partial n}\right|_{C+0} ;\left.\quad u_2\right|_{\Gamma}=0 \\ u=\left\{\begin{array}{l} u_1 ; x \in \bar{g}_1 \\ u_2 ; x \in g_2 ; \end{array} f \in L_2(g) ; \quad \mu=\mu_0+i a ; a>0, a\;-\right.\text { фиксировано. } \end{gathered}
(3)

Из работ

,
вытекает, что обобщённое решение u(x) задачи (3), удовлетворяющее некоторому интегральному тождеству (и, для достаточно гладких f, являющееся классическим решением задачи (3)), принадлежит
. Причём 
; i=1, 2;
, где
 по переменной y при фиксированных μ и x0. Тогда:

(4)

Из (4) и неравенства Бесселя следует, что:

\sum_{\left|\sqrt{\lambda_k}-\mu_0\right| \leq 1}\left|e_k^2\left(x_0\right)\right| \leq C_2 \mu_0^2 \int_g\left|R\left(x_0, y, \mu\right)\right|^2 d y ; \; C_2>0
(5)

Поэтому для доказательства (2) достаточно установить равномерно по x0∈C оценку

∫_g|R(x_0,y,\mu)|^2 dy≤C_0 ln\;\mu_0 ; C_0>0
(6)

В свою очередь, (6) вытекает из оценки

(7)

так как оператор

; 
 имеет норму
. (Правая часть последнего равенства конечна, так как из работы
следует, что R(x0,y,μ) непрерывна при x0≠y и 
). Итак, будем доказывать оценку (7).

Заметим, что указанную оценку нужно получить лишь для достаточно гладких функций f, а затем сделать предельный переход в L2(g). Введём следующие обозначения:

Тогда для обобщённого решения задачи (3) справедливо интегральное тождество:

Разделяя действительную и мнимую части, получим:

Поэтому:

(8)

Запишем первую формулу Грина для области g1.

(9)

для любой функции

. Возьмём
, где
;
; i=1, 2, 3.
 - внешняя нормаль к поверхности C по отношению к области g1. Тогда из (9) получим

(10)

Преобразуем:

Интегрируя по частям, заметим, что:

Поэтому: 

Аналогично: 

(11)

Теперь запишем первую формулу Грина по области g2. Для определённости будем считать, что k2>k1. Положим

, где
;
;
; i=1, 2, 3.
 - внешняя нормаль к поверхности Γ по отношению к области g. (Заметим, что, если k1>k2, то нужно брать
; i=1, 2, 3). Получим совершенно так же, как и (11), формулу

(12)

Так как

, то
 (см.
). Сложим формулы (11) и (12) и воспользуемся условиями сопряжения и оценками (8). Тогда:

(13)

A>0, константа A не зависит ни от f, ни от μ0.

Рассмотрим разность:

. Если бы участок
 поверхности C был плоский, то в местной системе координат
, и, в силу условий сопряжения,
. Докажем, что в случае произвольной поверхности C

(14)

Для доказательства (14) локально распрямим поверхность C. Предположим, что точка

 является началом местных координат (x1, x2, x3) и x3 имеет направление внешней нормали по отношению к области g1, а (x1, x2) лежит в касательной плоскости к поверхности C в точке
. Причём, участок поверхности C, однозначно проектирующийся на касательную плоскость, имеет вид x3=ψ(x1, x2). Этого всегда можно добиться сдвигом и поворотом исходных координат. При этом

(15)

Для удобства будем рассматривать ту часть поверхности C, которая соответствует координатной области (x1, x2), где в формулах (15) нужно брать знак минус. (Этого всегда можно достичь соответствующим изменением направления координат, учтя, что

 — непрерывная функция.). Сделаем замену координат: y1=x1; y2=x2; y3=x3-ψ(x1, x2). Тогда участок
 поверхности C перейдёт в плоский участок
, причём ui(y) будут локально удовлетворять уже другим эллиптическим уравнениям, но
. Подсчитаем в новых координатах |∇u1|2 и
. Временно опустим индекс «1» у решения u1. Тогда:

(17)
(18)

Подставляя в (17) и (18) формулы (15), убеждаемся в том, что

(19)

на участке

. Аналогично

(20)

на участке

. Вычитая (19) из (20) и учитывая условия сопряжения (16), получим:

Возвращаясь к старым координатам и производя локальную склейку, получим (14). Тем самым, (13) преобразуется к виду:

(21)

Из (21) вытекают следующие оценки

(22)

A1, A2, A3 >0. Константы A1, A2, A3 не зависят ни от f, ни от μ0.

Получим предварительную оценку решения задачи (3)

,

где G(x,y)=R(x,y,0) — функция Грина задачи (1) и, в частности,

; x, y∈g. Тогда:

||u||_{C(\overline{g})}≤C_1 \mu_0 ||f||_{L_2 (g)};\;C_0,\;C_1>0
(23)

(В (23) использовано неравенство Коши_Буняковского и оценка (8).) Далее, по формуле Грина:

(24)

Для получения оценки (7) второй и третий интегралы в (24) оценим с помощью неравенства Коши-Буняковского. При этом второй интеграл необходимо разбить на два: по области Sμ:

; где p — достаточно большое натуральное число, и по области C\Sμ. А далее учесть оценки (22), (23). Разобьём первый интеграл в (24) также на два: по области Sμ и по области C\Sμ. По области C\Sμ интеграл оценивается с помощью неравенства Коши-Буняковского с учётом оценки (22). Для того чтобы оценить интеграл по области Sμ, проделаем следующее: обозначим через t достаточно близкую точку к точке x∈C на нормали к точке x t∈g1. Тогда:

(25)

Теперь применим к функциям u2(y) и

 вторую формулу Грина по области g2. Учитывая условия сопряжения на поверхности C, получим

(26)

Сложим (25) и (26). Получим:

(27)

Продифференцируем по t по нормали к точке x равенство (27) и устремим t к x. Тогда:

(28)

Теперь проинтегрируем обе части (28) по Sμ, предварительно умножив их на функцию

. Из оценок (22), (23), свойств поверхностных потенциалов и неравенства Коши-Буняковского немедленно вытекает оценка (7) для первого интеграла в (24), что и завершает доказательство теоремы.

Замечание 1. Из доказательства оценки (2) нетрудно получить равномерную оценку во всей замкнутой области

:

(29)

; μ0≥1, C1 не зависит ни от x, ни от μ0. Для доказательства оценки (29) достаточно показать, что

\sup _{x \in \bar{g}}|u(x)| \leq C_3 \sqrt{\ln \mu_0}\|f\|_{L_2(g)} ; C_3>0
(30)

Пусть x∈g1. Тогда:

(31)

Первый и третий интегралы в (31) с помощью оценок (22) и (23) и неравенства Коши-Буняковского уже были оценены при доказательстве теоремы. (Ибо там нигде не использовалось то, что x0∈C.) Рассмотрим второй интеграл в (31)

(32)

Второй интеграл в (32) оценивается так же, как и при доказательстве теоремы, с помощью оценок (22), (23) и неравенства Коши-Буняковского. При этом нужно разбить область интегрирования на Sμ: |x-s|≤μ0-p и C\Sμ. Первый интеграл в (32) оценивается так:

\leq C_2 \sqrt{\ln \mu_0}\|f\|_{L_2(g)} ; \; C_1, C_2>0

Здесь использована уже полученная оценка (7) в теореме для x0∈C и известное неравенство:

; C0>0. Следовательно, складывая все оценки для интегралов в (31), получим
. Совершенно аналогично показывается, что:
. Из последних двух неравенств вытекает (30).

Замечание 2. Для N=2 можно получить аналогичную оценку:

Замечание 3. Из оценки (29) нетрудно получить, используя результат работы

, равномерную асимптотическую оценку спектральной функции, когда одна точка принадлежит замкнутой области
, а другая — строго внутренней подобласти Ωi⊂gi:

\sum_{\lambda_k<\lambda} e_k(x) e_k(y)=(2 \pi)^{-3 / 2}\left(\frac{\lambda}{k_i}\right)^{3 / 4} r_{x y}^{-3 / 2} J_{3 / 2}\left(\sqrt{\frac{\lambda}{k_i}} r_{x y}\right)+O\left(\lambda \ln ^{1+\varepsilon} \lambda\right)

\varepsilon>0 ; \; x \in \bar{g}_i ; \; y \in \Omega_i \subset g_i

Ибо в работе

для фундаментальных функций оператора Лапласа в области gi при наличии равномерной оценки «пачки» (29) в замкнутой области 
показана справедливость такой асимптотики.

Замечание 4. Оценку (2) можно улучшить лишь на логарифмический множитель, что показывает случай k1=k2 и отсутствие разрыва.

Замечание 5. Равномерные оценки отдельных собственных функций и их производных в

для более общей задачи, чем (1), установлены в
И.А. Шишмарёвым.

4. Заключение

В этой работе, являющейся продолжением цикла статей авторов, связанного с оператором Лапласа, умноженным на кусочно-постоянный коэффициент, рассматриваемым в областях различной размерности N, для этого оператора и задачи Дирихле в случае N=3 получены оценка группы собственных функций в замкнутой области и асимптотика спектральной функции (когда одна точка находится на поверхности разрыва коэффициента, а другая вне этой поверхности), которые могут быть улучшены лишь на логарифмический множитель.

Эти оценки необходимы для того, чтобы в дальнейшем, используя метод В.А. Ильина, уменьшить требования гладкости к классу функций, для спектральных разложений которых, с помощью этих оценок авторы в дальнейшем надеются получить некоторые результаты, связанные со сходимостью спектральных разложений при N=3 на поверхности разрыва коэффициента.

Additional materials

Not specified

Financing

Авторы не получали финансовой поддержки для проведения исследования, написания и публикации статьи

Acknowledgements

Not specified

Conflicts of interests

Not specified

References

  • Suchkov M.V. O principe lokalizacii dlja operatora Laplasa s razryvnym kojefficientom v oblastjah, ne soderzhashhih tochek razryva [On the localisation principle for the Laplace operator with a discontinuous coefficient in regions containing no break points] / M.V. Suchkov, V.P. Trifonenkov // Vestnik MGOU Serija Fizika-Matematika [Bulletin of Moscow State University Physics-Mathematics series]. — 2017. — № 1. — P. 8–17. [in Russian]

  • Il'in V.A. O razreshimosti zadach Dirihle i Nejmana dlja linejnogo jellipticheskogo operatora s razryvnymi kojefficientami [On the solvability of Dirichlet and Neumann problems for a linear elliptic operator with discontinuous coefficients] / V.A. Il'in // DAN SSSR [DAS USSR]. — 1961. — Vol. 137. — № 1. — P. 28–30. [in Russian]

  • Il'in V.A. O sisteme klassicheskih sobstvennyh funkcij linejnogo samosoprjazhennogo jellipticheskogo operatora s razryvnymi kojefficientami [On the system of classical eigenfunctions of a linear selfadjoint elliptic operator with discontinuous coefficients] / V.A. Il'in // DAN SSSR [DAS USSR]. — 1961. — Vol. 137. — № 2. — P. 272–275. [in Russian]

  • Il'in V.A. Problemy lokalizacii i shodimosti dlja rjadov Fur'e po fundamental'nym sistemam funkcij operatora Laplasa [Localisation and convergence problems for Fourier series on fundamental systems of Laplace operator functions] / V.A. Il'in // U.M.N. — 1968. — T. 23. — № 2. — P. 61–120. [in Russian]

  • Suchkov M.V. Ob absoljutnoj shodimosti spektral'nyh razlozhenij v dvumernoj zamknutoj oblasti dlja operatora Laplasa s razryvnym kojefficientom i zadachi Dirihle [On the absolute convergence of spectral expansions in a two-dimensional closed region for the Laplace operator with a discontinuous coefficient and the Dirichlet problem] / M.V. Suchkov, V.P. Trifonenkov // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal [International Research Journal]. — 2023. — № 3 (129). [in Russian]

  • Suchkov M.V. O shodimosti spektral'nyh razlozhenij dlja operatora Laplasa s razryvnym kojefficientom v zamknutoj oblasti, soderzhashhej tochki razryva [On convergence of spectral expansions for the Laplace operator with a discontinuous coefficient in a closed region containing discontinuity points] / M.V. Suchkov, V.P. Trifonenkov // East European Scientific Journal. — 2021. — Vol. 1. — № 3 (67). — P. 48–53. [in Russian]

  • Moiseev E.I. Ravnomernaja shodimost' v zamknutoj oblasti nekotoryh razlozhenij [Uniform convergence in a closed region of some decompositions] / E.I. Moiseev // DAN SSSR [DAS USSR]. — 1977. — Vol. 233. — № 6. — P. 1042–1045. [in Russian]

  • Rojtberg Ja.A. Granichnye zadachi i zadachi na sobstvennye znachenija dlja uravnenij jellipticheskogo tipa s razryvnymi kojefficientami [Boundary value problems and eigenvalue problems for elliptic type equations with discontinuous coefficients] / Ja.A. Rojtberg, Z.G. Sheftel' // Matem. fizika [Mathematical Physics]. — Kyiv, 1965. — P. 119–135. [in Russian]

  • Shishmarjov I.A. Ravnomernye ocenki proizvodnyh reshenij zadachi Dirihle i zadachi na sobstvennye funkcii dlja operatora s razryvnymi kojefficientami [Uniform estimates of derivatives of solutions of the Dirichlet problem and the eigenfunction problem for an operator with discontinuous coefficients] / I.A. Shishmarjov // DAN SSSR [DAS USSR]. — 1961. — Vol. 137. — № 1. — P. 45–47. [in Russian]

  • Suchkov M.V. O nekotoryh svojstvah spektral'nyh razlozhenij, otvechajushhih samosoprjazhennomu jellipticheskomu operatoru vtorogo porjadka s razryvnymi kojefficientami [On some properties of spectral expansions corresponding to a self-adjoint second-order elliptic operator with discontinuous coefficients] / M.V. Suchkov // DAN SSSR [DAS USSR]. — 1980. — Vol. 251. — № 6. — P. 1314–1316. [in Russian]

Review

All articles are peer-reviewed. But the reviewer or the author of the article chose not to publish a review of this article in the public domain. The review can be provided to the competent authorities upon request.

Author information

AffiliationNational Research Nuclear University "MEPhI", Moscow, Russian Federation
Role:Author
AffiliationNational Research Nuclear University "MEPhI", Moscow, Russian Federation
Role:Writing, reviewing and editing

Article metrics

Views:514
Downloads:4
Views
Total:
Views:514