ОБ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ В ДВУМЕРНОЙ ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА С РАЗРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ И ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ В ДВУМЕРНОЙ ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА С РАЗРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ И ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
Аннотация
В статье рассматривается оператор Лапласа с разрывным коэффициентом (кусочно-постоянным) и задача Дирихле для замкнутой области. Разрыв коэффициента происходит на некоторой поверхности, расположенной внутри области. Как было показано ранее, если размерность области N достаточно большая, например N ⩾ 5, то наличие такого разрыва не гарантирует сходимости спектральных разложений даже в областях, «далеких» от точек разрыва коэффициента для сколь угодно гладких и финитных относительно рассматриваемой области функций. В настоящей работе показывается, что если размерность области N равна двум, то наличие такого разрыва не оказывает влияния на абсолютную сходимость спектральных разложений во всей замкнутой области, содержащей точки разрыва.
1. Введение
Эта работа является продолжением статьи
. В ней рассматривалась следующая задача на собственные функции. Пусть двумерная область g с границей Г разбивается некоторой лежащей внутри нее замкнутой поверхностью С на две подобласти g1, лежащую внутри С, и g2. Рассмотрим в (g+Г) задачу Дирихле.k1, k2 – положительные постоянные. Символы C-0 и C+0 означают предельные значения, соответственно, с внутренней и внешней стороны поверхности С по отношению к области .
2. Определение
Классической собственной функцией задачи (1) называется функция u(x) такая, что:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) при некотором
удовлетворяет всем условиям задачи (1).
Из работы известно, что задача (1) имеет дискретный спектр, состоящий из положительных собственных значений (с единственной бесконечно удаленной предельной точкой), которым соответствует полная ортонормированная система в
собственных функций
. Причём эта система совпадает с системой обобщенных собственных функций задачи (1) (удовлетворяющих некоторому интегральному тождеству).
В статье была доказана теорема.
Теорема. Пусть . Тогда ряд Фурье функции
по собственным функциям
задачи (1) сходится к
равномерно в замкнутой области
.
В этой работе мы покажем, что эта сходимость будет не только равномерной, но и абсолютной.
3. Основная часть
Для доказательства этого мы воспользуемся видом и свойствами функции Грина задачи (1), построенной в работах , и некоторыми результатами, полученными в статьях , . В работе было показано, что для любой функции
; будет по крайней мере сходиться ряд
– коэффициент Фурье функции
по системе собственных функции
задачи (1). Кроме того, так же как это делалось в статьях , с помощью теоремы Лионса об интерполяции пространств и интерполяционных свойств пространств Соболева показывается, что для любой функции
выполняется неравенство
Теорема Лионса (об интерполяции).
Пусть ,
два гильбертовых пространства
,
плотно в
и непрерывно в него вложено. Пусть
- другая пара гильбертовых пространств с аналогичными свойствами. Если оператор
, то
для
.
(В нашем случае - оператор вложения)
, где
- произвольный линейный самосопряжённый положительный оператор, действующий в пространстве
, с областью определения
.
(Одна пара интерполяционных пространств и
, а вторая
и
, где
, а
множество функций
и таких, что ряд
сходится. Тогда из оценки
– эта оценка хорошо известна для обобщенных собственных функций задачи (1), с которыми совпадает наша система
, вытекает неравенство (3)). Итак, докажем следующую теорему:
Теорема. Пусть . Тогда ряд Фурье функции
по собственным функциям
задачи (1) сходится к
абсолютно в замкнутой области
.
Доказательство.
Используя неравенство Гёльдера, получим:
Здесь . Достаточно доказать теорему для
. Тогда
. Первый ряд в (4) сходится в силу оценки (2). Рассмотрим второй ряд. Из работ , , где строится функция Грина
задачи (1) следует, что
. Тогда
.
Последнее неравенство вытекает из оценки (3), если доказано, что функция Грина задачи (1) при фиксированном
как функция переменной
принадлежит классу
для рассматриваемого
. Поэтому для доказательства теоремы осталось доказать это утверждение. Для этого мы воспользуемся видом и свойствами симметричной функции Грина
, построенной в работах , .
,
где – функция Грина задачи Дирихле в области
для оператора
, продолженная нулём на всю область
(то есть: если хотя бы одна точка
или
не принадлежит
, то
).
– функция Грина задачи Дирихле в области
для оператора
, продолженная нулём на всю область
. Если
, то
; производные по
; производные по
Тогда, если , то
можно представить в виде:
где
– функция Грина задачи Дирихле в области
для оператора
есть решение задачи (6) при фиксированном
В работе доказано существование классического решения данной задачи и показано, что ядро непрерывно при
и справедлива оценка
Функция в (4)
имеет вид
где есть решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода
где .
Для интегрального уравнения (9) справедлива альтернатива Фредгольма, и его решение записывается в виде:
где .
После подстановки (10) → (8) → (5) получим:
, где
Теперь можно доопределить по непрерывности и для
, полагая
и
. Приведённые выше факты о функции
изложены в работах , .
Докажем, что для фиксированного функция
как функция переменной
принадлежит классу
. Пусть сначала
.
Тогда в силу свойств функции имеем:
. Докажем, что
. В силу непрерывности
при
и аддитивности классов
(см. ), достаточно доказать, что
. Если
, то
, что следует из хорошо известных оценок производных функции Грина для самосопряженных эллиптических операторов без всяких разрывов коэффициентов. Если
, то
, где
есть решение задачи (5). В работе доказано, что
можно представить в виде
где – некоторое фундаментальное решение оператора Лапласа.
есть решение задачи:
Причём для справедливы оценки:
.
(Более точно: как функция
равномерно относительно
принадлежит некоторому классу Гёльдера в
). Для
справедлива оценка: существует такое
, что
для известны оценки
.
Это оценки фундаментальных решений эллиптических операторов с гладкими коэффициентами. Тогда из (12)-(15) будет следовать, что для любого достаточно малого
.
Тогда из теоремы вложения вытекает требуемое включение для любого достаточно малого
.
Для доказательства сделанного предположения о функции Грина при
осталось рассмотреть второе слагаемое в (11). Функция
как функция переменной
при фиксированном
непрерывна в
в силу оценок (7)-(10). Поэтому для того, чтобы доказать, что
достаточно доказать, что
(аддитивность классов
). В свою очередь, пользуясь теоремой вложения, для этого достаточно доказать включение:
для любого достаточно малого
. Из оценок (12)-(15) и определения функции
получим, что
для любого положительного . Константа
, вообще говоря, зависит от
. Применяя известную теорему о композиции полярных ядер и оценки (9), (16), имеем:
– положительная константа, зависящая от
,
– расстояние от точки
до поверхности
,
.
Фиксируем любое положительное . (Оно определяется из теоремы вложения по числу
). Положим
. Тогда
Конечность последнего интеграла в (18) следует из неравенства Гёльдера, где первый подынтегральный сомножитель берётся с показателем , и известного соотношения
для
, доказанного, например, в .
Предположение в случае доказано. Пусть теперь
(если
, то
).
Поэтому
где
в силу известных оценок функции Грина эллиптического оператора с гладкими коэффициентами.
также принадлежит классу
, так как при
в (20) есть непрерывная функция аргумента
, а для
уже установлены выше оценки (16)-(18), показывающие требуемое включение для любого достаточно малого положительного
.
Замечание. Число в теореме отбросить нельзя. Отсутствие разрывов (
) показывает, что для функций из класса
нельзя гарантировать абсолютной сходимости рассматриваемых спектральных разложений .
4. Заключение
В этой работе показано, что для оператора Лапласа с разрывным коэффициентом и задачи Дирихле в двумерной замкнутой области для достаточно гладких функций сходимость их спектральных разложений будет не только равномерной, но и абсолютной. Т.е. наличие разрыва у коэффициента не оказывает влияния на абсолютную сходимость спектральных разложений в замкнутой области, содержащей точки разрыва.