ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ В МОДИФИЦИРОВАННОЙ ПОСТАНОВКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ В МОДИФИЦИРОВАННОЙ ПОСТАНОВКЕ
Научная статья
Салимов Р.Б.1, Горская Т.Ю.2, *
1 ORCID: 0000-0003-4177-4830;
2 ORCID: 0000-0001-7136-8388;
1, 2 Казанский государственный архитектурно-строительный университет, Казань, Россия
* Корреспондирующий автор (gorskaya0304[at]mail.ru)
АннотацияРассматривается видоизмененная обратная краевая задача аэрогидродинамики, в которой требуется найти форму крылового профиля, обтекаемого потенциальным потоком несжимаемой невязкой жидкости, когда распределение потенциала скорости на одном участке профиля задано как функция абсциссы, на остальном участке профиля – как функция ординаты точки профиля, кроме того, задана величина скорости набегающего потока.
Ключевые слова: обратная смешанная краевая задача, аэрогидродинамика, крыловой профиль, комплексный потенциал.
RESEARCH OF REVERSE BOUNDARY VALUE PROBLEM OF AEROHYDRODYNAMICS IN MODIFIED STATEMENT
Research article
Salimov R.B.1, Gorskaya T.Yu.2, *
1 ORCID: 0000-0003-4177-4830;
2 ORCID: 0000-0001-7136-8388;
1, 2 Kazan State University of Architecture and Engineering, Kazan, Russia
* Corresponding author (gorskaya0304[at]mail.ru)
AbstractIn this paper, the authors consider a modified inverse boundary-value problem of aerohydrodynamics, in which it is necessary to find the shape of a wing profile streamlined by a potential flow of an incompressible inviscid fluid when the distribution of the velocity potential in one section of the profile is specified as a function of the abscissa, in the rest of the profile as a function of the ordinate of the profile point, in addition, value of speed of a free stream.
Keywords: inverse mixed boundary value problem, aerohydrodynamics, wing profile, integrated potential.
Введение. Постановка задачи
Пусть в плоскости комплексного переменного z = x + iy расположен крыловой профиль Lz, обтекаемый потенциальным потоком несжимаемой невязкой жидкости с комплексным потенциалом w = w(z) = φ + iψ и скоростью невозмущённого потока . Пусть x = 0, x = d > 0 есть абсциссы соответственно точек задней кромки B и передней кромки D профиля Lz, и для абсцисс всех остальных точек Lz имеет место соотношение 0 < x < d.
Будем считать, что всюду на Lz функция тока ψ = 0, точка разветвления A потока находится на нижней поверхности Lz и потенциал скорости в ней φ = φA = 0.. Примем, что B есть точка схода потока. Примем, что потенциал скорости на Lz есть непрерывная функция точек Lz, исключая точку B. Значения потенциала скорости φ в точке B при подходе к ней по точкам верхней и нижней поверхности Lz обозначим соответственно φ = φB и φ = φH, φB > φH > 0. Пусть Dz – область, внешняя для контура Lz.
Функция w = w(z) отображает конформно область Dz с разрезом по линии, лежащей вне контура Lz и соединяющей точки B, z = ∞, на область Dw в плоскости w = φ + iψ, разрезанной по положительной части действительной оси с началом в точке A, отвечающей w = 0, когда дуге AB нижней поверхности Lz соответствует отрезок верхнего берега вышеуказанного разреза, для точек которого выполняется соотношение 0 < φ < φH, а дуге ADB контура Lz – отрезок нижнего берега указанного разреза, для точек которого имеет место соотношение 0 < φ < φB.
Обозначим где v – модуль скорости, η – угол наклона к действительной оси вектора скорости в точке z = x + iy потока жидкости.
Как показано в ([1], с. 97-105), если контур Lz неизвестен, на нем задано распределение скорости v = v(s), где s – дуговая абсцисса точки x + iy профиля Lz, отсчитываемая от точки A в направлении, при котором область Dz остается справа, l – периметр контура Lz, и требуется найти его форму, то эта задача оказывается разрешимой лишь при выполнении условий разрешимости – условия замкнутости контура Lz. Методы преодоления возникших при этом трудностей и подробный обзор работ по указанной проблеме изложены в книге [2].
В связи со сказанным представляется целесообразным рассмотрение задач об определении формы профиля Lz, которые оказываются разрешимыми.
В качестве такой задачи рассмотрим следующие: требуется найти форму профиля Lz, если на участке где
точки соответственно верхней и нижней поверхности Lz, потенциал скорости φ задан как функция абсциссы x точки Lz, а на участке
как функция одинаты y точки z в виде
где заданные числа, 0 < xA < xC < d, xC – абсцисса точек
ординаты точек
соответственно,
xA – заданная абсцисса точки A, величина d определяется в процессе решения, причем
заданные числа,
циркуляция скорости вдоль Lz.
Будем считать, что дифференцируемые функции, производные которых удовлетворяют условию Гёльдера в интервалах их задания, включая концы, причем
исключая точку A,
Примем, что в окрестности точки x = xA справедливо представление где Ф - функция, удовлетворяющая условию Гёльдера в указанной окрестности точки
Кроме того, будем считать заданной величину скорости набегающего потока, которая является важной характеристикой указанного потока.
В соответствии с условиями (1)-(3) на Lz являются заданными точки выбор которых влияет на форму Lz.
Поставленная выше задача отличается от рассмотренной в статье [3] только тем, что в последней величина не задается и решение задачи зависит от одной действительной производной постоянной. Следовательно, решение рассматриваемой здесь задачи можно получить из решения, данного в [3], при соответствующем подборе входящей в решение постоянной.
При этом получаемое здесь решение будет зависеть от и иметь свои отличительные особенности. В частности, в отдельных случаях решений может быть два или решения может не быть вовсе.
Вначале приведем используемые в дальнейшем формулы, полученные в работе [3].
В плоскости комплексного переменного берется окружность
обтекаемая циркуляцией Г потоком с комплексным потенциалом
![20-03-2020 12-11-44](/media/images/articles/s9VdWN020-03-2020-12-11-44.jpg)
где действительные постоянные, которые выбираются так, чтобы функция (4) отображала область
на область Dw в плоскости w, когда точки
в которых
являются соответственно точками разветвления и схода потока,
находится из уравнения
вышеуказанные числа.
В формуле (4) под понимается однозначная непрерывная ветвь в области
разрезанной по линии с уравнением
с началом в точке
.
Соотношения w = w(z), w = ω(ς) определяют функцию z = z(ς), отображающую конформно область на область Dz. Она имеет простой полюс ς =∞. Граничные значения этой функции равны
и определяют соответствие точек Lz и окружности
при указанном отображении. Пусть точкам
окружности
при этом отвечают точки Lz соответственно
Для определенности принимается, что
С учетом (4) из равенства имеем
![20-03-2020 12-38-11](/media/images/articles/JwwJCBo20-03-2020-12-38-11.jpg)
здесь
Из первых равенств (5) находится зависимость причем
из последнего равенства (5) определяется зависимость
Таким образом, для искомой функции z(ς) получаются краевые условия
Для аналитической функции с простым полюсом ς =∞ и краевыми значениями
справедливо краевое условие
где
В формуле под
понимается непрерывная в области
ветвь с граничными значениями
на остальных участках интервала (0, 2π).
Условие (6) представляется так:
![20-03-2020 14-40-21](/media/images/articles/74XVWMU20-03-2020-14-40-21.jpg)
Таким образом, приходим к задаче Шварца для аналитической в области функции
с простым полюсом
. Пользуясь известным решением этой задачи ([4, С. 269-271, 287]), получаем формулу
(7)
где произвольные действительные постоянные.
Функция производная которой определяется формулой (7) должна быть однозначной, следовательно, вычет функции
формулы (7) в точке ς =∞ должен быть равным нулю:
![20-03-2020 14-42-19](/media/images/articles/V0C9oPA20-03-2020-14-42-19.jpg)
![20-03-2020 14-42-32](/media/images/articles/yHM2quw20-03-2020-14-42-32.jpg)
![20-03-2020 14-52-00](/media/images/articles/AIHRnlo20-03-2020-14-52-00.jpg)
![20-03-2020 14-52-10](/media/images/articles/gPd03ZY20-03-2020-14-52-10.jpg)
Следовательно должны быть функциями от
определяемыми формулами (8). В дальнейшем будем считать в формуле (7)
В соотношении (7) перейдем к пределу при тогда, обозначая
будем иметь ([4, С. 39, 59])
(9)
![20-03-2020 14-53-46](/media/images/articles/WJbUlVk20-03-2020-14-53-46.jpg)
Зная производную формулы (9), найдем функцию
в интервале
аналогично по значениям
определим функцию
в интервалах
. Следовательно, определим координаты
точек контура Lz. Форма этого контура зависит от произвольной действительной постоянной
Обозначая при на основании равенства
приходим к формуле
![20-03-2020 15-06-28](/media/images/articles/6NCxgQA20-03-2020-15-06-28.jpg)
для вычисления распределения скорости на Lz, зависящей от
в силу (9), (10).
Так как и согласно (7)
то отсюда получаем выражение
Из формулы для v∞ приходим к соотношению которые с учетом (10) запишем в виде
. Это соотношение служит для определения значения постоянной
, так как согласно постановке задачи величина v∞ считается заданной. Ясно, что здесь должно выполняться условие
(при невыполнении этого условия поставленная задача неразрешима). Тогда постоянная
в частности определяется формулой
. (Единственным будет значение
). Подставляя полученное в формулу (10), найдем
– значения постоянных, входящих в формулы (7), (9), (10), (11) и определим искомые функции
. Если взять
то получим другое решение задачи.
Используя результаты статьи [5] легко убедиться в том, что определяемая с учетом формул (9), (10) производная непрерывна в точке
. Как видно из формул (9), (10), эта производная в точке
обращается в бесконечность, точка
контура Lz является угловой, и скорость v в ней равна нулю.
Область Dz должна быть однолистной, так как в противном случае задача обтекания профиля Lz станет физически нереализуемой. Проблема однолистности области Dz в изучаемой обратной краевой задаче требует особого рассмотрения.
Уместно отметить лишь следующее. Нетрудно убедиться в том, что если сумма в квадратных скобках формул (9), (10) в точке принимает отрицательное значение, то область Dz будет неоднолистной. Поэтому постоянная
указанных формул должна удовлетворять неравенству:
которое с учетом (10) можно записать так:
Для выполнения этого неравенства выбранное выше значение
является предпочтительным чем положительное. Ясно, что это неравенство связано с поведением линии Lz вблизи точки
и не является достаточным условием однолистности области Dz.
Конфликт интересов Не указан. | Conflict of Interest None declared. |
Список литературы / References
- Тумашев Г.Г. Обратные краевые задачи и их приложения / Г.Г. Тумашев, М.Т. Нужин. – Казань: Изд-во КГУ. 1965. – 333 с.
- Елизаров А.М. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики / А.М. Елизаров, Н.Б. Ильинский, А.В. Поташов. –М.: Наука. 1994. – 440 с.
- Салимов Р.Б. Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики в новой постановке / Р.Б. Салимов // Известия вузов. Математика. 2017, №9 – С. 96-101.
- Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 641 с.
- Салимов Р.Б. К вычислению сингулярных интергалов с ядром Гильберта / Р.Б. Салимов // Известия вузов. Математика. 1970, №12 – С. 93-96.
Список литературы на английском языке / References in English
- Tumashev G.G. Obratnyi kraevie zadachi I ih prilozenia [Inverse boundary value problems and their applications] / G.G. Tumashev, M.T. Nuzhin. – Kazan: KSU publishing house. 1965. – 333 p. [in Russian]
- Elizarov A.M. Obratnyi kraevie zadachi aerogidrodinamyki [Reverse regional tasks of aerodynamics] / A.M. Elizarov, N.B. Ilyinsky, A.V. Potashov. – M.: Science. 1994. – 440 p. [in Russian]
- Salimov R.B. Rashenye obratnoy kraevoy zadachi aerogidrodinamyki v novoy postanovke [Solving the reverse edge of the aerodynamics in the new production] / R.B. Salimov // Bulletin of universities. Mathematics. – 2017 – No.9 – P. 96-101. [in Russian]
- Gahov F.D. Kraevye zadachi. [Boundary value problems] M.:Nauka, 1977. – 641 p. [in Russian]
- Salimov R.B. K vychisleniu singulyrnikh integralov s yadrom Hilberta [To the calculation of singular intergals with the core of Hilbert] / R.B. Salimov // Bulletin of universities. Mathematics. – 1970, – No.12 – P. 93-96. [in Russian]