ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЕМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ СМЕШАННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЕМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ СМЕШАННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
Аннотация
В статье исследуется задача оптимального управления системой дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа второго порядка в случае смешанных ограничений. Для данной задачи сформулировано необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина. Этот результат может быть полезен как для организации последующей вычислительной процедуры типа метода последовательных приближений, так и для качественного анализа задачи оптимизации, возможно, не приводящего к окончательному ответу, но устанавливающего важные свойства решения, то есть оптимального процесса. В качестве примера приложения принципа максимума рассмотрена задача оптимального управления уравнением теплопроводности. В обеих задачах управляемая система с распределенными параметрами является сингулярной по Ж.Л. Лионсу. В случае сингулярной системы применение классической теории оптимального управления либо затруднительно, либо невозможно. Наличие смешанных ограничений в постановке рассматриваемых задач существенно осложняет процесс отыскания оптимального процесса.
1. Введение
Принцип максимума в математической теории управления, сформулированный и доказанный Л.С. Понтрягиным и его сотрудниками В.Г. Болтянским, Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко для задач оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами, то есть системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, является одним из самых известных и цитируемых результатов в современной математике. Открытие принципа максимума произошло благодаря прикладным задачам, оказавшимся полностью недоступными для решения методами классического вариационного исчисления. Непригодность вариационного исчисления в данной ситуации объясняется тем, что подавляющее большинство прикладных технических задач описывались дифференциальными уравнениями, линейными относительно управляющих параметров. Таким образом, принцип максимума Понтрягина связал классическое вариационное исчисление с современными прикладными исследованиями задач оптимизации. Особое место здесь занимают задачи с распределенными параметрами, возникающие в математической физике.
Благодаря прикладному и общенаучному значению перехода теории оптимального управления от приложений в задачах классической механики к приложениям в гидродинамике, газодинамике и обширном поле других физических исследований, вскоре после основополагающей публикации принципа максимума Понтрягина этот результат был распространен на различные прикладные задачи оптимального управления для систем с распределенными параметрами. В данной работе будут рассмотрены именно такие задачи. Предполагается, что поведение объекта управления описывается дифференциальными уравнениями параболического типа . Исследуются задачи оптимального управления при наличии смешанных ограничений, которые существенно усложняют поиск оптимального процесса. Задачи оптимального управления уравнениями параболического типа при наличии ограничений на фазовую и управляющую переменные вызывают повышенный интерес в настоящее время. В подтверждение этого факта отметим следующие публикации в ведущих международных математических журналах , , , . В частности, в рассматривалась задача оптимального управления уравнением теплопроводности в случае смешанных ограничений, но принцип максимума Понтрягина был установлен в предположении, что управляющая переменная удовлетворяет условию Слейтера. Одним из преимуществ данной работы является то, что никаких дополнительных трудно проверяемых предположений о фазовых и управляющих переменных для обоснования принципа максимума Понтрягина здесь не используется.
2. Задача оптимального управления системой уравнений параболического типа. Случай смешанных ограничений
Пусть – открытое и ограниченное подмножество
с
- гладкой границей
– непустое множество и
,
,
. Рассмотрим следующую систему управления:
Здесь - состояние,
- управление и
– параболический дифференциальный оператор второго порядка:
, где
,
,
. Коэффициенты
– измеримые функции
В целях упрощения формулировки предположений считаем, что . Функции
также измеримы и
для
и для почти всех
,
, при некоторых
. Предположим также, что заданы функции
,
,
и
,
. Обозначим
где . Рассмотрим задачу
на множестве процессов в системе (1), удовлетворяющих ограничениям
для почти всех . В (1)
- заданная непрерывная функция, обращающаяся в нуль на границе области
и удовлетворяющая условию Гельдера:
Показатель взят из теоремы 10.1
Здесь
Положим . Здесь
- гильбертово пространство со скалярным произведением, определенное в . Согласно теореме 10.1 существует такое число
, что для любой удовлетворяющей (7) функции
и любых
,
,
начально-краевая задача
имеет, причем единственное, решение .
Допустимыми считаем управления . Таким образом, задача состоит в минимизации функционала
на множестве
и справедливо (1), (5) и (6)}. При этом в (1) все производные понимаем как обобщенные . Функционал
, а также функционалы
из (5) определены согласно (3). В силу стандартных предположений о дифференцируемости и измеримости функций
, перечисленных в
Все сделанные здесь предположения, однако, не гарантируют, что для заданного управления , где
для почти всех
, нелинейная начально-краевая задача из (1) разрешима относительно
в цилиндре
. Это означает, что рассматриваемая управляемая система, вообще говоря, сингулярная по Лионсу
Обозначим через показатель, сопряженный показателю
из (2), то есть
. Пусть заданы функции
,
и множители Лагранжа
. Обозначим символом * транспонирование и введем функцию Гамильтона
, где
и
– функции из (1),
– функции из (3).
Теорема 1
.Пусть – оптимальный процесс в задаче (1) – (6). Тогда существуют функции
,
, числа
и конечная регулярная борелевская мера
, где
, такие что выполнены следующие соотношения:
для почти всех , где
,
для почти всех и всех
,
Доказательство Теоремы 1 в полном объёме приведено в работе
. Теперь установим с ее помощью необходимое условие оптимальности в конкретной задаче оптимального управления.3. Задача оптимального управления уравнением теплопроводности. Случай смешанных ограничений
Важное место в теории уравнений в частных производных и ее приложениях занимает уравнение теплопроводности :
Уравнение теплопроводности встречается в теории теплопередачи, в теории диффузии и в теории ценообразования на производные финансовые инструменты. Оно является наиболее простым представителем класса параболических уравнений. Уравнение теплопроводности было выведено и впервые исследовано в 1822 году в знаменитой работе Ж. Фурье «Аналитическая теория тепла», которая сыграла важную роль в развитии методов математической физики.
Пусть – открытое и ограниченное подмножество
с
- гладкой границей
– непустое множество и
. Рассмотрим следующую систему управления:
Здесь - состояние,
- управление и определим функционал
Рассмотрим задачу
на множестве процессов в системе (17), удовлетворяющих ограничениям
для почти всех . В (17)
- заданная непрерывная функция, обращающаяся в нуль на границе области
и удовлетворяющая условию Гельдера (7):
Напомним, что показатель взят из теоремы 10.1 . Очевидно, что при сделанных предположениях задача оптимального управления (17) – (20) представляет собой частный случай задачи (1) – (6) и поэтому для нее справедлива Теорема 1
Применим теорему 1 к задаче (17) – (20). Функция Гамильтона примет следующий вид , где
и
. Соотношения (13) и (15) останутся без изменений, а соотношение (14) исчезнет. Таким образом, в условиях задачи (17) – (20) теорему 1 можно переформулировать следующим образом:
Теорема 2.
Пусть - оптимальный процесс в задаче (17) – (20). Тогда существует такая функция
, что
для почти всех , где
,
.
4. Заключение
В статье рассмотрены задачи оптимального управления системой дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа второго порядка и уравнением теплопроводности. В постановках обеих задач присутствуют смешанные ограничения. Исследованы сингулярные по Ж.Л. Лионсу системы с распределенными параметрами. В обоих случаях установлены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.