ЗАДАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МЕТОДА ФРАКТАЛЬНОЙ ДИАГНОСТИКИ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ, ОСНОВАННОГО НА КОРРЕЛЯЦИОННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Гайдукова Е.В.

ORCID: 0000-0002-3547-5538, кандидат технических наук,

Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), г. Санкт-Петербург

ЗАДАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МЕТОДА ФРАКТАЛЬНОЙ ДИАГНОСТИКИ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ, ОСНОВАННОГО НА КОРРЕЛЯЦИОННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Аннотация

При разработке математических моделей гидрологических процессов используется метод фрактальной диагностики, позволяющий определить дробную размерность временных рядов. Для оптимизации алгоритма определения фрактальной (корреляционной) размерности рассмотрены вопросы задания значений временной сдвижки и параметра корреляционного интеграла (числа диапазонов). Исследованы зависимости указанных характеристик от коэффициента автокорреляции и среднеквадратического отклонения временного гидрологического ряда. Получено, что для ряда с малым значением среднеквадратического отклонения следует назначать большее число диапазонов.

Ключевые слова: гидрология, анализ временных рядов, корреляционная размерность, ряды расходов воды, ряды скоростей потока.

Gaidukova E.V.

ORCID: 0000-0002-3547-5538, PhD in Engineering,

Russian State Hydrometeorological University (RSHU), Saint-Petersburg

SETTING THE PARAMETERS OF THE FRACTAL METHOD OF DIAGNOSIS OF HYDROLOGICAL SERIES BASED ON THE COR-RELATION INTEGRAL

Abstract

In the development of mathematical models of hydrological processes a method of fractal diagnosis is used, allowing to determine the fractional dimension of the time series. To optimize the algorithm for determining the fractal (correlation) dimension the issues about the values of time shift and the parameter of the correlation integral (number ranges) are considered. The dependence of these characteristics from the autocorrelation coefficient and standard deviation hydrological series are investigated. It was found that for series with low-value standard deviation should be given a greater ranges number.

Keywords: hydrology, time series analysis, correlation dimension, series of water discharge, series flow rates.

Введение

Для нахождения числа фазовых переменных гидрологических систем используется метод фрактальной диагностики, основанный на корреляционном интеграле. Этот метод является наиболее подходящим (по сравнению с методами, основанными на оценке амплитудной вариации и на R/S-анализе) при составлении математических моделей. Он показывает, сколько переменных участвует в изучаемом процессе, тем самым предоставляет необходимую информацию для надежных прогнозов. У этого метода есть и недостатки: он сложнее остальных, более трудоемок, а так же требует продуманного подбора расчетных параметров [1].

В данном методе последовательность измерений (например, расхода воды Q), взятая с временной сдвижкой , рассматривается в качестве компонент вектора, описывающего систему. По рядам со сдвижками строятся псевдоаттракторы (и т. д.), для каждого из которых определяется нарастающий (стремящийся к единице) корреляционный интеграл C(r) (или корреляционная сумма – отношение числа точек, расстояния между которыми меньше заданных расстояний r, к общему числу точек), входящий в выражение для вычисления фрактальной (корреляционной) размерности [2]: . Результатом вычисления является неизменяющееся значение размерности при последовательных сдвижках τ, т. е. кривая насыщения становится прямой. Фрактальные размерности позволяет оценить минимальное число фазовых переменных (целое число, непосредственно следующее за фрактальной размерностью), необходимое для надежного моделирования и прогнозирования изучаемых процессов.

В данном исследовании ставится задача определения зависимостей, которые позволили бы оптимизировать процесс задания числа сдвижек (τ) и числа диапазонов (r) при расчете корреляционной размерности.

Исходные данные

Для решения вышеуказанной задачи были отобраны ряды наблюдений за расходами воды (табл. 1) и ряды скоростей открытого потока (табл. 2):

1. Были взяты репрезентативные бассейны для Европейской территории России. Выбирались посты, замыкающие зональные площади водосборов, с продолжительностью рядов наблюдений, позволяющей при необходимости применить метод гидрологической аналогии для восстановления и удлинения рядов. Период наблюдений для всех станций составляет не менее 40 лет, в среднем до 1990 года. Площади водосборов находятся в диапазоне от 1500 до 50000 км².
2. Для связи предполагаемого числа фазовых переменных с коэффициентом автокорреляции были отобраны самые продолжительные ряды наблюдений за расходом воды по всему миру. Использовался источник «Расходы воды избранных рек мира» [3], который также продублирован на Интернет-сайте [4], содержащем более длинные ряды наблюдений по некоторым речным бассейнам.
3. Для построения графика зависимости числа диапазонов при определении корреляционной размерности от среднеквадратического отклонения ряда расходов воды было взято в рассмотрение несколько малых рек.

Таблица 1 – Выбранные речные бассейны

4. В Российском государственном гидрометеорологическом университете на кафедре гидрофизики и гидропрогнозов были проведены эксперименты по фрактальному диагностированию открытых потоков в гидравлическом лотке, в результате которых получены ряды скоростных пульсаций [5, С. 61]. Некоторые ряды были использованы и в данном исследовании, характеристика которых приведена в табл. 2. Кроме лабораторных данных были использованы и результаты натурных измерений (осредненные скоростные ряды) при проведении исследований на р. Тверце [6] (см. табл. 2). В 1959 году на ней были проведены обширные натурные исследования неустановившегося движения, которое вызывалось специально организованными попусками с Новотверецкой ГЭС. Некоторые створы были оборудованы вертушками, проводившими непрерывную регистрацию скорости. Выбирались те створы, на которых влияние попуска на скоростной режим незначительно, т. к. фрактальная диагностика дает более достоверные результаты, полученные по статистически стационарным рядам.

Таблица 2 – Характеристика рядов пульсации скоростей и рядов скоростей течения р. Тверцы

Зависимость числа сдвижек (τ) от степени автокоррелированности ряда

В источнике [7, С. 89] по рассматриваемой задаче написано следующее: простейший способ задать число сдвижек – выбрать τ близким к первому нулю автокорреляционной функции исследуемого ряда. При неправильно подобранных τ существует вероятность недостатка/избытка информации, т. е. может иметь место вытягивание кривой насыщения, следовательно, выявляется множество ложных фазовых переменных.

Для рядов экономических характеристик рекомендация выбирать сдвижку, близкую к первому нулю автокорреляционной функции ряда [8], может работать, но для гидрологических рядов функция колеблется возле нуля уже для второго лага, т. е. данная рекомендация не подходит. Надо учесть, что корреляционная размерность характеризует связанность группировок членов временного ряда тесно связанных между собой, поэтому вопрос следует рассматривать, с точки зрения, значимости коэффициентов автокорреляции.

Значимость коэффициентов автокорреляции можно оценить по формуле , где ε(s) – погрешность определения коэффициента автокорреляции; r_s – коэффициент автокорреляции; s – временная сдвижка ряда; n – число членов ряда.

Для продолжительных рядов расходов воды и рядов пульсации скоростей были сосчитаны число значимых коэффициентов (τ₁) и число положительных значимых коэффициентов (τ₂) автокорреляции. Пример автокорреляционной функции и кривой насыщения представлен на рис. 1.

Рис. 1 – Пример автокорреляционной функции (а) и кривой насыщения (б) (р. Vannern – п. Vanersborg), τ = τ₂ = 22.

Не во всех случаях получаются результаты, удовлетворяющие практическому опыту (см. табл. 3), в основном – слишком большое число τ (равное либо τ₁, либо τ₂), не дающее кривой насыщения выходить на прямую (см. рис. 1, б), т. е. кривая насыщения не имеет стабилизационного участка. При таком подходе, вероятно, выявляются все составляющие системы, которые «зашумляют» основные фазовые переменные.

Таблица 3 – Значимые коэффициенты автокорреляции

Примечание: τ₁ – число значимых коэффициентов автокорреляции; τ₂ – число положительных значимых коэффициентов автокорреляции.

Зависимость числа диапазонов (r) от среднеквадратического отклонения ряда

Было замечено, что чем меньше изменчивость гидрологического ряда, тем больше требуется диапазонов при расчете корреляционного интеграла. Это связано с тем, что при малом числе диапазонов численное значение корреляционного интеграла может стремиться к единице уже в первом интервале. Для подтверждения эмпирического вывода в качестве исходных данных были взяты ряды с различными среднеквадратическими отклонениями: ряды пульсации скоростей, ряды расходов воды зональных рек и малых рек. По рядам рассчитывалась фрактальная размерность при задании различного числа диапазонов, и выбиралось то число, при котором кривая насыщения имела четко выраженный стабилизационный участок.

Рис. 2 – Зависимость числа диапазонов от среднеквадратического отклонения ряда (ось х в логарифмическом масштабе).

На рис. 2 показана зависимость числа диапазонов и среднеквадратического отклонения (ско). Видно, что с увеличением ско число диапазонов уменьшается по степенной зависимости (коэффициент детерминации равен 0,83). Подобный результат сделает задание параметров при вычислении корреляционной размерности более обоснованным.

Выводы

Рассмотрены вопросы о числе сдвижек и числе диапазонов при расчете корреляционной размерности с целью оптимизации процесса фрактальной диагностики временных гидрологических рядов. Была найдена зависимость числа диапазонов от среднеквадратического отклонения ряда; зависимость числа сдвижек от коэффициента автокорреляции не была подтверждена.

Список литературы / References

1. Гайдукова Е. В. Сравнительный анализ методов фрактальной диагностики гидрологических рядов / Е. В. Гайдукова // Ученые записки Российского государственного гидрометеорологического университета. – 2016. – № 42. – С. 9 – 14.
2. Коваленко В. В. Моделирование гидрологических процессов / В. В. Коваленко, Н. В. Викторова, Е. В. Гайдукова. – СПб.: изд. РГГМУ, 2006. – 559 с.
3. Расходы воды избранных рек мира. Издано в 1993 для ЮНЕСКО. – СПб., Париж: Гидрометеоиздат, 1993. – 600 с.
4. The Global River Discharge Database (RivDIS v1.1) [Электронный ресурс] / Oak Ridge National Laboratory Distributed Active Archive Center. 1998. – URL: http:// http://www.rivdis.sr.unh.edu/ (дата обращения 18.03.2014).
5. Коваленко В. В. Метаморфоз понятий частично инфинитной гидрологии в контексте деструкции онтологии М. Хайдеггером / В. В. Коваленко. – СПб.: изд. РГГМУ, 2015. – С. 61–72.
6. Исследование неустановившегося движения воды на реках Тверце и Оредеж / Под ред. Н. Е. Кондратьева и В. А. Урываева. – Л.: Гидрометеоиздат, 1961. – 288 с.
7. Лоскутов А. Ю. Анализ временных рядов [Электронный ресурс] / А. Ю. Лоскутов // Физический факультет МГУ. 2008. – С. 89–90. URL: http://chaos.phys.msu.ru/loskutov/PDF/Lectures_time_series_analysis.pdf (дата обращения 10.03.2015).
8. Peters E. Fractal Market Analysis: applying chaos theory to investment and economics / E. Peters. – John Wiley & Sons, Inc., 1994. – 167 p.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Gaidukova E. V. Sravnitel'nyy analiz metodov fraktal'noy diagnostiki gidrologicheskikh ryadov [Comparative analisis of methods of fractal diagnosis of hydrological series] / E. V. Gaidukova // Uchenyye zapiski Rossiyskogo gosudarstvennogo gidrometeorologicheskogo universiteta [Scientific notes of Russian State Hydrometeorological University]. – 2016. – № 42. – P. 9 – 14. [in Russian]
2. Kovalenko V.V. Modelirovaniye gidrologicheskih protsessov [Modelling of hydrological processes] / V. V. Kovalenko, N. V. Victorova, E. V. Gaidukova. – SPb., izd. RGGMU. 2006. 559 p. [in Russian]
3. Raskhody vody izbrannykh rek mira. Izdano v 1993 dlya YUNESKO [Water discharge selected rivers of the world. Published in 1993 for UNESCO]. – SPb., Parizh: Gidrometeoizdat, 1993. – 600 p. [in Russian]
4. The Global River Discharge Database (RivDIS v1.1) [Electronic resource] / Oak Ridge National Laboratory Distributed Active Archive Center. 1998. – URL: http:// http://www.rivdis.sr.unh.edu/ (accessed: 18.03.2014).
5. Kovalenko V. V. Metamorfoz ponyatiy chastichno infinitnoy gidrologii v kontekste destruktsii ontologii M. Khaydeggerom [Metamorphosis concepts partially infinite Hydrology in the context of the destruction of the ontology of M. Heidegger] / V. V. Kovalenko. – SPb., izd. RGGMU. 2015. – P. 61–72. [in Russian]
6. Issledovaniye neustanovivshegosya dvizheniya vody na rekakh Tvertse i Oredezh / edited by N. Ye. Kondrat'yeva, V. A. Uryvayeva. [A study of unsteady flow of water in rivers Tvertsa and Oredezh]. – L.: Gidrometeoizdat. – 1961. 288 p. [in Russian]
7. Loskutov A. Yu. Analiz vremennykh ryadov [Time Series Analysis] [Electronic resource] / A. Yu. Loskutov // Fizicheskiy fakul'tet MGU [Faculty of Physics, Moscow State University]. 2008. – P. 89–90. URL: http://chaos.phys.msu.ru/loskutov/PDF/Lectures_time_series_analysis.pdf (accessed: 10.03.2015) [in Russian]
8. Peters E. Fractal Market Analysis: applying chaos theory to investment and economics. – John Wiley & Sons, Inc., 1994. – 167 p.