КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ИНВОЛЮЦИЕЙ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ИНВОЛЮЦИЕЙ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Аннотация
В настоящей работе впервые поставлена и исследована разрешимость классической краевой задачи для вырождающегося дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с инволютивным отклонением аргумента вида (-x) в прямоугольной области. Для исследуемой задачи доказаны теоремы существования и единственности регулярного решения. Установлены некоторые условия на коэффициенты, при выполнении которых задача имеет единственное решение. Вопрос разрешимости задачи в требуемом классе функций методом разделения переменных редуцирован к разрешимости соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения с инволютивным отклонением аргумента, решение которого построено методом дифференцирования.
1. Введение
В последнее время у специалистов в области дифференциальных уравнений все больший интерес вызывают задачи для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. Такое внимание обусловлено как теоретическими потребностями в обобщении классических результатов, так и прикладной значимостью краевых задач для уравнений с отклоняющимся аргументом.
Наиболее важные вопросы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их приложения изучены в работах
, . Теории разрешимости уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом и их приложениям посвящена работа . В работе исследуется задача о параболическом уравнении с инволюцией и установлены оценки устойчивости для решения этой задачи. Исследованию спектральных свойств классических операторов Дирака и операторов с инволюцией в однородных функциональных пространствах посвящена работа . В работах , , методом разделения переменных получено решение смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных производных с инволютивным отклонением аргумента в производной и в самой функции. Исследованию разрешимости в пространствах Соболева краевых задач для эллиптических и параболических уравнений с переменными коэффициентами и с инволюцией в старших производных, как в невырожденном, так и в вырожденном случаях посвящена работа .Среди дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами особое место занимают уравнения с инволютивным отклонением аргумента.
Определенная на некотором числовом множестве функция
называется инволюцией на этом множестве, если при
выполняется
. Наиболее распространенными простейшими примерами инволюции, являются следующие виды:
1) – это инволюция, известная как отражение;
2) – инволюция инверсии;
3) Пусть ,
- дробно-линейная инволюция (при – линейная инволюция).
Обыкновенные дифференциальные уравнения с инволютивным отклонением аргумента впервые встречаются в работе, опубликованной в 1816 году Ч. Баббеджом
. Отметим, что к дифференциальным уравнениям, содержащим инволютивное отклонение аргумента сводятся некоторые геометрические задачи , задачи теории фильтрации , задачи исследования субгармонических колебаний, описываемых уравнениями без диссипации .В настоящей работе впервые поставлена и исследована однозначная разрешимость краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка с инволютивным отклонением аргумента в прямоугольной области. Подобное уравнение с общей инволюцией в старших производных изучалось в работе
.Рассмотрим уравнение
в прямоугольной области , где
– заданные положительные числа.
Задача . Найти в области
функцию
, удовлетворяющую условиям
где – заданные достаточно гладкие функции.
В случае краевая задача (2)-(5) достаточно хорошо изучена (см., например,
2. Исследование однозначной разрешимости задачи
Покажем, что однородная задача (
) имеет только нулевое решение.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть коэффициент уравнения (1) удовлетворяет следующему условию:
тогда если решение задачи в области
существует, то оно единственно.
Доказательство. Действительно, умножим уравнение (1) на и проинтегрируем по области
полученное равенство:
Оценим последнее слагаемое в полученном равенстве (6) применив неравенство Гёльдера и выполнив замену :
Принимая во внимание неравенства
а также из (6) и (7) получим
Следовательно, с учетом условия теоремы 1 неравенство будет справедливо лишь в случае
и решение задачи
единственно.
Теорема доказана.
Перейдем теперь к доказательству существования решения.
Решение задачи (2)-(5) будем искать методом Фурье в виде
Подставляя (8) в (1) и разделяя переменные, получим
где .
Отсюда, с учетом (4), будем иметь
Введем следующие обозначения, обозначим через и
числа
и
, где
.
Исследуем задачу (10), (11). Дважды дифференцируя (10), а также учитывая равенства
приходим к соотношению
:Кроме того, из (10) и (11) вытекают условия
Для функции , чисел
и
должны выполняться равенства (13), (11), (14), а также (12).
Рассмотрев различные представления общего решения уравнения (13) при различных значениях получим, что при
и
однородная краевая задача (10), (11) имеет ненулевые решения
и
соответственно. Системы собственных функций
и
образуют базис в
.
Подставляя в (9) приходим к соотношению
Общее решение уравнения (15) будет иметь вид
где – произвольные постоянные,
и
– модифицированные функции Бесселя I и III рода соответственно
Тогда из (8) получим
где – постоянные нуждающиеся в определении.
Для нахождения неизвестных постоянных удовлетворим построенное решение (16) граничным условиям (5). Учитывая поведение модифицированных функций Бесселя при
Удовлетворим решение (16) краевому условию (5), используя оценки (17) для функции и
, будем иметь
где
Подставляя (18) в (16), получим:
Аналогично общее решение уравнения (9) при определяется формулой:
где – произвольные постоянные,
и
– модифицированные функции Бесселя I и III рода соответственно.
Тогда из (8) будем иметь
где – постоянные нуждающиеся в определении.
Решение (21), удовлетворив граничным условиям (5) с учетом (17), найдем:
где
Затем, подставим (22) в (21), тогда решение при представляется в виде:
Лемма 1. Если и выполнены следующие условия:
,
,
,
,
, то справедливы оценки:
где
Доказательство. Проинтегрировав по частям три раза в интегралах (19), (23) с учётом условий леммы получим
где
Функция непрерывна на
, то из теории рядов Фурье в силу неравенства Бесселя следующий ряд сходится
Интегрируя три раза по частям в первом интеграле (23), имеем
где
В силу неравенства Бесселя и непрерывности функции на
будет сходиться ряд:
Аналогично устанавливается справедливость остальных оценок
где
Лемма полностью доказана.
Теорема 2. Если выполнены условия леммы 1, то для любого при больших
и
справедливы оценки:
где .
Доказательство. Пусть , где
– достаточно малое число,
. Тогда пользуясь асимптотическими формулами (17) для модифицированных функций Бесселя в окрестности точки
, оценим
, заданную по формуле (20):
где – здесь и далее положительные постоянные.
Если положить , то на основании асимптотических формул модифицированных функций Бесселя в окрестности бесконечно-удалённой точки
оценим функцию :
Тогда при любом для
справедлива оценка
Отсюда в силу леммы 1, получим
Воспользовавшись формулами дифференцирования модифицированных функций Бесселя
найдем производную функции :
Пусть . В силу асимптотических формул для модифицированных функций Бесселя в в окрестности точки
имеем:
Тогда с учетом (27) оценим функцию (26):
Поскольку при больших
то из (28) и (29) следует, что
Когда , то из (25) и (26) будем иметь
Отсюда с учётом (29) имеем
Тогда из (31) и (30) вытекает, что при и
, справедлива следующие оценка
или с учётом леммы 1:
Найдем производные ,
и
, получим:
Из оценки для функций и
вытекают следующие оценки:
Из уравнений (1) с учётом оценок из леммы 1 для функций и
, получим:
Аналогичные оценки справедливы и для функции и ее производных
,
,
,
и
.
Теорема полностью доказана.
Таким образом, если функций и
удовлетворяют условиям теоремы 1 и теоремы 2, то существует единственное решение задачи (2) - (5) и оно представимо в виде суммы сходящихся рядов
где ,
и
,
определяются из равенств (19) и (23) соответственно.
3. Заключение
Основной целью настоящей работы было доказательство существования и единственности регулярных решений первой краевой задачи для модельного уравнения в частных производных с инволютивным отклонением в младших слагаемых, то есть решений имеющих все производные, входящие в соответсвующее уравнение. С использованием метода разделения переменных было доказано существование единственного решения классической первой краевой задачи. Несмотря на то, что результаты работы носят теоретический характер, они могут иметь широкое применение, как и в дальнейших исследованиях уравнений с отклоняющимся аргументом, а именно дифференциальных уравнений с инволютивным отклонением аргумента и краевых задач для них, так и в прикладных задачах.