МЕТОД ПОДОБЛАСТЕЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ
МЕТОД ПОДОБЛАСТЕЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ
Аннотация
При изучении некоторых физических процессов, таких как, например, изучение силы, направленной на электрический заряд, движущейся со скоростью, близкой к световой в фоновом магнитном поле, возникает необходимость использования производных дробных порядков, а с развитием науки и технологий такие исследования становятся наиболее актуальными. Подобные задачи приводят к необходимости построения модели процесса с дальнейшей численной реализацией, требующей обоснования применения приближенного аппарата и нахождения точности приближения.
В работе представлены результаты теоретического обоснования применения метода подобластей для нахождения численного решения уравнений с операторами дробного дифференцирования.
Определена структура численного решения и оценка погрешности приближенного решения по метрике энергетического пространства, порожденного оператором дробного дифференцирования. В качестве тестового примера для частного случая дробно-дифференциального уравнения построена вычислительная схема метода.
Результаты статьи могут служить как для теоретического, так и для практического применения при решении краевых задач, приводящих к дифференциальным уравнениям с дробным порядком производных.
1. Введение
Интерес к изучению уравнений с дробно-дифференциальными операторами в настоящее время обусловлен активным использованием таких уравнений в ряде теоретических и прикладных задач физики, химии, а также биологии и медицины. К таким задачам относятся задачи диффузии, электрохимических процессов, в задачах автоматического управления и обработки сигналов. Активно используются такие уравнения для некоторых экономических задач, связанных со скачкообразными процессами, например, в задачах для непрерывных моделей устойчивой экономики. Также дифференциальные уравнения находят свое применение в задачах, изучающих процессы фильтрации, течения жидкости в пористой среде [1], [2], модели которых также описываются при помощи дифференциальных уравнений дробного порядка. Используются такие уравнения также при описании процессов, обладающих эффектом «памяти», причём дробный порядок уравнений в теории таких систем приобретает основополагающее значение, сопоставимое с классическим анализом применительно к механике сплошных сред [3], [4]. Таким образом, становится очевидным востребованность дробного исчисления в различных областях науки. Особенно в таких областях, как классическая и квантовая физика, теория поля, физика твердого тела, динамика жидкости, турбулентность, общая химия, нелинейная биология, стохастический анализ, нелинейная теория управления, обработка изображений [5].
Данные задачи, как правило, точно не решаются, поэтому необходимы теоретически обоснованные приближенные методы решения этих уравнений. Отметим, что в последнее время в научной литературе появляются работы, в которых предложены численные методы для некоторых классов уравнений. Приведем некоторые из них. Так, в работе [6] авторами разработан комплект Fractional Integration Toolbox (FIT), который эффективно выполняет дробное численное интегрирование и (или) дифференцирование с помощью интегралов типа Римана-Лиувилля на больших последовательностях данных. Инструментарий, предложенный в [6], допускает распараллеливание и предназначен для использования развертывания на платформах CPU и GPU. Однако, широкому кругу исследователей, занимающихся конкретными задачами, такой комплекс недоступен. Теоретическим изучением интегро-дифференциальных уравнений, определяющих множество скалярных интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными ядрами, включая линейные, нелинейные и резольвентные уравнения занимались авторы [7]. Ими был построен функционал Ляпунова, дающий качественные свойства решений, однако полученные результаты в основном касаются интегрируемых решений из интегрируемых возмущений. Авторами [8] приводится обоснование метода общих проекционных полиномов для решения периодических дробно-интегральных уравнений в двух пространствах Гёлдера. Данный результат носит теоретический характер и может быть использован в дальнейших исследованиях, связанных с построением вычислительных схем приближенных методов для задач, где используются уравнения из пространств Гёлдера. Авторы [9] обосновали обобщенный метод Бубнова-Галеркина для нахождения приближенного решения дробно-интегральных уравнений и получили оценки сходимости по метрике энергетического пространства, порожденного дробно-интегральным оператором, также предложили вычислительную схему этого метода для частного примера. В работе [10] авторами рассматривались некоторые экономические модели, использующие дифференциальные уравнения. Для некоторых уравнений непрерывных моделей экономики в работе [10] был предложен и обоснован приближенный метод. Авторами [11] предложен пример дифференциального уравнения, имеющего дробный порядок дифференцирования, который используется для моделей непрерывной экономики, и обоснован приближенный метод его решения. Однако, несмотря на достигнутый успех в этом направлении, остается открытым вопрос теоретического обоснования применения приближенных методов для более общего класса подобных задач. Так как существующие на сегодняшний момент работы, связанные с изучением дифференциальных уравнений дробного порядка, носят лишь частный характер. Наше исследование лишь дополнит теоретическое изучение еще одним методом для частного случая уравнений.
В работе предлагается метод подобластей для нахождения приближенного решения дробно-дифференциальных уравнений. Получены оценки сходимости приближенного решения к точному решению по метрике энергетического пространства, порожденного дробно-дифференциальным оператором. Построенный вычислительный метод проиллюстрирован на частном примере и приведена оценка метода.
2. Постановка задачи
В пространстве квадратично суммируемых функций на отрезке рассмотрено уравнение с дробно-дифференциальным оператором
следующего вида:
Где оператор выражается через
- производные дробного порядка для функций
, заданных на отрезке
, согласно формулам [12]:
здесь . Производные (2) – производные Римана-Лиувилля порядка
, левосторонний и правосторонний, соответственно, а функции
- неизвестная функция и
- заданная функции из пространства
.
- оператор, для которого справедливо условие:
- линейный оператор, и, в общем случае неограниченный и не положительно определенный.
В [12] показано, что для достаточно хороших функций оператор совпадает с оператором Вейля для дифференцирования дробного порядка. Поэтому справедливо следующее правило:
Здесь суть коэффициентов Фурье для функции
.
В случае, когда дробная производная (2) порядков ее можно представить следующим образом: число
, дробный порядок производной, можно представить как
т.е. через сумму целой и дробной частей соответственно. Если
- целое число, то под дробной производной будем понимать обычное дифференцирование:
Если же число не целое, то вводятся производные:
В явном виде они задаются как:
Для оператора (3) справедливы следующие леммы.
Лемма 1. положительно определенный оператор.
Лемма 2. симметричный оператор.
Для функций введем скалярное произведение и норму соответственно в операторном виде:
В явном виде скалярное произведение будет выражено как:
Пополняя по норме, введенной выше, получим энергетическое пространство
порожденное оператором дробного дифференцирования
.
Скалярно умножая исходное уравнение (1) на произвольную функцию , получим следующее уравнение:
которое допускает обобщённую постановку задачи. Напомним, что согласно [12] обобщенным решением уравнения (1) называется функция , удовлетворяющая уравнению (4) для любой функции
.
3. Метод подобластей
Для нахождения приближенного решения уравнения (1) в энергетическом пространстве выбирается система базисных функций
,
, через которую решение выражается в виде следующего разложения:
Неизвестные коэффициенты разложения определяются по методу подобластей из системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:
здесь – базисные сплайны нулевого порядка по равноотстоящим узлам.
Приближенное решение, согласно представлению (5), подставим в уравнение (4), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:
Здесь учли также линейность скалярных произведений.
В качестве иллюстрации приведем пример вычислительной схемы метода подобластей для уравнения (1), при следующих данных: пусть оператор
. Тогда уравнение (1) примет вид:
Неизвестную функцию уравнения (8) будем искать приближенно методом подобластей, для этого в разложении (5) в качестве базисных функций возьмем систему функций
. Неизвестные коэффициенты
разложения (5) найдем как решение системы:
где в качестве функций используем базисные сплайны нулевого порядка по равноотстоящим узлам вида:
, где
при
и где
при
Тогда система для вычислительной схемы метода подобластей для модельного примера, уравнения (6) примет вид:
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1.
Пусть
1) уравнение (1) имеет единственное решение при данной правой части;
2) форма является
- определенной и
- ограниченной, т.е. выполняются условия:
3) Последовательность подпространств - линейных оболочек функций
- является предельно плотной в
.
Тогда при любом конечном система (6) однозначно разрешима и приближенное решение
сходится к точному решению
при
по метрике
энергетического пространства
и справедлива оценка погрешности:
где - заданная функция от
(оценка погрешности аппроксимации), удовлетворяющая неравенству:
4. Заключение
Предложенный в работе метод подобластей для нахождения приближенного решения дробно-дифференциального уравнения, основан на получении численного решения в виде многочлена по системе базисных функций в заданном пространстве, которую легко подобрать. Кроме того, реализация метода не представляет трудностей, так как она основана на решении систем линейных алгебраических уравнений. Полученная в статье оценка сходимости приближенного решения к точному решению по метрике энергетического пространства, порожденного дробно-дифференциальным оператором, показывает достаточно высокую точность приближения. Считаем, что предложенный вычислительный метод эффективен для решения подобных задач для дробно-дифференциальных операторов.