ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРНОЙ НОМОГРАММЫ НА БАЗЕ ТЕОРЕМЫ СОВМЕЩЕНИЯ

Левкин Ю.С.

Соискатель, Тольяттинский государственный университет ТГУ

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮРНОЙ НОМОГРАММЫ НА БАЗЕ ТЕОРЕМЫ СОВМЕЩЕНИЯ

Аннотация

При помощи эпюрной номограммы, используя закономерности начертательной геометрии, получена технологическая карта, использование которой, может служить основой без аварийной работы химической установки. Сущность такого способа заключается в поддержании структуры двухфазного потока, при котором значения экспериментальных параметров находятся в оптимальной без аварий зоне. Построение такой номограммы может являться примером графической иллюстрации, при помощи которой возможно аналитическое подтверждение правильности проведения эксперимента. Новизна построения номограммы, базируется на авторской теореме соответствия. Курсивом выделена новизна, претендующая на право актуальности, выбранной тематики. В работе использовались дополнительные геометрические пояснения, каждое из которых сопровождалось графическим анализом. Генезис графических форм является носителем параметровых изменений, характеризующих физические нюансы течения эксперимента.

Ключевые слова: эпюрная номограмма; начертательная геометрия; двухфазный поток; графический анализ; точечный замер.

Levkin Yu.S.

External Doctorate Student, Togliatti State University

CONSTRUCTION OF THE EPURE NOMOGRAM ON THE BASIS OF THE SUPERIMPOSING THEOREM

Abstract

A technological map is obtained with the help of an epure nomogram and the patterns of descriptive geometry, the application of which can be used as the basis without the emergency operation of the chemical installation. The essence of this method consists in maintaining the structure of a two-phase flow, where the values of the experimental parameters are in the best zone without accidents. The construction of such a nomogram can be used as an example of a graphic illustration, which enables the provision of an analytical confirmation of the experiment’s accuracy. The novelty of the monogram construction is based on the author’s superimposing theorem. The novelty is marked with italics, claiming the right of the chosen topic’s relevance. Additional geometric explanations are used in the work; each of them is accompanied by graphic analysis. The genesis of graphical forms is the bearer of the parametric changes that characterize physical nuances of the experiment’s flow.

Keywords: epure nomogram; descriptive geometry; two-phase flow; graphical analysis; spot measurement.

Постоянная конкуренция двух математических направлений существовала всегда, а с развитием компьютерных возможностей становится ещё актуальнее. Бурное развитие аналитического направления вполне оправданно при весьма громоздком графическом исполнении математических задач, до появления компьютерной графики. В период компьютерных технологий графическое направление становится весьма перспективным, т.к. имеет ряд преимуществ, таких как простота и наглядность восприятия [3, С. 255], [11, С. 111–116].

Наличие трёх и более зависимых между собой параметров способствует графическому выполнению компьютерной программы AutoCAD, Компас и др. [10, С. 110–113].

Номография от слова nomos – закон является разделом математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм – специальных чертежей, являющихся изображениями функциональных и аргументальных зависимостей [8, С. 4].

Во многих отраслях народного хозяйства, как машиностроение, медицина, химическая промышленность и т.д. широкое применение получило использование номографии [9, С. 12].

В настоящей работе представлено новое направление применения многомерных ячеечных эпюрных проекционно  - октантовых  номограмм, на базе восьми октантовой модели применяемой в начертательной геометрии, которая предусматривает проекционную межоктантовую связь проекций точек в разных октантовых ячейках [1], [2].

В зависимости от числа абстрактных осей (X, Y, Z) с их иррациональным продолжением (-X, -Y, -Z), строится параметрическая модель, где эти оси трансформируются в конкретные физические величины (X - Q_г ),  (Y - Q_в),  (Z - ω_г) и т.д.  Даже  фотографии не всегда улавливают начало изменений в экспериментальных  процессах [6, С. 116–118], [7,  С. 80].

Построение таких номограмм основано на материале и закономерностях начертательной геометрии, превращая их в живые материальные параметрические зависимости, где изменения конфигураций геометрических образов, изменяя физический смысл проводимого эксперимента. Аксонометрия, как и все геометрические построения, в сфере начертательной геометрии, получившие параметральное начало, превращаются в ячеечную номограмму, которая занимает одно из восьми октант. Смежные октанты, имеющие две общих параметральных оси,  связаны проекционной связью и представляют практический интерес.  Параметральная связь должна находиться в одной физической системе единиц.

Получение исчерпывающей информации, от экспериментальных исследований, предпочтительно благодаря эпюрных октантовых многомерных номограмм. Использование проекционной межоктантовую связи повышает значимость самого эксперимента [4, С. 69–74].

Предлагается с помощью трёх осей в изометрической проекции построить эпюрную пространственную номограмму, зависимости влияния расходных характеристик двух фаз (Q_г и Q_в) от живых сечений (ω_г и ω_в). Очень просто было бы построить зависимость (Q_г от ω_г)  или (Q_ж от ω_в), однако такие характеристики соответствовали бы только жидкостной или только газовой фазам. Двухфазный поток это физически структурный процесс, и его рассмотрение  возможно только в рамках этой структуры.

Для этой цели используем ось аппликат как функциональную, результирующую и перенесём на неё значения сразу двух параметров живых сечений жидкости и газа ω_гв. Удобство использования одной оси связано с тем, что значения жидкой фазы плавно переходят в значения газовой фазы, а параметр ω_вг = 40 (мм²)  является переходным числом из жидкой в газовую фазу, при этом живое сечение ω_вг = 40 (мм²) – это место раздела фаз, которое может иметь как жидкая, так и газообразная фазы. Оси абсцисс и ординат будут носителями расходов жидкости и газа (Q_г и Q_в).

Геометрический анализ рис. 1.

Преобразуем точки периметра кривых, цилиндрической горизонтально проецирующей поверхности, с помощью буквенной фиксации рис.1. [5, С. 89].

На горизонтальной плоскости, заданной осями (Q_г и Q_в), по табличным данным построена расходная кривая, которая является более удобной  для геометрического  чтения  рис. 1. [5, С. 88].

Значения функций или значения живых сечений можно получить как на фронтальной плоскости для жидкой фазы, так и для газовой фазы на профильной плоскости.

1. На горизонтальной плоскости кривая будет обозначена малыми буквами (a,b,c,d,e). Эту кривую можно считать направляющей цилиндрической поверхности или горизонтальной проекцией.

Рис. 1 – Зависимость изменений живых сечений обеих фаз по  расходным характеристикам двухфазного потока (ω_г, Q_г)  и (ω_в, Q_в)

2. Изометрические проекции живых сечений жидкой фазы номограммы обозначим прописными буквами с индексом 0 – (A₀,B₀,C₀,D₀,E₀).
3. Изометрические проекции живых сечений газовой фазы номограммы обозначим прописными буквами (A,B,C,D,E).

Направляющие кривые горизонтально-проецирующей цилиндрической поверхности (A₀,B₀,C₀,D₀,E₀) и (A,B,C,D,E) представлены

в виде определителей живых сечений обеих фаз. Линии связи (перпендикуляры), исходящие из этих точек, пересекая (A₀,А); (B₀,B); (C₀,C); (D₀,D); (Е₀,Е) являются образующими этой поверхности. При этом отрезки прямых (A₀,А; B₀,B и т.д.) своими концами фиксируют живые сечения обеих фаз.

На рис. 1. представлена номограмма, с помощью которой можно определить зависимость, в которой находятся четыре исследуемых параметра (Q_г, Q_в, ω_г и ω_в). Такой выбор служит наглядной информацией проходящих процессов в двухфазных потоках. Помимо расходов в расчётах встречаются и другие параметры, такие как скорости фаз, которые функционально зависимы от живых сечений.

Рис. 2 – Зависимость изменений живых сечений от скоростных характеристик двухфазного потока (ω_г, υ_г) и (ω_в,  υ_в)

Геометрический анализ рис. 2.

Построение рис. 2. аналогично  рис. 1. Ось аппликат, фактически без изменений переносится на рис. 2. с параметрами живых сечений фаз тех же размерностей, а горизонтальную плоскость (_{в ×} _г) представляет кривая скоростей обеих фаз двухфазного потока [5, С. 91].

1. На горизонтальной плоскости кривая будет обозначена малыми буквами (k,n,f,e,t). Эту кривую можно считать направляющей цилиндрической поверхности или горизонтальной её проекцией.
2. Изометрические проекции живых сечений жидкой фазы номограммы обозначим прописными буквами с индексом 0 – (K₀,N₀,F₀,L₀,T₀,).
3. Изометрические проекции живых сечений газовой фазы номограммы обозначим прописными буквами (K,N,F,L,T).

Направляющие кривые горизонтально-проецирующей цилиндрической поверхности (K₀,N₀,F₀,L₀,T₀,) и (K,N,F,L,T) представлены в виде определителей живых сечений обеих фаз. Отрезки прямых (K_0,. K; N₀, N; F₀, F; L₀, L; T₀, T), являются образующими, рассматриваемой поверхности. Отрезки прямых (K_0., K; N₀, N; т.д.) своими концами фиксируют  значения живые сечения обеих фаз. На рисунке представлена номограмма, с помощью которой можно определить зависимость, в которой находятся четыре исследуемых параметра (υ_в, υ_г,  ω_г и ω_в).

Графоаналитический анализ эпюрной номограммы соответствия рис. 3.

Безусловно, каждая из рассмотренных номограмм имеет конкретный локальный смысл, но наша цель получить исчерпывающее номографическое решение всего экспериментального процесса. Графическое подтверждение аналитической формулы (1) выглядело бы так:

                                                                                                   (1)

ω_(г=0,42)= Q _(г=1,3)//υ _(г=3,2);         и         ω_(в=0,38)= Q_(в=15,9)/υ_(в=4,7) .

Погрешность между экспериментально графическим и аналитическим расчетами составляет десятым долям единицы.

С другой стороны, эпюрная номограмма должна отвечать требованиям наглядной графической информации всего экспериментального процесса с помощью точечных замеров, как это показано на расшифровке аналитических формул в виде одного точечного замера всех параметров формулы. Таким образом, совмещение двух номограмм приводит к получению трёх точек одного экспериментального замера трёх параметров,  два из которых аргументальные и один функциональный. Более того, каждая из этих трёх точек представляет горизонтальную плоскость уровня, характеризующую конкретный точечный замер.

Теорема: если две одноячеечные эпюрные номограммы имеют общую одноимённую функциональную  ось аппликат, то  графические зависимости, располагающиеся на горизонтальной несущей плоскости, являются переменными аргументирующими значениями, и на оси аппликат они имеют общие функциональные точки соответствия.  Такие графические зависимости являются  совмещёнными в приделах одно ячеечной эпюры .

Совместим рис.1. и рис. 2., т.к. оси аппликат выражают функциональные результирующие значения, а формула (1), связывает скоростные и расходные характеристики (Q_г, υ_г) и (Q_в, υ_в). Совмещение осей (Q_г и υ_г) и (Q_в и υ_в) на горизонтальной плоскости проекций приводит к совмещению расходных и скоростных кривых, построенных по табличным данным, и имеющих позиционное соответствие.

Оси со скоростями жидкой фазы совмещаются со скоростями расхода жидкой фазы, а скорость газовой фазы совмещается с осью расхода газовой фазы. Находим графическую общность.

Отрезки  прямых своими концами фиксируют живые сечения обеих фаз  a t; b l; c f; d n;  k e показывая, что на рис. 3.

Рис. 3 – Одно октантовая эпюрная номограмма совмещения расходных и скоростных характеристик двухфазных потоков

1. Производной кривой, расходных характеристик жидкости и газа, является совокупность точек а, b, c, d, e, которая соответствует скоростным характеристикам совокупности точек t, l, f, n, k, производной которых, является кривая скорости.
2. Плоскости параллельны, если прямые лежащие на одной плоскости, параллельны прямым, лежащим в другой плоскости a t || A_o T_o || AT; b l || B_o L_o || BL; c f || C_o F _o || CF; d n || D_o N_o|| DN; k e || K_o E _o || KE, отсюда следует, что плоскости уровня номограммы параллельны горизонтальной плоскости проекций, а их встречи с осью аппликат будут решением уравнения (1). Это значит, что любая точка, лежащая на плоскости уровня, имеет лишь одно значение аппликат или одно номографическое функциональное значение.
3. Пересечение с осью ω_в плоскостей уровня, в которых лежат как В_o, так и L_o, говорит о том, что расход и скорость жидкой фазы двухфазного потока соответствуют живому сечению (ω_в=0,38см²) или соответствуют тем параметрам, которые в формуле и определяют (ω_в=0,38см²), т.е. имеют единственное метрическое решение.
4. Если через (AT, BL и т.д.) провести горизонтальные плоскости уровня, то эти плоскости будут иметь только по одной точке встречи с осью аппликат. Пересечение с осью (ω_г) плоскостей, в которых лежат как (В) так и (L), говорит о том, что расход и скорость газовой фазы двухфазного потока соответствуют живым сечениям (ω_г=0,42см²) или соответствуют тем параметрам, которые в формуле (1) и определяют (ω_г=0,42см²), т. е. имеют единственное метрическое решение.

К примеру, точки одного замера, как расхода, так и скорости жидкости на оси не будут соответствовать одной и той же величине, т. к. цифровая тарировка шкал не равнозначна. Чтобы не перепутать значения расхода со значениями скоростей, цифровые значения расходов проставлены выше осей, а цифровые значения скоростей ниже тех же осей.

Основоположник двухфазных потоков Г. Уоллис считает, что развитие любой инженерной науки возможно при выполнении следующего: «Второе требование к науке заключается в том, что она должна давать правильное описание явлений. Нам нужен язык и образы для того, чтобы обсуждать и выяснять причины происходящих событий. Эта качественная картина направляет анализ. Если она неверна, то и аналитические методы расчёта могут быть неправильными. Мы должны понимать, что мы можем измерить, какие параметры правильно определяют ситуацию, что мы намерены рассчитать и с помощью каких «режимов» можно разделить слишком сложную проблему на задачи, поддающиеся расчёту» [10].

Эпюрная номограмма как технологическое средство решения производственной задачи.

Процесс эксперимента – это органическая структура взаимодействия параметров, и это взаимодействие должно быть отражено на номограмме. Одной из целей данной работы является объёмно-графическая интерполяция экспериментальных данных, позволяющих решать на технологическом уровне практические задачи. Так, полученная технологическая карта рис. 3. работает как при стратифицированных, так и при псевдоламинарных двухфазных потоках.

Таким образом, технологическая карта рис. 5. позволяет контролировать технологический процесс. Работа оператора установки сводится к поддержанию выбранного режима в пределах параметров рабочей структуры двухфазного потока. Для этой цели упростим рис. 3. Уберём линии связи с горизонтальной плоскости и вставим в профильную плоскость рис. 4.

Последнее позиционное решение связанно с упрощением графического исполнения и удобством работы с технологической картой рис. 5.

При построении геометрических образов в начертательной геометрии, в некоторых случаях, масштабирование, безусловно, имеет значение при получении конечного результата натуральной величины.

Построение рис. 3. и рис. 5, не смотря на уменьшение фактического размера построенной модели, как номографической субстанции, не может являться ошибкой, при переносе и последующем совмещении рис. 1. и рис. 2, т.к. параметрические величины остаются постоянными, несмотря на масштабные изменения величин тех осей, которым они принадлежат.

Рис. 4 – Проекционное совмещение расхода и скорости газовой фазы сечения обеих фаз

На скоростной кривой из точки m проведём штриховую линию связи, которая пересечёт точки m, M_0, M. На аксонометрической проекции поверхности получим перпендикуляр, M₀M, концы которого показывают живые сечения обеих фаз.

Рис. 5 – Технологическая карта определения и поддержания стратифицированного и его аналога псевдоламинарного потоков

Используем профильную проекцию рис. 5, на которую совместим кривые живых сечений газовой фазы как скоростных, так и расходных характеристик. Заметим, что линии связи, исходящие из оси аппликат, пересекают скоростные и расходные кривые, показывая одинаковые значения живых сечений. Таким образом, гармоничность совмещения двух фаз свидетельствует о неразрывном процессе и связи параметров.

Это позволяет из (M) провести линию связи на профильную плоскость и получить проекцию точку (М¹¹) на скоростной газовой кривой, которая проекционно связана с расходной кривой проекции точки (). После перехода на расходные параметры, из точки () двигаясь в обратном направлении через точки (М₁, М₁₀, m₁), выходим на расходы как жидкой, так и газообразной фаз.

Применение двухмерного графического построения при двухфазном режиме нежелательно, т.к. при этом имеются уже два параметра – это газ и жидкость, а их температура, давление, скорость, расход и другие параметры? Любой третий параметр результирующией, и представлен  третью осью ω_вг.

 Создание номограмм подобного типа позволяет:

1. Работать с многопараметровыми процессами с большей эффективностью, чем аналитические уравнения.
2. В случае пространственно - графической интерполяции результирующая ось (ось аппликат) остаётся прежней, а расходные и скоростные характеристики проставляются в следующей последовательности. Числитель осей ординат и абсцисс представлен аргументальными параметрами, расхода жидкости и газа, а  знаменателю этих осей соответствуют их скорости.
3. Раздельные решения не имели бы взаимную зависимость в определении живых сечений обеих фаз и не гарантировали бы безопасность изменения структур потока, а совмещение позволяет варьированию параметров двухфазного потока при технологических процессах.

Список литературы / References

1. Гордон В.О., Семенцов – Огиевский М.А. Курс начертат6ельной геометрии. М., 1988,2002. С. 272.
2. Климухин А.Г. Начертательная геометрия. [Текст] / А.Г Климухин. М.. - 1973. - С. 368.
3. Левкин, Ю.С. Метод пространственно-графической интерполяции экспериментальных исследований двухфазных потоков. [Текст] / Ю.С. Левкин // Ашировские чтения: тр. VΙΙ Международная Научно-практическая конференция. Т. ΙΙ. – Туапсе, 2010. – С. 255 - 262.
4. Левкин Ю.С. Получение четырёхмерных номограмм на базе теоремы подобия./ [Текст] // Ю.С. Левкин Геометрия и графика – 2017 – С -  69 – 74.DOI; 10.12737/article_5953f33427942.789301109.
5. 5. Левкин, Ю.С Определение изменений живых сечений фаз двухфазных потоков при варьировании расхода газовой фазы. [Текст] // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени С.П. Королёва - 2010. – №4. – С. 88 - 91.
6. Левкин Ю.С. «Влияние вибрационных колебаний на характеристики структуры двухфазного потока». //Изв. Вузов. Сев.-Кавк. регион. Технические науки. - Новочеркасск – 2016 - № 2. – С. 112 - 119.
7. Левкин Ю.С.. «Зависимость изменения скорости дисперсной и плёночно-дисперсной от вибрационных ускорений высокочастотных колебаний». //Изв. Вузов. Сев.-Кавк. регион. Технические науки. - № 3. - Новочеркасск. – 2016. – С. 77 – 82.
8. Лысенко А.В. Построение номограмм по фундаментальной и прикладной химии. [Текст] / Юго-Западный Государственный университет Курск – 2016. – С.18.
9. Зуева Н.М. Номограммы МБОУ– 2013. – С.15 .
10. Хрипунов Н.В., Панюков . Компьютерные технологии в науке и производстве. [Текст] / – ТГУ, Тольятти - 2013. - С.110 – 113.
11. Хрипунов Н.В, Асанова О.Я, Панюкова Е.В, Применение EXCEL для обработки результатов инженерного эксперимента / Проведение научных исследований в области машиностроения. Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции с элементами научной школы для молодежи. Тольятти, ТГУ 2009 в 3 чч,- С.111-116, Ч 2.
12. Уоллис, Г. Неравновесные двухфазные течения -[Текст] / Г. Уоллис // Теоретические основы инженерных расчётов. – М: Мир. Сер. D.– №3. – 1974. – С. 67.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Gordon V.O., Sementsov – Ogievskii M.A. Kurs nachertatelnoi geometrii [Course of Descriptive Geometry]. M., 1988, 2002. P. 272.
2. Klimukhin A.G. Nachertatelnaya geometriya. [Descriptive Geometry] [Text] / A.G. Klimukhin. M. -1973. - P. 368.
3. Levkin Yu.S. Metod prostranstvenno-graficheskoi interpoliatsii eksperimentalnykh issledovanii dvukhfaznykh potokov. [Method of Spatial and Graphical Interpolation of Experimental Studies of Two-Phase Flows] [Text] / Yu.S. Levkin // Ashirov Readings: VΙΙ International Scientific and Practical Conference. T. ΙΙ. - Tuapse, 2010. - P. 255-262.
4. Levkin Yu.S. Poluchenie chetyriokhmernykh nomogramm na baze teoremy podobiya. [Obtaining Four-Dimensional Nomographs on the Basis of the Superimposing Theorem] / [Text] // Yu.S. Levkin. Geometry and Graphics – 2017 – P. - 69 – 74.DOI; 10.12737/article_5953f33427942.789301109.
5. 5. Levkin Yu.S. Opredelenie izmenenii zhivykh sechenii faz dvukhfaznykh potokov pri varirovanii raskhoda gazovoi fazy. [Determination of Changes in the Live Cross-Sections of Phases of Two-Phase Flows with Varied Gas Phase] [Text] // Bulletin of the Samara State Aerospace University named after S.P. Korolev - 2010. – No.4. – P. 88-91.
6. Levkin Yu.S. “Vlijanie vibratsionnykh kolebanii na kharakteristiki struktury dvukhfaznogo potoka.” [Influence of Vibration Oscillations on the Characteristics of the Two-Phase Flow Structure”] // Bulletin of Universities in North-Caucasus region. Technical Science. - Novocherkassk - 2016 - No. 2. – P. 112-119.
7. Levkin Yu.S. “Zavisimost izmeneniya skorosti dispersnoi i plionochno-dispersnoi ot vibratsionnykh uskorenii vysokochastotnykh kolebanii.” [“Dependence of the Change in the Speed of Dispersed and Film-Dispersed on Vibrational Accelerations of High-Frequency Oscillations”] // Bulletin of Universities of North-Caucasus region. Technical Science. - No. 3. - Novocherkassk. - 2016. - P. 77 - 82.
8. Lysenko A.V. Postroenie nomogramm po fundamentalnoi i prikladnoi khimii. [Construction of Nomograms on Fundamental and Applied Chemistry] [Text] / Southwestern State University of Kursk - 2016. - P.18.
9. Zueva N.M. Nomogrammy MBOU [Nomograms of the MBGEI] – 2013. – P.15.
10. Khripunov N.V., Panyukova E.V.. Kompiuternye tekhnologii v nauke i proizvodstve. [Computer Technologies in Science and Production] [Text] – ТSU, Togliatti - 2013. - P.110 – 113.
11. Khripunov N.V., Asanova O.Ya., Panyukova E.V., Primenenie EXCEL dlia obrabotki rezultatov inzhenernogo eksperimenta [Application of EXCEL to Processing the Results of an Engineering Experiment] / Carrying out Scientific Researches in the Field of Mechanical Engineering. Collection of Materials of the All-Russian Scientific and Technical Conference with the Elements of Scientific School for Youth. Togliatti, TSU 2009 in 3 parts, - P.111-116, P 2.
12. Wallis G. Neravnovesnye dvukhfaznye techeniya [Nonequilibrium Two-Phase Flows] - [Text] / G. Wallis // Theoretical Bases of Engineering Calculations. - M: Mir. Ser. D.- No.3. - 1974. - P. 67.