МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ (НА ПРИМЕРЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ»)

Абрамченко Н.В.¹, Мещеряков Е.А.², Мещерякова Н.А.³, Ультан А.Е.⁴

¹Кандидат педагогических наук, ²кандидат физико-математических наук,

³ORCID: 0000-0002-6717-2363, кандидат педагогических наук, ⁴кандидат технических наук,

Финансовый университет при Правительстве РФ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ (НА ПРИМЕРЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ»)

Аннотация

В статье обсуждается проблема построения математических и компьютерных моделей для исследования экономических процессов. Использованы методы анализа предельных величин средствами технологии приближенного вычисления пределов и производных функций в Excel. Реализованы компьютерные модели задач с организацией данных в виде таблиц и проведением полного исследования функций, демонстрирующих реальные экономические процессы. Подчеркивается важность интеграции математических дисциплин и информационных технологий.

Ключевые слова: математическое моделирование, компьютерное моделирование, экономические процессы, информационные технологии, дифференциальное исчисление функций, интеграция дисциплин.

Abramchenko N.V.¹, Meshcheryakov E.A.², Meshcheryakova N.A.³, Ultan A.E.⁴

¹PhD in Pedagogy, ²PhD in Physics and Mathematics,

³ORCID: 0000-0002-6717-2363, PhD in Pedagogy, ⁴PhD in Engineering,

Financial University under the Government of the Russian Federation

MATHEMATICAL AND INSTRUMENTAL METHODS OF ECONOMIC PROCESS ANALYSIS (ON EXAMPLE OF "COMPUTER PRACTICUM" DISCIPLINE)

Abstract

The paper presents the problem of constructing mathematical and computer models for the study of economic processes. The methods for analyzing limit values with the use of methods of approximate calculation of limits and derived functions in Excel are used. The computer models of problems with the organization of data in the form of tables and carrying out of the full research of the functions demonstrating real economic processes are implemented. The importance of integration of mathematical disciplines and information technologies is underlined.

Keywords: mathematical modeling, computer modeling, economic processes, information technologies, differential calculus of functions, integration of disciplines.

Введение

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации является одним из ведущих российских вузов, которым предоставлено право самостоятельно разрабатывать и реализовывать собственные образовательные стандарты. Согласно перечню компетенций, составляющих содержание Образовательного стандарта по направлению «Экономика», одной из профессиональных компетенций направления подготовки, которой должны обладать выпускники университета, являются компетенции ПКН-3 – способность применять математические методы для решения стандартных профессиональных финансово-экономических задач, интерпретировать полученные математические результаты, ИК-2 – способность работать на компьютере с использованием профессионального прикладного программного обеспечения современного общего и ИК-5 – способность применять методики расчетов и основные методы исследований [3]. Для овладения данной компетенцией необходимо сформировать у студентов знания о вычислительных методах реализации математических моделей, используемых в экономике, средствах визуализации математических результатов исследований. С другой стороны, поскольку автоматизация профессиональной деятельности, напрямую или косвенно связанной с переработкой информации и управлением ею является неотъемлемой составляющей экономической деятельности, следовательно, необходимо создание прикладной основы использования математического аппарата средствами компьютерных технологий. Другими словами, требуется развитие у студентов практических навыков использования компьютерных технологий в вычислительных задачах экономики.

Для решения поставленных задач в Образовательную программу подготовки бакалавров направления «Экономика» введена дисциплина «Компьютерный практикум», изучение которой нацелено на формирование у студентов практических навыков по реализации математических методов и моделей в профессиональных задачах с помощью компьютерных вычислений. При использовании для решения задач количественных методов анализа может быть применен программный продукт MS Excel, располагающий большим количеством расчетных и аналитических инструментов.

Рассмотрим интеграцию математических дисциплин и информационных технологий на примере темы «Полное численное исследование функции». Интеграционный процесс обусловлен внешними и внутренними факторами. При этом в качестве внешних факторов выступают требования реализуемого образовательного стандарта, конкретизированные в содержании формируемых компетенций. Внутренними системообразующими факторами интеграции являются межпредметные связи учебных дисциплин «Математика» и «Компьютерный практикум», примером такой связи может служить компьютерное моделирование экономико-математических задач.

В научных исследованиях выявлено, что для повышения мотивации к изучению математики процесс освоения математического и инструментального анализа и моделирования должен происходить на основе исследования профессиональных проблем в экономике [1, С. 5-6]. «Повышение профессиональной мобильной направленности обучения облегчает задачу послевузовской адаптации бакалавров» [11, С. 71]. В статье [2] отмечается, что исследовать предпочтительно экономические системы, в том числе производственно-хозяйственную деятельность предприятий, что будет способствовать формированию вышеперечисленных компетенций. На первом этапе исследования выполняется перевод практической ситуации на математический язык, на втором – решение задачи математическими средствами, используя, например, дифференциальное исчисление.

Получение функциональной зависимости для того или иного экономического процесса является сложным процессом и осуществляется на основе многократных измерений, наблюдений, сбора статистических данных. Составление математической модели такого явления должно осуществляться на профилирующих кафедрах. На математических и компьютерных дисциплинах используются готовые функциональные зависимости для дальнейшего их анализа и интерпретации полученного решения с точки зрения отрасли, в которой была сформулирована задача.

Исследование функции проводят для того, чтобы описать при помощи текста, а затем и графически поведение функции для всех возможных значений аргумента. Численное исследование функции необходимо при решении многих экономических задач на нахождение предельных экономических показателей, анализ прироста производства и пр. Алгоритмы исследования функции, предложенные многими авторами [3], [4], содержат типовые шаги, незначительно отличающиеся друг от друга. Мы будем придерживаться следующего алгоритма исследования.

Алгоритм исследования функции

1. Находится область определения. Выделить особые точки (точки разрыва – те точки, в которых знаменатель обращается в 0).
2. Проверяется наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
3. Находятся точки пересечения с осями координат.
4. Устанавливается, является ли функция чётной или нечётной.
5. Для тригонометрических функций определяется, является ли функция периодической.
6. Находятся точки экстремума и интервалы монотонности.
7. Находятся точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
8. Находятся горизонтальные или наклонные асимптоты.

С математической точки зрения каждый шаг исследования имеет строгие подходы и правила и рассматривается в рамках математических дисциплин «Высшая математика» и «Математика и анализ данных». Дисциплина «Компьютерный практикум» имеет целью формирование навыков применения вычислительных методов реализации математических моделей, используемых в экономике. Приведем примеры полного исследования функций и интерпретацию полученных результатов с использованием информационных технологий путем последовательного сочетания математического и компьютерного моделирования, что поспособствует развитию четкости математического мышления.

Закон убывающей эффективности производства

Этот закон утверждает, «что при увеличении одного из основных факторов производства, например, капитальных затрат х, прирост производства начиная с некоторого значения х₀ является убывающей функцией. Иными словами, объем произведенной продукции U как функция от х описывается графиком со сменой выпуклости вниз на выпуклость вверх» [6, с.54].

Пример 1. Установленная экспериментально зависимость объема выпуска продукции от капитальных затрат х для некоторого производства определяется функцией . Требуется определить интервал значений х, на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.

Решение. Исследуем функцию согласно приведенному алгоритму.

1. Область определения функции. Аргументом функции ln может быть только положительное число Þ 1+х³ > 0 Þ х³ > -1 Þ х > -1. Следовательно, учитывая положительность капитальных затрат, D(f) = (0;+∞).
2. Найдем предел функции в граничной точке области определения справа. Предел конечен (см. рис.1), можно сделать вывод об отсутствии вертикальной асимптоты в исследуемой области.
3. Определим точки пересечения графика функции с осями координат. Установим х = 0, при этом V(x) = 0, т.е. в точке (0;0) график пересекает и ось 0у, и ось 0х. Для нахождения точек пересечения графика с осью 0х можно воспользоваться анализом «что-если?» и вычислить корни уравнения, или, если это несложно, провести поиск корней уравнения аналитически или из таблицы, построенной для окрестности найденной критической точки с некоторым шагом (см. рис. 1, столбцы D, E, ячейка Е2).
4. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

.

5. Функция не является тригонометрической, поэтому не является периодической.
6. Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Найдем первую производную функции как отношение приращения функции к малому приращению аргумента D для всех значений х (см. рис.1). Производная равна 0 в точке х = 0, однако, производная положительна на всей области определения (включая точки -0,2 и -0,1), поэтому экстремумов нет, и функция монотонно возрастает.

Рис. 1 – График функции

7. Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости – вогнутости. Если критическая точка не является точкой экстремума, тогда она является точкой перегиба. Критическая точка х = 0 не является точкой экстремума т.к., анализируя данные таблицы, производная не меняет знак, следовательно, она является точкой перегиба. На промежутке (0; ~1,3) производная убывает, следовательно, функция на этом промежутке вогнута, на промежутке (~1,3; +∞) производная возрастает, значит, функция выпукла. Осталось более точно определить точку перегиба функции. Вставим пустые ячейки в таблицу между значениями 1,2 и 1,3 и с использованием надстройки «Поиск решения» найдем более точное значение точки перегиба. Для этого определим максимальное значение ячейки Н27, содержащей производную. Изменяемой ячейкой назначим ячейку D20, содержащую значение х. Найденное значение х = 1,2600408 и есть точка перегиба, в которой функция меняет вогнутость на выпуклость. Таким образом, в соответствии с законом убывающей эффективности производства, при х> 1,2600408 эффективность увеличения капитальных затрат падает.
8. Можно добавить, что при х → ∞ функцию  можно заменить на элементарную функцию , которая имеет одинаковую асимптотику с исследуемой функцией.

Пример 2. Пусть зависимость объема произведенной продукции U от капитальных затрат х имеет вид: U(x) = U₀(1+e^-bx+c)^-1, где b и с — известные положительные числа (они определяются, прежде всего, структурой организации производства), а U₀ – предельно возможный объем выпускаемой продукции. Необходимо найти значение х₀, при котором начнет снижаться прирост производства.

Решение. Пусть для нашего частного случая b=3, c=5, U₀ = 350.

Аналитическое решение задачи в общем виде выглядит следующим образом. Прирост производства определяется первой производной функции U(x):

 .

Скорость изменения прироста определяет ее вторая производная:

_.

Критическая точка находится из условия: U’’=0 Þ e^-bx+c – 1 Þ e^-bx+c = 1 Þ -bx + c = 0 Þ x = c/b, т.е. х₀ = с/b, для частного случая при заданных исходных данных х₀ = 5/3.

Построим таблицу значений аргумента и функции. Аргумент х положителен, это капитальные затраты, установим его в интервале от 0 до 3 с шагом 0,1 (определяем опытным путем, проанализировав несколько различных вариантов) и отобразим эту зависимость на точечной диаграмме (см. рис. 2).

Программное вычисление производной и нахождение такого значения х, при котором производная равна 0, приведено на рис. 2. Производная равна 0 в точке х₀ = 1,66667. Это критическая точка, которая является либо точкой экстремума, либо точкой перегиба. Полученное значение критической точки х₀ = 1,66667 (=5/3) совпадает с аналитическим.

Критическая точка находится из условия U’’(x)= 0, однако мы не имеем возможности вычислить вторую производную, т.к. аналитически не определяем уравнение первой производной. Мы пойдем другим путем. Получим значения производной на выбранном интервале для ее анализа (см. рис. 2). Производная не меняет знак в окрестности точки х₀, значит это точка перегиба.

Добавим на графике функции точку перегиба х₀ и перпендикуляр к оси 0х. В точке перегиба вогнутость графика производственной функции меняется на выпуклость. До точки перегиба увеличение капитальных затрат х приводит к интенсивному росту объема продукции U: темп прироста объема продукции возрастает. При х > 1,66667 темп прироста объема выпускаемой продукции снижается, и эффективность увеличения капитальных затрат падает.

Предел функции при х → ∞ равен 350 (рис. 2), таким образом, у = U₀ является горизонтальной асимптотой. Добавим ее на график.

Закон убывающей доходности определяет взаимосвязи между затратами на производство и объемом выпуска продукции. Основной задачей при этом является нахождение критического объема затрат, при превышении которого темпы роста производства будут снижаться. Зная такие данные можно менять структуру организации производства, эти изменения отразятся в изменении параметров b, c, U₀.

Закон убывающей доходности определяет взаимосвязи между затратами в производстве и выпуском продукции. Основным моментом является нахождение критического объема затрат, при превышении которого темпы роста производства будут снижаться.

Рис. 2 – Табличные значения производной на отрезке

Имея такие данные можно менять структуру организации производства, которое отразится в изменении параметров b и c.

Выводы. Формирование у студентов навыков построения математических и компьютерных моделей для исследования экономических процессов обеспечивает развитие приемов формализации и интерпретации как основных составляющих процесса моделирования, что, в свою очередь способствует учебной и профессиональной мотивации.

Высокий уровень сформированности профессиональных компетенций обеспечивается осознанным изучением разделов фундаментальной и прикладной математики, грамотным использованием средств и методов математики, информационных технологий для изучения дисциплин общепрофессионального и профессионального циклов. Таким образом, можно утверждать, что базой для качественной подготовки экономистов является интеграция фундаментальной и прикладной математической подготовки и развития навыков использования инструментальных методов анализа [2].

Список литературы / References

1. Бурмистрова, Н.А. Сборник прикладных математических задач для студентов экономических вузов: учебное пособие / Н.А. Бурмистрова. – Омск: Издат. дом «Наука», 2011. – 140 с.
2. Ваньков, Б.П. О математических методах в экономике // Вестник Тульского филиала Финуниверситета. No 1. С. 265-266.
3. Зададаев, С.А. «Компьютерный практикум». Рабочая программа дисциплины для студентов, обучающихся по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика», все профили очной формы обучения. – М.: Финансовый университет, Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, 2017 – 33 с.
4. Исследование функции и построение графика [Электронный ресурс] – URL: https://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=maissl (дата обращения:11.12.2017).
5. Каракулев, Ю.А., Иванов А.Н. Руководство к решению задач с применением электронных таблиц EXCEL: Учебное пособие. – СПб. СПбГУ ИТМО, 2010. – 48 с.
6. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – 2-е изд., испр. – М.: Дело, 2001. – 688 с.
7. Мельников, П.П. Компьютерные технологии в экономической науке и практике./ Практикум: Учебное пособие для студентов магистратуры, обучающихся по направлению 080100.68 Экономика. – М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, 2007. – 177с.
8. Мещеряков, Е.А. Реализация интегративных связей математики и информатики в профессиональной подготовке управленческих кадров / Е.А. Мещеряков, Н.А. Мещерякова // Сибирский педагогический журнал №2 – 2015. – с. 128 – 133.
9. СтаровойтовМ.А., Ивахненко Н.Н. Применение производной в экономических расчетах [Электронный ресурс] – URL: http://www.rusnauka.com1_NIO_2011/Economics/77694.doc.htm (дата обращения: 03.12.2017).
10. Шангина Е.И. Междисциплинарная интеграция как средство формирования содержания геометро-графического образования в техническом университете // Сибирский педагогический журнал №1 – 2010. – с. 66 – 72.
11. Шангина Е.И. Интеграция дисциплин в техническом вузе // Развитие инструментов управления научной деятельностью. Сборник статей международной научно-практической конференции: в 4 ч.. 2017. Издательство: ООО «ОМЕГА САЙНС» (Уфа)
12. Уокенбах Дж. Подробное руководство по созданию формул в Excel 2003 / Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 640 с.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Burmistrova, N.A. Sbornik prikladnyh matematicheskih zadach dlya studentov ehkonomicheskih vuzov: uchebnoe posobie [The collection of applied mathematical tasks for students of economic higher education institutions: manual] / N.A. Burmistrova. – Omsk: Izdat. dom «Nauka», 2011. – 140 p. [in Russian]
2. Van'kov, B. P. O matematicheskih metodah v ehkonomike [Mathematical methods in economy] // Vestnik Tul'skogo filiala Finuniversiteta [Bulletin of the Tula branch of the Financial university]. – 2014. – № 1. – P. 265-266. [in Russian]
3. Zadadayev, S.A. «Komp'yuternyj praktikum». Rabochaya programma discipliny dlya studentov, obuchayushchihsya po napravleniyu podgotovki 38.03.01 «EHkonomika», vse profili ochnoj formy obucheniya. ["A computer practical work". The working program of discipline for the students studying in the direction of preparation 38.03.01 "Economies", all profiles of full-time courses]. – M.: Finansovyj universitet, Departament analiza dannyh, prinyatiya reshenij i finansovyh tekhnologi. – 2017 – 33 p. [in Russian]
4. Issledovanie funkcii i postroenie grafika [A research of function and creation of the schedule] – URL:https://www.matburo.ru/ex_ma.php? p1=maissl (accessed:11.12.2017). [in Russian]
5. Karakulev, Yu.A., Ivanov A.N. Rukovodstvo k resheniyu zadach s primeneniem ehlektronnyh tablic EXCEL: Uchebnoe posobie [The management to the solution of tasks with application of the spreadsheets EXCEL: Manual]. – SPb. SPbGU ITMO – 2010. – 48 p. [in Russian]
6. Krass M.S., CHuprynov B.P. Osnovy matematiki i ee prilozheniya v ehkonomicheskom obrazovanii: Ucheb [Fundamentals of mathematics and her application in economic education: Studies]. – 2nd edition., ispr. – M.: Business, 2001. – 688 p. [in Russian]
7. Mel'nikov, P.P. Komp'yuternye tekhnologii v ehkonomicheskoj nauke i praktike./ Praktikum: Uchebnoe posobie dlya studentov magistratury, obuchayushchihsya po napravleniyu 080100.68 EHkonomika [Computer technologies in economic science and practice. / Practical work: The manual for students of a magistracy, students in the Economy direction 080100.68]. – M.: Finansovaya akademiya pri Pravitel'stve RF, 2007. – 177 p. [in Russian]
8. Meshcheryakov, E.A. Realizaciya integrativnyh svyazej matematiki i informatiki v professional'noj podgotovke upravlencheskih kadrov [Realization of integrative communications of mathematics and informatics in vocational training of administrative shots] / E.A. Meshcheryakov, N.A. Meshcheryakovа // Sibirskij pedagogicheskij zhurnal №. 2 – 2015. – p. 128 – 133. [in Russian]
9. Starovojtov M.A., Ivahnenko N.N. Primenenie proizvodnoj v ehkonomicheskih raschetah [Application of a derivative in economic calculations] – URL: http://www.rusnauka.com1_NIO_2011/Economics/77694.doc.htm (accessed: 03.12.2017). [in Russian]
10. Shangina E.I. Mezhdisciplinarnaya integraciya kak sredstvo formirovaniya soderzhaniya geometro-graficheskogo obrazovaniya v tekhnicheskom universitete [Interdisciplinary integration as a means of forming the content of geometric and graphic education in technical University] // Sibirskij pedagogicheskij zhurnal [Siberian pedagogical journal] №1 – 2010. – s. 66 – 72. [in Russian]
11. Shangina E.I. Integraciya disciplin v tekhnicheskom vuze [Integration of disciplines in a technical University] // Razvitie instrumentov upravleniya nauchnoj deyatel'nost'yu. Sbornik statej mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii: v 4 ch.. 2017. Izdatel'stvo: OOO «OMEGA SAJNS» (Ufa) [in Russian]
12. Uokenbakh J. Podrobnoe rukovodstvo po sozdaniyu formul v Excel 2003 / Per. s angl. [The detailed guide to creation of formulas in the Excel 2003 / Lane with English] – M.: Izdatel'skij dom «Vil'yams», 2005. – 640 p. [in Russian]