Применение метода Ритца для расчета напряженно-деформированного состояния балок из материала с эффектом памяти формы

В настоящее время сплавы с эффектом памяти формы (ЭПФ) находят все большее применение в различных областях человеческой деятельности. Широкое применение они нашли в медицине, авиации, машиностроении, строительстве и др. 

Сплавы с ЭПФ обладают уникальными свойствами, которые отсутствуют у большинства традиционных материалов, применяемых в промышленности. Однако, нетрадиционное поведение этих материалов требует новых моделей материала, при которых возможно применение традиционных методов механики деформированного твердого тела. Разработка теории и методов расчета инженерных конструкций, выполненных из материалов с ЭПФ, является актуальной задачей современных технологий.

В настоящей работе используются определяющие соотношения деформационного типа, выведенные на основе общих уравнений структурно-аналитической мезомеханики

Для определенности рассматривается балка один конец которой шарнирно оперт, другой – жестко защемлен. Рассмотрены все три наиболее часто встречающихся вида нагружения: распределенная нагрузка, сосредоточенная сила, сосредоточенный изгибающий момент. Балка работает в условиях простого нагружения (рис. 1).

Рисунок 1 - Расчетная схема балки

DOI:10.60797/IRJ.2025.151.17.1

До начала нагружения материал пластины находится полностью в аустенитном состоянии (рис. 2), т.е. пластина нагрета до температуры выше температуры конца обратного мартенситного превращения (выше AK). Далее, в изотермических условиях, пластина нагружается нагрузкой, вызывающей прямое мартенситное превращение. Задача решается в физически нелинейной постановке при использовании определяющих соотношений деформационного типа с применением гипотезы о несжимаемости материала.

Рисунок 2 - Фазовые диаграммы для материалов с мартенситными превращениями:

МН, МK , AН, AK – характеристические температуры начала и конца превращения; Ф – объемная доля мартенсита

DOI:10.60797/IRJ.2025.151.17.2

Определяющие соотношения для материла с ЭПФ на этапе нагружения с учетом уравнений структурно-аналитической мезомеханики

[3]

,

[5]

представляются следующим образом:

(1)

где σi – интенсивность напряжений; Е – модуль упругости; BФ – константа материала; ; T0 – температура термодинамического равновесия; q0 – тепловой эффект реакции; Di – дисторсия фазового превращения;  – напряжение начала прямого мартенситного превращения; TD – температура начала деформирования; MH, MK – температуры начала и конца прямого мартенситного превращения соответственно;  – напряжение конца мартенситного превращения, ; H(...) – функция Хевисайда.

Допущения, принятые при решении задачи:

1) модуль упругости материала в аустенитной и мартенситной фазах принимается одинаковым;

2) материал в условиях изотермического нагружения испытывает упругие и неупругие (фазовые) деформации;

3) для аппроксимации диаграммы деформирования принимается кубическая парабола.

По формулам модели структурно-аналитической мезомеханики

(2)

В случае аппроксимации диаграммы материала кубической параболой (см.рис.3) определяющие соотношения примут вид

, , .

здесь σi – интенсивность напряжений, εi – интенсивность деформаций, EC, EK – секущий и касательный модули, соответственно, m – параметр материала.

Рисунок 3 - Аппроксимация диаграммы деформирования материала TiNi кубической параболой

DOI:10.60797/IRJ.2025.151.17.3

Потенциальная энергия упругой деформации для выбранной аппроксимации диаграммы материала (рис. 1) запишется следующим образом

[10]

:

(3)

здесь EJy – изгибная жесткость балки, W(x)– прогиб, m – константа материала, xP, xM –координаты приложения сосредоточенной силы и момента соответственно; Jy=b⋅h3/12, Jn=b⋅h5/80; l – длина балки; b=l/7 м и h=2b – размеры поперечного сечения.

Параметры сплава TiNi, обладающего эффектом памяти формы представлены в таблице1.

Согласно методу Ритца прогиб балки в первом приближении представим в виде:

(4)

где φ(x) – аппроксимирующая функция, K – неопределенный коэффициент, представляющий собой амплитуду прогиба балки. Для построения функции φ(x) используем метод начальных параметров, что позволит учесть не только геометрические, но и силовые граничные условия. Начало координат выбираем на левом конце балки, ось х направим вправо, ось z – вниз. Согласно универсальному уравнению метода начальных параметров для балки с постоянной жесткостью, выражение для прогиба будет иметь вид:

(5)

здесь w0, φ0, M0, Q0 – начальные параметры, т.е. прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечная сила в начале координат, aM=0,7 м, aP=0,5 м – координаты точки приложения момента M и силы P, соответственно.

В соответствии с рисунком 1 балка состоит из трех участков. На каждом из участков выражения для линии прогибов имеют вид:

(6)

Начальные параметры определяются исходя из граничных условий. На левой опоре имеем шарнирное закрепление w0=M0=0, на правой при x=l=0,8 м – жесткая заделка w3(l)=φ3(l)=0. Для определения φ3(l) требуется продифференцировать выражение для прогибов на третьем участке w3(x) и в полученное выражение подставить x=l. В результате для определения начальных параметров получаем следующую систему уравнений:

(7)

Решая эту систему уравнений при численных значениях коэффициентов получим: φ0=3,98/EJy, Q0=-90,4H. Найденные значения начальных параметров позволяют записать функции прогибов на каждом участке. Умножая выражения w1(x), w2(x), w3(x) на величину 24EJy/q получим окончательное выражение для аппроксимирующей функции прогиба:

(8)

Подставляя в (3) W(x)=Kφ(x), где φ(x) – функция, построенная методом начальных параметров (8), получим зависимость полной потенциальной энергии от параметра K:

(9)

где коэффициенты при параметре K определяются по формулам:

(10)

Интервал интегрирования в (9) следует разбить на три участка:

(11)

и в пределах каждого участка брать интегралы от производных соответствующих функций.

Минимизация полной потенциальной энергии балки по параметру K, приводит к нелинейному алгебраическому уравнению третьей степени относительно амплитуды прогиба K:

(12)

Решая полученное уравнение в системе Mathcad, получим K=0,0293.

В заключение можно отметить, что метод Ритца в сочетании с методом начальных параметров эффективен для расчетов балочных конструкций, выполненных из материалов с ЭПФ.