Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

Скачать PDF ( ) Страницы: 16-19 Выпуск: №3 (22) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Перегудин С. И. ВОЗДЕЙСТВИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН НА ОРИЕНТИРОВАННУЮ В ШИРОТНОМ НАПРАВЛЕНИИ СТЕНКУ / С. И. Перегудин, С. Е. Холодова // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — №3 (22) Часть 1. — С. 16—19. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/vozdejstvie-nelinejnyx-planetarnyx-voln-na-orientirovannuyu-v-shirotnom-napravlenii-stenku/ (дата обращения: 07.12.2019. ).
Перегудин С. И. ВОЗДЕЙСТВИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН НА ОРИЕНТИРОВАННУЮ В ШИРОТНОМ НАПРАВЛЕНИИ СТЕНКУ / С. И. Перегудин, С. Е. Холодова // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — №3 (22) Часть 1. — С. 16—19.

Импортировать


ВОЗДЕЙСТВИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН НА ОРИЕНТИРОВАННУЮ В ШИРОТНОМ НАПРАВЛЕНИИ СТЕНКУ

Перегудин С.И.1, Холодова С.Е.2

1Профессор, Санкт-Петербургский государственный университет; 2Доцент, Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

ВОЗДЕЙСТВИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН НА ОРИЕНТИРОВАННУЮ В ШИРОТНОМ НАПРАВЛЕНИИ СТЕНКУ

Аннотация

В статье построена и математически реализована модель распространения нелинейных планетарных волн, а также их взаимодействие на ориентированную в широтном направлении стенку. Полученные решения позволяют произвести качественный анализ исследуемого динамического процесса, а также его численную реализацию.

Ключевые слова: гидродинамика, нелинейные волны.

Peregudin S.I.1, Kholodova S.E.2

1Professor, Saint Petersburg State University; 2Associate Professor, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics

INFLUENCE OF NONLINEAR PLANETARY WAVES ON FOCUSED IN THE STENK WIDTH DIRECTION 

Abstract

The article consideres model of distribution of nonlinear planetary waves, and also their interaction on the wall focused in the width direction is mathematically realized. The received decisions allow to get  the qualitative analysis of studied dynamic process, and also its numerical realization.

Keywords: hydrodynamics, nonlinear waves.

Рассмотрим нелинейные течения и волны в тонком вращающемся с угловой скоростью ω слое идеальной несжимаемой жидкости между концентрическими полусферами.

Изучение нелинейных течений жидкости во вращающихся сферических слоях необходимо для понимания многих динамических процессов глобального масштаба в океане. В этом случае форма движения существенно зависит от двух важных факторов: сферической геометрии объема и вращения. Применение и необходимость такого рода исследований для проблем геофизики не вызывает сомнений [1].

Предполагая, что давление распределено по гидростатическому закону, основные уравнения движения теория мелкой воды [2] в сферической системе координат, связанной с вращающейся Землей, могут быть сведены к одному нелинейному уравнению с частными производными в терминах функции тока 01-11-2019 11-05-38 вида

01-11-2019 11-05-50    (1)

где r— радиус Земли, h — глубина жидкости, Δ — оператор Лапласа в сферической системе координат:

01-11-2019 11-07-32

Горизонтальные компоненты скорости 01-11-2019 11-07-40 связаны с функцией тока ψ соотношениями:

01-11-2019 11-08-07   (2)

Вертикальная проекция вихря скорости движения ξ  с учетом соотношения (2) записывается в виде 01-11-2019 11-14-57

Для слоя жидкости, находящегося между двумя концентрическими полусферами, функция глубины 01-11-2019 11-15-08 является константой и уравнение (1) запишется как

01-11-2019 11-17-40    (3)

Решение этого уравнения будем искать в виде

01-11-2019 11-18-14    (4)

где 01-11-2019 11-27-05  — сферическая функция порядка n; a — некоторая константа, определяющая угловую скорость зонального потока; 01-11-2019 11-27-13 — частота волны.

Подставив выражение (4) в уравнение (3), получим соотношение для частоты волны 01-11-2019 11-27-13:

01-11-2019 11-27-25            (5)

Таким образом, волна (4) представляет собой точное решение нелинейного уравнения (3) при выполнении соотношения для частоты волны (5).

Частота волны 01-11-2019 11-27-13 характеризует вращение волны относительно земной поверхности. Для перехода к линейной скорости 01-11-2019 11-27-37 движения волны на произвольной широте 01-11-2019 11-28-19 необходимо угловую скорость 01-11-2019 11-27-13 умножить на радиус 01-11-2019 11-27-51 круга широты

01-11-2019 11-32-34            (6)

где 01-11-2019 11-33-34  — зональная скорость течения жидкости на широте 01-11-2019 11-28-19. Согласно формуле (6), волны, соответствующие малым значениям меридионального волнового числа n, а следовательно, и зонального числа m, поскольку суммирование распространяется на 01-11-2019 11-33-51 распространяются с востока на запад. Для таких волн скорость 01-11-2019 11-33-59. Волны, соответствующие большим значениям m и n, распространяются с запада на восток. В этом случае 01-11-2019 11-34-07. Решение (4) представляет собой волны, наложенные на западно-восточное течение, угловая скорость которого есть a. Аналогичное по виду решение содержится в работах Е.Н. Блиновой в задаче о волнах в атмосфере [3].

В решении (4) в связи с учетом граничного условия 01-11-2019 12-02-36  полагается 01-11-2019 12-02-45. Стационарное решение уравнения (3) определяется соотношением 01-11-2019 12-02-55. Это же соотношение может быть получено и другим способом, аналогичным тому, который использовал Йи Чиа-Шун [4].

В этом случае уравнения теории мелкой воды сводятся к уравнению

01-11-2019 12-06-44        (7)

где 01-11-2019 12-06-55 — функция Бернулли, зависящая только от ψ.

Изучение волновых движений, представляющих возмущения, распространяющиеся параллельно поверхности океана, позволяет ограничиться изучением двумерных движений жидкости, зависящих лишь от времени и угловых координат точки на поверхности сферической Земли. Обычно [2] для упрощения анализа принято рассматривать такие (планетарные) движения в ограниченной области поверхности сферы — в некоторой β‑ плоскости, в которой сфера локально заменяется плоскостью, но при этом учитывается изменение параметра Кориолиса в северном направлении.

Рассмотрим плоскопараллельное движение вращающейся несжимаемой жидкости, происходящее в  β‑ плоскости, на которой введена система декартовых координат 01-11-2019 12-11-02, так что ось 01-11-2019 12-11-09 направлена на восток, а 01-11-2019 12-11-16 — на север. Эти движения описываются следующей системой уравнений:

01-11-2019 12-22-09    (8)

01-11-2019 12-22-19       (9)

где 01-11-2019 12-24-16 — вектор скорости частиц жидкости, 01-11-2019 12-24-26 — параметр Кориолиса, зависящий от y, то есть, от широты места β‑ плоскости, причем вектор a перпендикулярен β‑ плоскости, p — динамическое давление, плотность жидкости для простоты записи предполагается равной единице. Уравнение (9) позволяет ввести функцию тока 01-11-2019 12-26-14:

Запишем уравнение (8) покомпонентно:

01-11-2019 12-36-14

где 01-11-2019 12-37-40. Дифференцируя первое по y, а второе по x, и вычитая одно из другого, получим 01-11-2019 12-38-36  или в терминах функции тока 01-11-2019 12-38-48 или

01-11-2019 12-39-06      (10)

Здесь 01-11-2019 12-44-11. Уравнение (10) запишем в виде

 01-11-2019 12-44-30       (11)

Для бесконечно протяженной по горизонтали жидкости имеем точное решение нелинейного уравнения (11) 01-11-2019 12-48-23. Параметр β будем считать постоянным.

Рассмотрим задачу об отражении нестационарных планетарных волн с конечной амплитудой от ориентированной в широтном направлении твердой стенки.

Пусть стенка расположена вдоль оси x. Условие непротекания в терминах функции тока ψ требует, чтобы

01-11-2019 12-51-23            (12)

Рассмотрим решение, соответствующее линейной суперпозиции падающей и отраженной волн:

01-11-2019 12-54-48

Условие (12) на стенке 01-11-2019 12-55-00 принимает вид

01-11-2019 12-55-10

Отсюда следуют равенства 01-11-2019 12-55-38. Таким образом, предполагаемое решение примет вид 01-11-2019 12-55-46 являются корнями уравнения

 01-11-2019 12-55-54      (13)

Корни уравнения (13)01-11-2019 13-03-09.

Линейная суперпозиция частных решений в виде набегающей и отраженной волн может не быть решением уравнения (11) для ψ. Поэтому подставим функцию 01-11-2019 13-03-45 в уравнение (11). Условием обращения в нуль левой части уравнения (11) для ψ будет равенство нулю произведения 01-11-2019 13-03-56. При 01-11-2019 13-04-10.

Итак, решение соответствующего нелинейного уравнения представимо в виде линейной суперпозиции падающей и отраженной волн.

Литература

  1. Roesner K.G. Numerical calculation of hydrodynamic stability problems with time dependent boundary conditions // 6-я Международная конференция по численным методам в гидродинамике. Тбилиси. 1978.
  2. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. В 2-х т. М.: Мир, 1984. Т. 1. 400 с., Т. 2. 411 с.
  3. Блинова Е.Н. Гидродинамическая теория волн давления, температурных волн и центров действия атмосферы // Доклады АН СССР. – 1943. Т. 39.- № 7. – С. 284-287.
  4. Йи Чиа-Шун. Волновые движения в слоистых жидкостях // Нелинейные волны. – М.: Мир. 1977. – С. 271-296.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.