Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ЭЛ № ФС 77 - 80772, 16+

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2021.107.5.003

Скачать PDF ( ) Страницы: 15-22 Выпуск: № 5 (107) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Сафина Г. Ф. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВУХСЕГМЕНТНОЙ БАЛКИ С УЧЕТОМ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИХ ЗАКРЕПЛЕНИЙ / Г. Ф. Сафина // Международный научно-исследовательский журнал. — 2021. — № 5 (107) Часть 1. — С. 15—22. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/vosstanovlenie-zhestkostnyx-parametrov-dvuxsegmentnoj-balki-s-uchetom-absolyutno-zhestkix-zakreplenij/ (дата обращения: 17.09.2021. ). doi: 10.23670/IRJ.2021.107.5.003
Сафина Г. Ф. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВУХСЕГМЕНТНОЙ БАЛКИ С УЧЕТОМ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИХ ЗАКРЕПЛЕНИЙ / Г. Ф. Сафина // Международный научно-исследовательский журнал. — 2021. — № 5 (107) Часть 1. — С. 15—22. doi: 10.23670/IRJ.2021.107.5.003

Импортировать


ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВУХСЕГМЕНТНОЙ БАЛКИ С УЧЕТОМ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИХ ЗАКРЕПЛЕНИЙ

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВУХСЕГМЕНТНОЙ БАЛКИ
С УЧЕТОМ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИХ ЗАКРЕПЛЕНИЙ

Научная статья

Сафина Г.Ф.*

ORCID: 0000-0002-7326-0896,

Нефтекамский филиал Башкирского государственного университета, Нефтекамск, Россия

* Корреспондирующий автор (safinagf[at]mail.ru)

Аннотация

Рассмотрена обратная задача диагностирования жесткостных параметров изгибных колебаний двухсегментной балки по известным значениям частот ее колебаний. Показана единственность решения обратной задачи, сформулирована и доказана соответствующая теорема. Найден алгоритм решения задачи, подтверждающий единственность восстановления жесткостных параметров опор балки, который применим и для случая абсолютно жестких закреплений краев двухсегментной балки. Алгоритм решения подтвержден численными примерами.

Ключевые слова: двухсегментная балка, частоты колебаний, обратная спектральная задача, диагностирование параметров.

RESTORATION OF THE STIFFNESS PARAMETERS OF A TWO-SEGMENT BEAM,
TAKING INTO ACCOUNT RIGID ATTACHMENT

Research article

Safina G.F.*

ORCID: 0000-0002-7326-0896,

Neftekamsk Branch of Bashkir State University, Neftekamsk, Russia

* Corresponding author (safinagf[at]mail.ru)

Abstract

The current study examines the inverse problem of diagnosing the stiffness parameters of flexural vibrations of a two-segment beam from known values of its vibration frequencies. The author of the study shows the uniqueness of the solution of the inverse problem as well as formulates and proves the corresponding theorem. The article introduces an algorithm for solving the problem that confirms the uniqueness of restoring the stiffness parameters of beam bearings, which is also applicable for the case of rigid attachment of the edges of a two-segment beam. The solution algorithm is confirmed by numerical examples.

Keywords: two-segment beam, oscillation frequencies, inverse spectral problem, parameter diagnostics.

Исследуя вибрационные процессы механических систем, технических конструкций и их составляющих часто можно столкнуться с поперечными колебаниями балок. Прямые и обратные спектральные задачи по балкам хорошо известны еще из общей теории колебаний, например, [1], [3]. Производимые расчеты исследований учитывают разные виды балок: однородные, неоднородные, деформированные, сегментные, с трещинами, несущие, под действием переменных сил, подвижных нагрузок и т.д.

Математические модели колебаний сегментных балок встречаются также во многих работах, например [4], [5]. В монографии [5] приведены численные примеры решения коэффициентных обратных задач балок (в том числе сегментных) на основе сочетания граничных интегральных уравнений и метода конечных элементов. Прямой и обратной задачам двухсегментной балки посвящены также статьи [6], [7]. В представленной же работе в продолжение исследований доказана единственность решения обратной задачи для двухсегментной балки и дан метод восстановления граничных условий технологиями линейной и векторной алгебры. Кроме того, приведенный метод учитывает возможность абсолютно жестких закреплений концов сегментной балки.

Для дальнейшего изложения остановимся кратко на решении прямой задачи и получении векового уравнения (с учетом как условий опор, так и условий сопряжения сегментов балки). Итак, динамическая модель двухсегментной балки представле­на на рисунке 1. Сегменты балки c длинами  15-06-2021 11-45-15 имеют различные жёсткости 15-06-2021 11-45-41, образующиеся за счет поворота на угол φ в месте сопряжения.

15-06-2021 11-46-11 15-06-2021 11-47-58

Рис. 1 – Модель двухсегментной балки

В соответствии с расчетной схемой уравнения изгибных колебаний такой балки имеют вид [1], [2], [3]:

15-06-2021 11-46-42     (1)

В (1): 15-06-2021 11-47-24 – прогиб i-го сегмента (xi – локальные координаты, – время),  ρ – погонная плотность материала балки, 15-06-2021 12-00-23 – площадь поперечного сечения каждого сегмента 15-06-2021 12-00-33,  – момент инерции поперечного сечения балки, причем 15-06-2021 12-00-55.

Введение безразмерных параметров: 15-06-2021 12-01-08 приводит к уравнениям

15-06-2021 12-01-34    (2)

Представление прогибов сегментов балки в виде 15-06-2021 12-19-39 – безразмерная собственная частота колебаний, приводит уравнения (2) к видам:

15-06-2021 12-19-51

в которых 15-06-2021 12-20-01 – волновое число.

Решения (3) для каждого сегмента приняты в стандартном виде с амплитудами колебаний 15-06-2021 12-20-23:

15-06-2021 12-24-21

В соответствие с (4) и (5) для каждого сегмента определены повороты поперечного сечения сегментов, изгибающие моменты и поперечные силы, необходимые для описаний условий сопряжения:

15-06-2021 12-25-12

и граничных условий:

15-06-2021 12-25-29

в виде шарнирных опор с пружинами кручения с жесткостями 15-06-2021 12-43-03. Подстановка решений (4), (5) в условия сопряжения (6), (7) и в краевые условия (8), (9) дает восемь однородных алгебраических уравнений относительно констант интегрирования 15-06-2021 12-20-23. С учетом нетривиального решения этой системы получено вековое уравнение прямой спектральной задачи [7]:

15-06-2021 12-43-28   (10)

с безразмерными параметрами 15-06-2021 12-43-46 из сумм и произведений тригонометрических и гиперболических функций от аргументов 15-06-2021 12-43-53.

С учетом математической модели (10) и программной реализации алгоритма решения в математическом пакете Maple найдены значения частот изгибных колебаний двухсегментной балки. Поставлена и решена также обратная задача определения жесткостных параметров закреплений по известным трем частотам колебаний.

Этот метод решения обратной задачи не принимает во внимание случай, когда края балки закреплены абсолютно жёстко, то есть, когда 15-06-2021 12-44-02 В связи с этим рассмотрим другой подход к решению обратной задачи, который позволит восстановить и возможное абсолютно жесткое закрепление ее краев.

Для этого граничные условия задачи (3), (8), (9) представим в виде:

15-06-2021 12-48-59

Составим матрицу A из коэффициентов форм 15-06-2021 12-50-49 краевых условий (11), (12):

15-06-2021 12-51-02

а также ненулевые миноры 15-06-2021 12-51-10 второго порядка этой матрицы:

15-06-2021 12-51-19    (14)

Тогда обратную задачу восстановления жесткостей шарнирных опор двухсегментной балки смоделируем в виде нахождения матрицы A (по ее минорам), что можно свести к определению оболочки 15-06-2021 12-58-18  на векторах 15-06-2021 12-58-27.

Для исследования существования и единственности такого решения наряду с нашей прямой задачей (3), (11), (12) рассмотрим задачу с уравнениями (3) и граничными условиями

15-06-2021 12-59-00

Оболочку на векторах 15-06-2021 13-00-23 из коэффициентов (15), (16) рассмотрим в виде 15-06-2021 13-00-32. Докажем теперь следующую теорему.

Теорема

Если выполняются условия:

15-06-2021 13-03-47   (17)

и нетривиальные собственные значения 15-06-2021 13-03-57 задач (3), (11), (12) и (1), (15), (16), соответственно, равны учетом их кратностей, то равны и оболочки 15-06-2021 12-58-18 и 15-06-2021 13-00-32.

Доказательство

Вековое уравнение граничной задачи (3), (11) (12) найдем стандартными преобразованиями, подставляя решения (4), (5) в граничные условия (11), (12) и условия сопряжения сегментов (6), (7). Получим систему уравнений:

15-06-2021 13-05-19

В итоге вековое уравнение получим в виде определителя 8-го порядка:

15-06-2021 13-07-12

Раскрывая определитель  15-06-2021 13-12-11  с учетом миноров (14) матрицы A получим вековое уравнение в виде:

15-06-2021 13-12-33     (18)

в котором функции 15-06-2021 13-13-00,  примут вид:

15-06-2021 13-18-26    (19)

Заметим, что вековое уравнение задачи (3), (15) (16) будет иметь аналогичный (18) вид, а именно

15-06-2021 13-25-53      (20)

причем функции 15-06-2021 13-27-10 также будут иметь выражения, аналогичные (19).

Полученные уравнения (18) и (20) являются целыми функциями порядка ½ [8], тогда имеем соотношения:

15-06-2021 13-26-15   (21)

где K – нетривиальная константа. Тогда, учитывая (13) и сами выражения вековых уравнений, можем записать равенство:

15-06-2021 13-26-50   (22)

Применяя далее команды математического пакета Maple, можно показать линейную независимость функций 15-06-2021 13-27-10 (раскладывая их, например, в степенной ряд).

Далее учетом (22) и линейной независимости функций 15-06-2021 13-27-29 имеем:

15-06-2021 13-27-44   (23)

откуда следует пропорциональность бивекторов 15-06-2021 13-37-28. Из их пропорциональности следует соответствие подпространств оболочек15-06-2021 13-37-54.

Таким образом, оболочка 15-06-2021 13-38-08 восстанавливается единственным образом. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь алгоритм определения этого решения. Если известны собственные значения 15-06-2021 13-38-26 задачи (3), (11), (12), то, подставляя их в вековое уравнение (18), получим систему трех уравнений от неизвестных 15-06-2021 13-38-41 миноров матрицы A граничных условий.

Исходя из теоремы, данная система разрешается однозначно с точностью до ненулевого константа, т.е. определяет бивектор

15-06-2021 13-46-34

С помощью найденных миноров определяется сама матрица A (с точностью до эквивалентных матриц), т.е. восстанавливаются граничные условия спектральной задачи, в том числе и случай абсолютно жестких закреплений концов двухсегментной балки.

Пример 1

Пусть 15-06-2021 13-46-43 – собственные значения задачи (3), (11), (12), соответствующие первым трем собственным частотам изгибных колебаний двухсегментной балки с физическими и геометрическими параметрами

15-06-2021 13-46-56     (24)

Определим матрицу A с точностью до эквивалентных матриц, тем самым восстановим жесткостные параметры граничных условий балки.

Решение

При заданных собственных значениях 15-06-2021 13-48-44 с помощью команд пакета Maple находим по формулам (19) соответствующие функции 15-06-2021 13-48-56 и имеем систему уравнений (18) в виде:

15-06-2021 13-49-04

В этом же пакете получаем решение системы:

15-06-2021 13-55-07

Здесь С – некоторая нетривиальная константа.

Тогда бивектор 15-06-2021 13-55-31 можно считать приближенно равным (с точностью до константы): 15-06-2021 13-55-48. Найдем далее оболочку 15-06-2021 13-55-56 данного бивектора. Для этого рассмотрим некоторый произвольный вектор 15-06-2021 13-56-08 искомой оболочки, тогда координаты вектора 15-06-2021 14-04-46 удовлетворяют условию

15-06-2021 13-56-20

С учетом того, что есть ненулевые миноры, например, 15-06-2021 13-56-32, можно из последнего равенства получить равенство нулю окаймляющих 15-06-2021 13-56-41 миноров

15-06-2021 13-56-51

Последние определители разложим, например, по третьей строке:

15-06-2021 14-06-21

Тогда произвольный вектор искомой оболочки примет вид 15-06-2021 14-06-34, а базисными векторами этой оболочки могут служить векторы 15-06-2021 14-06-43.

В итоге матрицу  граничных условий имеем в виде: 15-06-2021 14-07-05

В соответствие с равенствами (13) имеем следующие безразмерные и размерные параметры жесткостей пружин кручения шарнирных опор двухсегментной балки:

15-06-2021 14-07-17

Коэффициенты жесткостей опор балки восстановлены верно, поскольку при решении прямой задачи (3), (11), (12) именно значения жесткостей 15-06-2021 14-09-16 (при остальных параметрах (24) балки) определяют заданные собственные значения 15-06-2021 14-09-27.

Пример 2

Решить обратную спектральную задачу для двухсегментной балки с параметрами (24) при известных собственных значениях: 15-06-2021 14-09-43.

Решение

Система уравнений (18) при заданных значениях 15-06-2021 14-13-14 и физических параметрах имеет решение:  15-06-2021 14-13-23

где С – нетривиальная константа. Значит имеем бивектор 15-06-2021 14-13-31 с точностью до константы в виде 15-06-2021 14-13-40.

Аналогичные рассуждения и проведенные как в примере 1 преобразования, дают приближения:

15-06-2021 14-13-48

Значит базисные векторы 15-06-2021 14-13-59,  и матрица A:

15-06-2021 14-14-06

С учетом (13) и (24) получаем, что коэффициенты жесткостей опор балки стремятся к бесконечности, что говорит об абсолютно жестких закреплениях обоих краев двухсегментной балки.

Таким образом, представленный алгоритм решения обратной граничной задачи позволяет по трем частотам изгибных колебаний балки восстанавливать единственным образом ее жесткостные параметры ее шарнирных опор, в том числе и абсолютно жесткие закрепления.

Конфликт интересов

Не указан.

Conflict of Interest

None declared.

Список литературы / References

  1. Ганиев Р.Ф. Колебания твердых тел / Р.Ф. Ганиев, В.О. Кононенко – М.: Наука, 1976. – 432 с.
  2. Бабаков И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. – М.: Дрофа, 2004. – 591с.
  3. Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко – М.: Наука, 2001. – 395 с.
  4. Доев В.С. Поперечные колебания балок / В.С. Доев – М.: КНОРУС, 2016. – 412 с.
  5. Ватульян А.О. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел / А.О. Ватульян, А.Н. Соловьев – Ростов н/Д: ЮФУ, 2008. – 176 с.
  6. Сафина Г.Ф. Исследования поперечных колебаний шарнирно-опертой балки ступенчато-переменного сечения / Г.Ф. Сафина, К.И. Хусаинова // Физическое образование в вузах. – 2018. – Т.24. №1S. – С.111-113.
  7. Сафина Г.Ф. Моделирование в прямой и обратной задачах колебаний балки из двух сегментов / Г.Ф. Сафина // Современные наукоемкие технологии. – 2019. – №5. – С. 75-80.
  8. Иванов В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В. К. Иванов, В. В. Васин, В.П. Танана. – М.: Наука, 1978. – 200 с.

Список литературы на английском языке / References in English

  1. Ganiev R.F. Kolebanija tverdyh tel [Solid vibrations] / R.F. Ganiev, V.O. Kononenko – M.: Nauka, 1976. – 432 p. [in Russian]
  2. Babakov I.M. Teorija kolebanij [Wave theory] / I.M. Babakov. – M.: Drofa, 2004. – 591 p. [in Russian]
  3. Gorjachenko V. D. Jelementy teorii kolebanij [Elements of vibration theory] / V.D. Gorjachenko – M.: Nauka, 2001. – 395 p. [in Russian]
  4. Doev V.S. Poperechnye kolebanija balok [Transverse vibrations of beams] / V.S. Doev – M.: KNORUS, 2016. – 412 p. [in Russian]
  5. Vatul’jan A.O. Prjamye i obratnye zadachi dlja odnorodnyh i neodnorodnyh uprugih i jelektrouprugih tel [Direct and inverse tasks for homogeneous and inhomogeneous elastic and electrically elastic bodies] / A.O. Vatul’jan, A.N. Solov’ev – Rostov n/D: JuFU, 2008. – 176 p. [in Russian]
  6. Safina G.F. Issledovanija poperechnyh kolebanij sharnirno-opertoj balki stupenchato-peremennogo sechenija [Studies of transverse vibrations of the hinged-supported beam of stepwise-variable section] / G.F. Safina, K.I. Husainova // Fizicheskoe obrazovanie v vuzah. [Physical education in universities] – 2018. – Vol.24. №1S. – P. 111-113. [in Russian]
  7. Safina G.F. Modelirovanie v prjamoj i obratnoj zadachah kolebanij balki iz dvuh segmentov [Simulation in direct and reverse problems of beam oscillations from two segments] / G.F. Safina // Sovremennye naukoemkie tehnologii. [Modern knowledge-intensive technologies] – 2019. – №5. – P. 75-80. [in Russian]
  8. Ivanov V.K. Teorija linejnyh nekorrektnyh zadach i ee prilozhenija [The theory of linear incorrect problems and its applications] / V. K. Ivanov, V. V. Vasin, V.P. Tanana. – M.: Nauka, 1978. – 200 p. [in Russian]

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.