СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ДЛЯ БАЛОК ТИПА ТИМОШЕНКО

 Крысько В.А.¹, Папкова И.В.², Жигалов М.В.³,  Салтыкова О.А.⁴, Шелудько Н.А.⁵

¹Доктор технических наук, профессор, ²кандидат физико-математических наук, доцент, ³доктор физико-математических наук,  ⁴кандидат физико-математических наук, PhD, доцент,  ⁵студент, Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

РФФИ Грант МОЛ

СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ДЛЯ БАЛОК ТИПА ТИМОШЕНКО

Аннотация

В данной работе рассматривается однослойная балка, находящая под действием локальной знакопеременной нагрузки с учетом геометрической нелинейности. Построенная математическая модель основывается на гипотезах С.П.Тимошенко. Переход от гармонических колебаний к хаосу происходит по сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза.

Ключевые слова: балка типа Тимошенко, сценарии перехода в хаос, фурье-анализ.

Krys'ko VA¹, Papkova I.V.², Zhigalov M.V.³, Saltykovа O.A.⁴, Shelud'ko N.A.⁵

¹Dr. in Engineering,  ²PhD in physical and mathematical sciences, ³Dr. in physical and mathematical sciences, ⁴PhD in physical and mathematical sciences, ⁵Student Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

SCENARIOS OF TRANSITION FROM HARMONIC NONLINEAR OSCILLATIONS IN CHAOTIC BEAMS TIMOSHENKO TYPE

Abstract

In this paper we consider a single-layer beam under the influence of the local oscillating loads, taking into account the geometric nonlinearity. Constructed a mathematical model based on hypotheses SPTimoshenko. Transition from harmonic oscillations to chaos scenario occurs Ruelle-Takens-Newhouse.

Keywords: beam of Timoshenko type, transition scenarios in chaos, Fourier analysis.

Постановка задачи

Рассматривается гибкая однослойная балка. Она нагружается распределенной на краю нагрузкой . Для модели С.П. Тимошенко приняты следующие гипотезы:

1) размер балки по оси OX гораздо больше ее поперечных размеров;

2) ось балки представляет собой прямую линию;

3) сечения, расположенные вдоль балки, изгибаются независимо и не влияют друг на друга (таким образом, напряжения, нормальные к площадкам, которые параллельны оси, достаточно малы и ими можно пренебречь);

4) обозначим за , смещения точек срединной линии  – смещения произвольных точек балки.

5) тангенциальные перемещения ,  распределены по толщине  по линейному закону [1];

6)Для описания связи между деформацией и перемещениями используется теория Т. фон Кармана [1].

Данная модель балки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для обеспечения общности исследования размерная система уравнений приводится в безразмерной форме [2]:

где  – нелинейные операторы,  – прогиб элемента в направлении нормали;  – перемещение элемента в продольном направлении;  - угол поворота нормали к линии ,  – коэффициент диссипации;  – модуль Юнга; h – высота поперечного сечения панели;  – удельный вес материала;  – ускорение свободного падения; t – время.

Для замыкания системы к дифференциальным уравнениям (1) присоединяем граничные условия и начальное условие.

Заделка – заделка:

   (3)

Начальные условия:    (4)

Система уравнений (1-4) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей, которая решается методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности. Предварительно исследовался вопрос о выбора числа деления отрезка n по пространственной координате x ϵ [0; 1]. Исследования показали, что оптимальным числом деления отрезка n = 40. Шаг по времени выбирается по правилу Рунге.

Численный эксперимент

Рассматриваем  прямолинейную балку с однородными граничными условиями (3) и нулевыми начальными условиями (4), находящейся под действием знакопеременной, равномерно распределенной нагрузки, заданной в виде  , где . Коэффициент диссипации . Целью работы является изучение сценариев перехода из гармонических в хаотически  колебаний балок, находящиеся по действием локальной нагрузки, действующей на четверть балки к ее левому краю.

   

1. Колебания совершаются на основной частоте возбуждения и являются гармоническими ().
2. Далее, увеличивая амплитуду нагрузки до , наблюдаем в спектре мощности возникновение линейно независимой частоты колебаний . Система переходит в состояние двухчастотных колебаний на частотах .
3. При увеличении нагрузки до , происходит образование линейно-зависимой от  частоты
4. При нагрузке  мы видим образование линейно-зависимой частоты . Причем . Фазовый портрет становится предельным циклом.
5. Дальнейшее движение по амплитуде нагрузки приводит к образованию новых линейно-зависимых частот колебаний . Сигнал и фазовый портрет становятся хаотическими.
6. Затем при увеличении нагрузки до  возникает новая комбинация линейной зависимости: .
7. Таким образом, серия возникновения зависимых частот колебаний приводит систему в состояние хаоса на частоте возбуждения ().

Следовательно, переход в хаос осуществляется по сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза, т.е. появляется новая линейно независимая частота и переход к хаосу происходит через серию линейных комбинаций линейно-зависимых частот.

Литература

1. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир.- М.: Наука, 1972.- 492 с.
2. А. В. Крысько, М. В.ЖигаловМатематические модели и методы исследования сложных колебаний неклассических распределенных механических систем; Сарат. гос. техн. ун-т (Саратов). - Саратов : СГТУ, 2008. - 230 с.
3. Григолюк Э.И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов // Механика твердых деформируемых тел. Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1973.- 272 с.