Pages Navigation Menu

ISSN 2227-6017 (ONLINE), ISSN 2303-9868 (PRINT), DOI: 10.18454/IRJ.2227-6017
ПИ № ФС 77 - 51217, 16+

Скачать PDF ( ) Страницы: 26-29 Выпуск: №3 (22) Часть 1 () Искать в Google Scholar
Цитировать

Цитировать

Электронная ссылка | Печатная ссылка

Скопируйте отформатированную библиографическую ссылку через буфер обмена или перейдите по одной из ссылок для импорта в Менеджер библиографий.
Михалева Е. А. СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ДЛЯ БАЛОК ТИПА ТИМОШЕНКО / Е. А. Михалева, И. В. Папкова, В. А. Крысько и др. // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — №3 (22) Часть 1. — С. 26—29. — URL: https://research-journal.org/physics-mathematics/scenarii-perexoda-nelinejnyx-kolebanij-iz-garmonicheskix-v-xaoticheskie-dlya-balok-tipa-timoshenko/ (дата обращения: 07.12.2019. ).
Михалева Е. А. СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ДЛЯ БАЛОК ТИПА ТИМОШЕНКО / Е. А. Михалева, И. В. Папкова, В. А. Крысько и др. // Международный научно-исследовательский журнал. — 2019. — №3 (22) Часть 1. — С. 26—29.

Импортировать


СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ДЛЯ БАЛОК ТИПА ТИМОШЕНКО

 Крысько В.А.1, Папкова И.В.2, Жигалов М.В.3,  Салтыкова О.А.4, Шелудько Н.А.5

1Доктор технических наук, профессор, 2кандидат физико-математических наук, доцент, 3доктор физико-математических наук,  4кандидат физико-математических наук, PhD, доцент,  5студент, Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

РФФИ Грант МОЛ

СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ДЛЯ БАЛОК ТИПА ТИМОШЕНКО

Аннотация

В данной работе рассматривается однослойная балка, находящая под действием локальной знакопеременной нагрузки с учетом геометрической нелинейности. Построенная математическая модель основывается на гипотезах С.П.Тимошенко. Переход от гармонических колебаний к хаосу происходит по сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза.

Ключевые слова: балка типа Тимошенко, сценарии перехода в хаос, фурье-анализ.

Krys’ko VA1, Papkova I.V.2, Zhigalov M.V.3Saltykovа O.A.4, Shelud’ko N.A.5

1Dr. in Engineering,  2PhD in physical and mathematical sciences, 3Dr. in physical and mathematical sciences, 4PhD in physical and mathematical sciences, 5Student Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

SCENARIOS OF TRANSITION FROM HARMONIC NONLINEAR OSCILLATIONS IN CHAOTIC BEAMS TIMOSHENKO TYPE

Abstract

In this paper we consider a single-layer beam under the influence of the local oscillating loads, taking into account the geometric nonlinearity. Constructed a mathematical model based on hypotheses SPTimoshenko. Transition from harmonic oscillations to chaos scenario occurs Ruelle-Takens-Newhouse.

Keywords: beam of Timoshenko type, transition scenarios in chaos, Fourier analysis.

Постановка задачи

Рассматривается гибкая однослойная балка. Она нагружается распределенной на краю нагрузкой 01-11-2019 15-50-14. Для модели С.П. Тимошенко приняты следующие гипотезы:

1) размер балки по оси OX гораздо больше ее поперечных размеров;

2) ось балки представляет собой прямую линию;

3) сечения, расположенные вдоль балки, изгибаются независимо и не влияют друг на друга (таким образом, напряжения, нормальные к площадкам, которые параллельны оси, достаточно малы и ими можно пренебречь);

4) обозначим за 01-11-2019 15-50-32, смещения точек срединной линии 01-11-2019 15-50-45 – смещения произвольных точек балки.

5) тангенциальные перемещения 01-11-2019 15-51-00,  распределены по толщине 01-11-2019 15-51-12 по линейному закону [1];

6)Для описания связи между деформацией и перемещениями используется теория Т. фон Кармана [1].

Данная модель балки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для обеспечения общности исследования размерная система уравнений приводится в безразмерной форме [2]:

01-11-2019 15-58-49

где  01-11-2019 16-02-03 – нелинейные операторы, 01-11-2019 16-02-13 – прогиб элемента в направлении нормали; 01-11-2019 16-02-24 – перемещение элемента в продольном направлении; 01-11-2019 16-02-42 – угол поворота нормали к линии 01-11-2019 16-02-54, 01-11-2019 16-03-07 – коэффициент диссипации; 01-11-2019 16-03-15 – модуль Юнга; h – высота поперечного сечения панели; 01-11-2019 16-03-32 – удельный вес материала; 01-11-2019 16-03-40 – ускорение свободного падения; t – время.

Для замыкания системы к дифференциальным уравнениям (1) присоединяем граничные условия и начальное условие.

Заделка – заделка:

01-11-2019 16-29-01   (3)

Начальные условия:

01-11-2019 16-29-30   (4)

Система уравнений (1-4) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей, которая решается методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности. Предварительно исследовался вопрос о выбора числа деления отрезка n по пространственной координате x ϵ [0; 1]. Исследования показали, что оптимальным числом деления отрезка n = 40. Шаг по времени выбирается по правилу Рунге.

Численный эксперимент

Рассматриваем  прямолинейную балку с однородными граничными условиями (3) и нулевыми начальными условиями (4), находящейся под действием знакопеременной, равномерно распределенной нагрузки, заданной в виде 01-11-2019 16-33-15 , где 01-11-2019 16-33-25. Коэффициент диссипации 01-11-2019 16-33-32. Целью работы является изучение сценариев перехода из гармонических в хаотически  колебаний балок, находящиеся по действием локальной нагрузки, действующей на четверть балки к ее левому краю.

 

01-11-2019 16-35-2101-11-2019 16-36-1101-11-2019 16-36-39

 

  1. Колебания совершаются на основной частоте возбуждения 01-11-2019 16-45-19 и являются гармоническими (01-11-2019 16-45-28).
  2. Далее, увеличивая амплитуду нагрузки до 01-11-2019 16-45-36, наблюдаем в спектре мощности возникновение линейно независимой частоты колебаний 01-11-2019 16-46-01. Система переходит в состояние двухчастотных колебаний на частотах 01-11-2019 16-45-48.
  3. При увеличении нагрузки до 01-11-2019 16-46-15, происходит образование линейно-зависимой от 01-11-2019 16-46-01 частоты 01-11-2019 16-46-29
  4. При нагрузке 01-11-2019 16-46-43 мы видим образование линейно-зависимой частоты 01-11-2019 16-47-05. Причем 01-11-2019 16-47-34. Фазовый портрет становится предельным циклом.
  5. Дальнейшее движение по амплитуде нагрузки приводит к образованию новых линейно-зависимых частот колебаний 01-11-2019 16-47-55. Сигнал и фазовый портрет становятся хаотическими.
  6. Затем при увеличении нагрузки до 01-11-2019 16-48-07 возникает новая комбинация линейной зависимости: 01-11-2019 16-48-27.
  7. Таким образом, серия возникновения зависимых частот колебаний приводит систему в состояние хаоса на частоте возбуждения (01-11-2019 16-48-38).

Следовательно, переход в хаос осуществляется по сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза, т.е. появляется новая линейно независимая частота и переход к хаосу происходит через серию линейных комбинаций линейно-зависимых частот.

Литература

  1. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир.- М.: Наука, 1972.- 492 с.
  2. А. В. Крысько, М. В.ЖигаловМатематические модели и методы исследования сложных колебаний неклассических распределенных механических систем; Сарат. гос. техн. ун-т (Саратов). – Саратов : СГТУ, 2008. – 230 с.
  3. Григолюк Э.И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов // Механика твердых деформируемых тел. Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1973.- 272 с.

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.