ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТАВНЫМИ ДВУХТОЧЕЧНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ЭРМИТА

ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТАВНЫМИ ДВУХТОЧЕЧНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ЭРМИТА

Научная статья

Шустов В.В. *

ORCID: 0000-0002-2465-7475,

ФГУП Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем, Москва, Россия

* Корреспондирующий автор (vshustov[at]gosniias.ru)

Аннотация

Рассмотрена задача приближения периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы представления этих многочленов, которые используют значения функции и ее производных в заданной точке. Указана связь двухточечных многочленов Эрмита и многочлена Тейлора применительно к представлению периодической функции. Приведена оценка приближения, выраженная через оценку производной соответствующего порядка. Указан достаточный признак сходимости последовательности составных двухточечных многочленов к периодической функции. Даны примеры разложения периодических функций с данными о погрешности и ее оценке.

Ключевые слова: периодические функции, двухточечный многочлен Эрмита, оценка погрешности приближения, сходимость последовательности двухточечных многочленов.

APPROXIMATION OF PERIODIC FUNCTIONS BY COMPOSITE TWO-POINT HERMITE POLYNOMIALS

Research article

Shustov V.V. *

ORCID: 0000-0002-2465-7475,

State Research Institute of Aviation Systems, Moscow, Russia

* Corresponding author (vshustov[at]gosniias.ru)

Abstract

This paper deals with polynomial approximating a periodic functions by composite two-point Hermite polynomials. The final formulas of these polynomials, using the function values and its derivatives at a given point, are constructed. The relation of Taylor's polynomial and two-point polynomials with respect to representation of periodic function is specified. The estimation of proximity, expressed through the evaluation of the derivative of the corresponding order is given. A sufficient condition for the convergence of a sequence of two-point polynomials to a given periodic function is established. Examples are given in which periodic function is approximated by a sequence of two-point Hermite polynomials with data on an errors and its evaluation.

Keywords: periodic functions, two-point Hermite polynomial, approximation error estimate, convergence of two-point polynomials sequence.

Введение

Периодическими функциями называются функции, которые удовлетворяют условию f(x)=f(x+T), где  период T > 0 [1, C. 9].

Для представления этих функции используются ряды Фурье. Теория этих рядов представлена в различных источниках, начиная от учебников курса математического анализа и теории функций [2], [3, C. 343], [4] и включая  работы, в которых освещаются теоретические и практические аспекты использования этих рядов в курсе численных методов [5, C. 390], [6, C. 282], [7, C. 218].

В  рядах Фурье применяются тригонометрические функции f(x) = sin x и f(x) = cos x. Для использования этих функций их необходимо вычислить, применяя многочлены Тейлора.

В настоящей работе предлагается использование составных многочленов для  представления периодических функций.

Основные идеи и положения статьи анонсированы в докладе автора [14].

1. Постановка и решение задачи

Пусть периодическая функция f(x), которая имеет период  T, т.е.

f(x) = f(x+T),

(1)

задана на интервале (-∞<x<∞) и имеет производные на этом промежутке.

Пусть также в некоторой точке x₀ интервала (-∞,∞) заданы значения функции f(x), а также, ее производных до порядка m включительно:

     (2)

Требуется построить составной многочлен H(x), который  определен на заданном интервале (-∞<x<∞). Многочлен H(x) должен удовлетворять также условиям (1) и (2).

Пусть ξ - новая переменная, связанная с переменной x формулой:      (3)

в которой функция  обозначает дробную часть своего аргумента, т.е . Диапазон изменения переменной ξ , таким образом, определен соотношением:

      (4) Преобразование (3) отображает неограниченный интервал задания функции на промежуток [0,1).

Так как заданная функция периодическая и для нее по условию (2) существуют производные до порядка m включительно, то эти производные должны быть периодическими функциями.

Запишем условия периодичности производных в виде соотношений:

     (5)

Задача аппроксимации периодической функции на бесконечном интервале преобразована в задачу приближения этой функции на отрезке [0,1] с условиями (2) и (5) на ее производные.

В качестве аппроксимирующей функции будем использовать  двухточечный многочлен Эрмита, рассмотренный в [10] и [11] .

Такой приближающий многочлен H_m(ξ(x)), удовлетворяющий условиям (2) и (5), с использованием переменной ξ, определенной формулой (3), можно представить в виде [10, C. 1097]:

     (6)

где коэффициент  выражается через биномиальный коэффициент  (см. например, [12, C. 163]) как 

Группируя слагаемые, входящие в правую часть формулы (6), получим компактную формулу для составного двухточечного многочлена H_m(ξ), построенного для периодической функции:

     (7) где  функции влияния  определены соотношением:       (8)

Из представления (7) наглядно видно, что двухточечный многочлен для периодической функции представляется в виде модифицированного многочлена Тейлора, построенного в заданной точке. Модификация состоит в том, что каждый член многочлена Тейлора умножается на соответствующую функцию влияния .

Многочлен H_m(ξ) с использованием (7) и (8) может быть также записан в виде:

     (9)

где координатные функции , являясь единственными сомножителями в (9), которые зависят от переменной ξ, представляются в виде:

    (10) Связь функций влияния  и координатных функций  в соответствии с (8) и (10) осуществляется согласно соотношению:       (11) В таблице 1 представлены соотношения для многочлена H_m(ξ) при некоторых значениях m, полученные из формулы (13).  

Таблица 1 – Формулы  для  H_m(ξ)

На рис. 1 для примера представлены зависимости функций .  

Рис. 1 – Зависимость  при j=0-4 и для m=4

 

На рис. 2 представлены эти же зависимости, выполненные с использованием логарифмической шкалы по оси ординат, и, соответственно, на рисунке показаны графики модуля этих функций, т.е.  .

Рис. 2 – Зависимость

 

Из рисунка видно, что функции  при четных значениях j принимают положительные значения и имеют максимум в середине отрезка, который монотонно убывает с увеличением j. Функции  при нечетных значениях j до середины отрезка принимают положительные значения, обращаются в нуль в середине отрезка и имеют отрицательные значения во второй половине отрезка, при этом максимум модуля функции также монотонно убывает с увеличением j.

2. Остаточный член и его оценка

Для определения погрешности представления периодической функции составным двухточечным многочленом необходимо определить остаточный член приближения и сделать его оценку. Вследствие выбора способа аппроксимации в виде составных многочленов, выраженного преобразованием (3), исследование остаточного члена  приближения периодической функции на всей области может быть ограничено рассмотрением этого члена только на отрезке [x₀, x₀+T].

Остаточный член r(x), определенный как разность между заданной периодической функцией и многочленом H(x)

r(x)=f(x)-H(x)

(12)

согласно [10, C. 173], можно записать в виде:    (13)

где , т.е. η – некоторая внутренняя точка отрезка [x₀, x₀+T].

С использованием переменной ξ, определенной (3), остаточный член двухточечного представления согласно формуле (13), может быть записан в виде:

      (14) Для погрешности δ(x) представления многочлена H(x), которая по определению равна модулю остаточного члена, т.е.

δ(x)=|r(x)|,

(15)

в соответствии с (14) при 0≤ξ≤ 1 можно записать:  

Пусть  производная  функции  порядка  2m+2 на интервале (-∞,∞)  ограничена некоторой константой M_2m+2 >0, т.е. считаем, что

      (16) Тогда погрешность аппроксимации функции на отрезке может быть записана как      (17) где Δ(ξ) обозначена оценка локальной погрешности       (18)

Из того, что (например, [10, с. 1098]), и из формулы (18) следует, что погрешность приближения функции δ(x) удовлетворяет соотношению , где оценка погрешности Δ выражается соотношением

      (19) Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема 1. Пусть периодическая функция f(x) с   периодом T   определена на интервале   (-∞<x<∞) и имеет достаточный набор производных на этом интервале. Пусть также в некоторой точке x₀ интервала (-∞,∞) заданы значения функции f(x) и ее производных до порядка m включительно:

Тогда функция f(x) может быть представлена в виде

Следствие. Пусть  производная  функции  порядка  2m+2 на интервале (-∞,∞)  ограничена некоторой константой M_2m+2>0, т.е. выполняется условие

Тогда для погрешности δ(x) аппроксимации функции имеет место

где оценка погрешности Δ выражается соотношением

Действительно, эта формула для оценки погрешности Δ следует из (18) и из того, что

Доказательство этой формулы приведено, например, в [10, C. 1098].

3. Сходимость приближений функции

Если функция имеет неограниченное число производных, то для нее может быть построена последовательность приближающих ее многочленов.

Исследуем условия, при которых последовательность составных двухточечных многочленов H_m(x) сходится к функции f(x) при .

Из формулы (12) следует, что функцию f(x)  можно записать как:

f(x)=Hm(x)+rm(x).

(20)

Из представления (20) видно, чтобы последовательность двухточечных многочленов H_m(x) сходилась к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы для всех x  имело место (см. [13, C. 549])

При условии, когда рост производных ограничен некоторой показательной функцией их порядка, имеет место достаточный признак сходимости.

Теорема 2. Пусть периодическая функция f(x) и все ее производные ограничены в совокупности на интервале (-∞<x<∞) показательной функцией их порядка j, т.е существуют такая постоянные M>0 и q>0 , такие, что для всех  и всех j=0,1,… имеет место

       (21)

Тогда на этом интервале функция f(x) представляется сходящейся последовательностью соответствующих ей составных двухточечных многочленов H_m(ξ(x)), т.е.

     (22) или в соответствии с (9)   где функции   определены формулами (11) и (3), соответственно. Доказательство. Заметим сначала, что для любого числа a (см., например, [13, C.551])      (23) Для  модуля остаточного члена |r_m(x)| с использованием  (16), (17) и с учетом (19)  можно записать:   (24) В силу (23) следует то, что      (25) Кроме того, очевидно, имеет место      (26) Из оценки (24) в силу (25) и (26) следует, что  

что и означает в соответствии с (20), что имеет место доказываемое утверждение (22)  теоремы.

4. Результаты численных экспериментов

Пример 1. Как известно, функция f(x) = sin x является периодической функцией, которая имеет период T=2π. Производные этой функции вычисляются по формуле:  (см. например [13, C. 149]):

      (27) Подставляя эти соотношения в формулы, приведенные в таблице 1, получим выражения для H_m(ξ), которые представлены в таблице 2.  

Таблица 2 – Выражения  для многочлена H_m(ξ)

На рис. 3 приведены графики многочленов H_m(x), для  m = 0,1,2,3,4. Здесь же для сравнения представлен график функции f(x)  = sin x, обозначенный пунктирной линией.

Рис. 3 – Приближение функции f(x)  = sin x

  Из рисунка видно, что аппроксимирующие многочлены приближаются к данной функции при увеличении m. На рис. 4 показаны графики погрешности приближения δ(x), которая определена по формуле

δ(x)=|f(x)-Hm(x)|

(28)

для значений параметра m = 0-4.

Рис. 4 – Погрешность приближения δ(x)

 

Из графиков, представленных на рисунке, видно, что погрешность δ(x) также является периодической функцией с те же периодом, что и заданная функция, обращается в ноль при x_k=2πk, k=0, ±1,±2... и в данном случае монотонно уменьшается с возрастанием m.

В таблице 3 представлены в числовой форме значения многочлена H_m, его погрешности δ_m  и ее оценки Δ_m для значения x = π/2, при котором функция y = sin x принимает максимальное свое значение.

 

Таблица 3 – Значения многочлена H_m, его погрешности δ_m  и ее оценки Δ_m

s	m	Hm(π/2)	δm	Δm
1	0	0.000000000000	1.00000000000	4.93480220054
3	1	0.589048622548	0.410951377452	4.05871212642
5	2	0.920388472731	0.079611527269	1.33526276885
7	3	0.991217827278	0.008782172722	0.23533063036
9	4	0.999377014126	0.000622985874	0.02580689139
11	5	0.999969215729	0.000030784271	0.00192957431
13	6	0.999998879582	0.000001120418	0.00010463810
15	7	0.999999968709	0.000000031291	0.00000430307

 

Из таблицы 3 видно, что при увеличении m  значение многочлена H_m стремятся к точному значению функции y = sin x, погрешность δ_m стремится к нулю и оценка погрешности Δ_m, ограничивая саму погрешность сверху, также стремится к нулю.

Пример 2.  Рассмотрим  периодическую   функцию   вида   f(x) = sin 2x – cos x, которая также имеет период T=2π. Производные этой функции определяются соотношением:

 

Подставляя производные этой функции в формулы, представленные в табл. 2,  получим соответствующие выражения для аппроксимирующих многочленов.

На рис. 5 представлены графики приближающих многочленов для m=2,4,6,8. При увеличении m аппроксимирующие многочлены также стремятся к заданной функции.

Рис. 5 – Приближение функции f(x)  = sin 2x – cos x

 

На рис. 6 показаны графики погрешности приближения δ(x), полученной по формуле (28) для различных значений параметра m.

 

Рис. 6 – Погрешность приближения δ(x)

 

Из представленных графиков видно, что погрешность приближения δ(x) имеет более сложный характер, но также стремится к нулю при возрастании m. Это объясняется выполнением достаточного условия  теоремы 2 о сходимости последовательности аппроксимирующих многочленов.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.

 

Список литературы / References

1. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа / Романовский П.И.. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. – 336 с.
2. Архипов Г.И.. Лекции по математическому анализу. / Архипов Г.И., Садовничий А.А., Чубариков В.Н.– М.: Высшая школа, 1999. – 695с.
3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. т. II. / Кудрявцев Л.Д.– М.: Высшая школа, 1981. – 584с.
4. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. / Колмогоров А.Н., Фомин С.В.– М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 624 с.
5. Березин И.С. Методы вычислений. Т. 1 / Березин И.С., Жидков Н.П. – М.: Физматлит, 1962.– 464 с.
6. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. / Хемминг Р.В. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. – 400 с.
7. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. / Ланцош К. – М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1961. – 524 с.
8. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа./ Микеладзе Ш.Е. М.: Гостехтеориздат, 1953. – 528 с.
9. Воробьев Н.Н. Теория рядов / Воробьев Н.Н. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 406 с.
10. Шустов В.В. О приближении функций двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита / Шустов В.В. // ЖВММФ, 2015, № 7, С. 1091-1108.
11. Шустов В.В. Аппроксимация функций несимметричными двухточечными многочленами Эрмита и ее оптимизация / Шустов В.В. // ЖВММФ, 2015, № 12, С. 1999-2014.
12. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. СПб.: Изд. Лань, 2010 – 608 с.
13. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. 1./ Кудрявцев Л.Д. – М.: Высшая школа, 1970. – 592с.
14. Шустов В.В. О приближении периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита / Шустов В.В. // Современные методы теории функций и их приложения: материалы 18 Саратовской зимней математической школы / Саратовский гос. ун-т. – Саратов, 2016. – С. 338-341.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Romanovskii P. I. Ryady Fur'e. Teoriya polya. Analiticheskie i spetsial'nye funktsii. Preobrazovanie Laplasa [Fourier series. Field theory. Analytical and special functions. Laplace Transformation] / Romanovskii P. I. . Moscow, Nauka, 1980, 336 p.  [in Russian].
2. Arkhipov I. Lektsii po matematicheskomu analizu [Lectures on mathematical analysis] / Arkhipov G. I., Sadovnichii  A. A., Chubarikov  V. N.. Moscow, Vysshaya shkola, 1999, 695 p.  [in Russian].
3. Kudryavtsev D. Kurs matematicheskogo analiza [Course of mathematical analysis] / Kudryavtsev  L. D.  . Vol II. Moscow, Vysshaia shkola, 1981. 584 p.  [in Russian].
4. Kolmogorov N. Elementy teorii funktsii i funktsional'nogo analiza [Elements of the theory of functions and functional analysis] / Kolmogorov A. N., Fomin  S. V.  . Moscow, Nauka , 1989, 624 p.  [in Russian].
5. Berezin I. S. Computing Methods. / I. S. Berezin, N. P. Zhidkov. Vol. 1 – Pergamon: Oxford, 1965. – 464 P.
6. Hamming R.W. Numerical Methods for Scientists and Engineers. Mc Graw-Hill Book Company / Hamming R.W, Inc New York, 1962.
7. Lanczos Applied analysis / Lanczos  K.  . Prentice Hall, 1956.
8. Mikeladze E. Chislennye metody matematicheskogo analiza [Numerical methods of mathematical analysis] / Mikeladze  Sh. E.. Moscow, Gostekhteorizdat, 1953. 528 p.  [in Russian].
9. Vorob'ev N. Teoriya ryadov [The theory of series] / Vorob'ev  N. N. Moscow, Nauka, 1986, 406 p.  [in Russian].
10. Shustov V. V. Approximation of functions by two-point Hermite interpolating polynomials / V. V. Shustov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2015. –  55. –  No 7. –  P. 1077–1093. doi: 10/1134/S0965542515040156
11. Shustov V. V. Approximation of functions by asymmetric two-point Hermite polynomials and its optimization / V. V. Shustov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2015. – Vol. 55. – No – P. 1960–1974. doi: 10/1134/S0965542515120155
12. Bronshtein N. Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashchikhsya vtuzov [Handbook of mathematics for engineers and technical colleges students] / Bronshtein I. N., Semendiaev  K. A. St Peterburg, Izd. Lan', 2010, 608 p.  [in Russian].
13. Kudriavtsev L. D. Matematicheskii analiz [Mathematical analysis] / Kudriavtsev L. D. . Vol. 1. Moscow, Vysshaia shkola, 1970, 592 p.  [in Russian].
14. Shustov V. O priblizhenii periodicheskikh funktsii sostavnymi dvukhtochechnymi mnogochlenami Ermita [On the Approximation of Periodic Functions by Composite Two-Point Hermite Polynomials] / Shustov V. V.  Sovremennye metody teorii funktsii i ikh prilozheniya : materialy Saratovskoi zimnei matemicheskoi shkoly. [Modern Methods of Function Theory and Aplication] : Proc. Saratov Winters School], Saratov, 2016, pp. 338-341  [in Russian].