ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ВЗВЕСИ В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ МЕЛКОВОДНЫХ АКВАТОРИЙ

Проценко Е.А.¹, Кузнецова И.Ю.², Проценко С.В.³

¹Кандидат физико-математических наук, Ростовский государственный экономический университет, ²Кандидат физико-математических наук, Научно-исследовательский центр «Супер-ЭВМ и нейрокомпьютеров», ³Магистрант, Ростовский государственный экономический университет

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проектам № 15-07-08626, № 16-3716-37-00129

ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ВЗВЕСИ В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ МЕЛКОВОДНЫХ АКВАТОРИЙ

Аннотация

Работа посвящена математическому моделированию процессов переноса вещества в мелководных акваториях. Представлена дискретная модель транспорта взвеси в прибрежной зоне мелководных водоемов, для построения которой использован метод сеток. Для аппроксимации задачи по временной переменной применен метод расщепления на одномерно-двумерную задачу, что сокращает время расчета численной задачи. При аппроксимации задачи подъема, переноса и осаждения взвеси по пространственным переменным учтена заполненность ячеек, что  повышает точность решения в случае, если расчетная область имеет сложную геометрию. Результаты математического и численного моделирования могут быть применены на практике для прогноза формирования рельефа дна, в частности, прогнозирования транспорта взвесей.

Ключевые слова: трехмерная дискретная модель, метод сеток, разностная схема, погрешность аппроксимации.

Proysenko E.A.¹, Kuznetsova I.U.², ProysenkoS.V.³

¹PhD in Physics and Mathematics, Rostov State University of Economics, ²PhD in Physics and Mathematics, Research center «Supercomputers and Neurocomputers», ³Undergraduate, Rostov State University of Economics

DISCRETE MODEL OF THE TRANSPORT OF SUSPENDED MATTER IN THE COASTAL ZONE OF SHALLOW WATER AREAS

Abstract

The work is devoted to mathematical modeling of transport processes of substances in shallow waters. The article presents a discrete model of the transport of suspended matter in the coastal zone of shallow reservoirs, to build a where used grid method. For approximation tasks in a temporary variable splitting method applied to one-dimensional two-dimensional problem, which reduces the calculation time for the numerical tasks. In the approximation tasks of lifting, transport and deposition of suspended matter on the spatial variables taken into account, the occupancy of the cells, which increases the accuracy of the solution if the computational domain has complex geometry. The results of mathematical and numerical modelling can be applied in practice for the prediction of the formation of the bottom topography, in particular, prediction of sediment transport.

Keywords: three-dimensional discrete model, grid method, finite difference scheme, approximation error.

Модель распространения загрязняющих примесей в мелководном водоеме включает в себя гидродинамическую задачу мелкой воды и задачу переноса примеси [1]. Для описания транспорта взвешенных частиц использовано уравнение диффузии-конвекции-реакции, которое может быть представлено в виде:

  (1)

где С – концентрация осадка [г/л или кг/м³ ];  V = {u, v, w} – составляющие поля вектора скорости [м/с]; ω_s – гидравлическая крупность или скорость осаждения взвеси по σ-координате в вертикальном направлении [м/с]; H – глубина [м]; D_h, D_v – горизонтальный и вертикальный коэффициенты турбулентной диффузии [ /сек]; x, y – координаты в горизонтальном направлении; σ - координата в вертикальном направлении; t – временная переменная [с]; F – функция, описывающая интенсивность распределения источников загрязняющих веществ.

Для построения дискретной модели транспорта взвешенных частиц использован метод сеток [2-5]. Область непрерывного изменения аргументов заменена дискретным множеством точек (узлов). Вместо функций непрерывного аргумента исследованы функции дискретного аргумента, значения которых заданы в узловых точках сетки.

Покроем расчетную область сеткой, используя допущение: расчетная область представляет собой параллелепипед, либо вписана в него.

Введем равномерную прямоугольную сетку:  ,

где τ – шаг по времени;  – шаги по пространству; N_t –  количество временных слоев; T – верхняя граница по времени;  – количество узлов по пространству;   – размеры параллелепипеда по координатным направлениям.

Для аппроксимации уравнения (1) по временной переменной используем схемы расщепления, при этом исходная задача расщепляется на две подзадачи. Введем вспомогательную временную сетку:

  (2)

Для обозначения изменения профиля концентрации на промежуточном временном слое  будем использовать символ «~» над обозначением концентрации C.

Первую подзадачу представим одномерным уравнением диффузии-конвекции-реакции относительно расчетного временного слоя:

  (3)

где  – значение концентрации на текущем временном слое,  – значение концентрации на промежуточном временном слое.

Шаблон, который использован при решении данного уравнения, представлен на рисунке 3. Относительно расчетного временного слоя данный шаблон является трехточечным. Фиктивный или нерасчетный узел обозначен пустой точкой.

 

Рис. 1 − Шаблон, используемый для первой подзадачи

  Введем вспомогательную временную сетку для второй подзадачи:   (4)

Для обозначения изменения профиля концентрации на следующем временном слое  будем использовать символ «–» над обозначением концентрации C.

Вторая подзадача описана следующим уравнением:

  (5)

где  – значение концентрации на промежуточном временном слое,  – значение концентрации на следующем временном слое.

Шаблон, который использован при решении данного уравнения, приведен на рисунке2. Относительно расчетного временного слоя данный шаблон является пятиточечным.

Рис.2 − Шаблон, используемый для второй подзадачи

 

Согласно приведенной схеме, на первом этапе осуществляем решение системы трехдиагональных алгебраических уравнений методом прогонки в одном из направлений, в результате чего находим значения искомой функции на промежуточном (n + 1/2)-м временном слое. На втором этапе находим искомое решение на верхнем (n+1)-м временном слое.

Рассмотрим аппроксимацию задачи подъема, переноса и осаждения взвеси по пространственным переменным.

Для аппроксимации задачи транспорта взвесей будем учитывать заполненность ячеек, что повысит точность решения, так как расчетная область имеет сложную геометрию.

Заполненность ячейки (i, j, k) обозначим как . Ячейка считается заполненной полностью когда  = 1. Ячейки представляют собой параллелепипеды, которые могут быть заполненными, пустыми или частично заполненными. Центры ячеек и узлы разнесены на  ,  и  по координатам x, y, σ соответственно. Поле скоростей и концентрация рассчитывают в вершинах ячейки, затем пересчитывают для следующих ячеек. Вершинами ячейки (i, j, k) (Рис. 3) являются узлы 

Рис.3 − Расположение ячейки относительно прилегающих к ней узлов

 

Для описания заполненности контрольных областей введем коэффициенты . Значение коэффициентов характеризует заполненность областей  соответственно (Рис.4):

Рис.4 − Расположение расчетных узлов относительно ячеек

 

В окрестности узла (i, j, k) лежат ячейки   (Рис. 4). Те части области D_m, которые будут заполнены, обозначим через Ω_m, где . Тогда коэффициенты f_m вычислим  по следующим формулам:

Проинтегрируем по области Ω₀ уравнение (3), воспользовавшись свойством линейности интеграла, в результате получим:

  (6)

Вычислим каждый из полученных тройных интегралов отдельно с учетом следующих обозначений:

  (7)

Второй интеграл в выражении (3) запишем следующим образом:   (8) Вычислим интегралы по областям D₁ и D₂:   (9) где . Аналогично, для третьего и четвертого интеграла соответственно:   (10)   (11) Вычислим интеграл, стоящий в правой части выражения (3):   (12)  

Рис. 5 − Схема заполненности областей

 

В выражении (12) для определенности будем полагать, что , выделим из области Ω₁ фрагмент Ω_1,2, смежный с областью Ω₂, причем  (Рис. 5).

  (13)

Вычислим интеграл диффузионного переноса  по области

  (14)

Вычислим интеграл от функции  по области Интеграл, стоящий в правой части выражения (3), равен:   (15)

В случае, если , результат будет аналогичным. Подставим в уравнение (3) выражения (7) – (15), в результате получим дискретный аналог уравнения расчета концентрации на промежуточном временном слое:

  (16)

Разделим полученное выражение (16) на единичный объем ячейки , в результате получим дискретный аналог уравнения диффузии-конвекции-реакции (8) с граничными условиями третьего рода для первой подзадачи. Учитывая, что , получим:

  (17)

Аналогично получим дискретный аналог уравнения диффузии-конвекции-реакции для второй подзадачи:

  (18)

Дискретные аналоги операторов конвективного и диффузионного переноса примут вид:   (19)   (20)

Таким образом, получен дискретный аналог уравнения диффузии-конвекции-реакции с граничными условиями третьего рода.

Список литературы / References

1. Сухинов, А.И. Математическое моделирование транспорта донных отложений с учетом гидродинамических процессов / Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Дегтярева Е.Е. //Известия ЮФУ. Технические науки. – 2012. –№ 6 (131). – С. 57-62.
2. Сухинов, А.И. Методика построения разностных схем для задачи диффузии-конвекции-реакции, учитывающих степень заполненности контрольных ячеек / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Н.А. Фоменко // Известия ЮФУ. Технические науки. –2013. –№4. – С 87-96.
3. Сухинов, А.И. Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2012. – №8 (121). – С 32-44.
4. Сухинов, А.И. Построение и исследование дискретной математической модели расчета прибрежных волновых процессов / А.И. Сухинов, Е.Ф. Тимофеева, А.Е. Чистяков // Известия ЮФУ. Технические науки. –2012. − №8 (121). – С 22-32.
5. Сухинов, А.И. Сравнение вычислительных эффективностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах / Сухинов А.И., Проценко Е.А., Чистяков А.Е., Шретер С.А. // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. – 2015. – Т. 16. № 3. – С. 328-338.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Suhinov, A.I. Matematicheskoe modelirovanie transporta donnyh otlozhenij s uchetom gidrodinamicheskih processov [Mathematical modeling of the transport of bottom sediments taking into account the hydrodynamic processes] / Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Degtjareva E.E. //Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki [News of The STU. Engineering science]. – 2012. – № 6 (131). – S. 57-62. [in Russian]
2. Suhinov, A.I. Metodika postroenija raznostnyh shem dlja zadachi diffuzii-konvekcii-reakcii, uchityvajushhih stepen' zapolnennosti kontrol'nyh jacheek [Methods of constructing difference schemes for the problem of diffusion-convection-reaction, taking into account the occupancy level of the control cells] / A.I. Suhinov, A.E. Chistjakov, N.A. Fomenko // Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki [News of The STU. Engineering science]. – 2013. – № 4. – S 87-96. [in Russian]
3. Suhinov, A.I. Postroenie diskretnoj dvumernoj matematicheskoj modeli transporta nanosov [The construction of discrete two-dimensional mathematical model of sediment transport] / A.I. Suhinov, A.E. Chistjakov, E.A. Procenko // Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki [News of The STU. Engineering science]. – 2012. – №8 (121). – S. 32-44. [in Russian]
4. Suhinov, A.I. Postroenie i issledovanie diskretnoj matematicheskoj modeli rascheta pribrezhnyh volnovyh processov [The construction and investigation of discrete mathematical models calculate coastal wave processes] / A.I. Suhinov, E.F. Timofeeva, A.E. Chistjakov // Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki [News of The STU. Engineering science]. –2012. − №8 (121). – S 22-32. [in Russian]
5. Suhinov, A.I. Sravnenie vychislitel'nyh jeffektivnostej javnoj i nejavnoj shem dlja zadachi transporta nanosov v pribrezhnyh vodnyh sistemah [Comparison of computational efficiencies of explicit and implicit schemes for problem of sediment transport in coastal water systems] / Suhinov A.I., Procenko E.A., Chistjakov A.E., Shreter S.A. // Vychislitel'nye metody i programmirovanie: novye vychislitel'nye tehnologii [Numerical methods and programming: new computing technology]. – 2015. – T. 16. № 3. – S. 328-338. [in Russian]